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1、2021-2022学年广西钦州市高二下学期2月月考数学(理)试题一、单选题1.已知X。是方程2/+1门=0的实根，则关于实数X。的判断正确的是()A.2 x0+In x0=0 B.2 ex+In x0=0C.x0 In 2 D.x0 0,得到/(x)在(0,+8)上为单调递增函数，结合/(2 x0)=/(In),可判定A正确，B不正确；再令力(x)=2 x+l n x,X G(0,l),结合零点的存在定理,演)得到C、D不正确.【详解】设g(x)=2 d e 2、l n x,其中x 0,则函数g(x)在(0,+0时,函 数g(x),且g =2/(),可得方程2 x%2*+l n x=0 的实根
2、xe(O,l),则 l n x 0,又由 2 x2 e 2，+l n x=0,可得 2 x2 =In x,&P2 xe2x=-,X构造新函数 f(X)=0 ,可得/(x)=(x+l)e*0 ,所以在(0,+上为单调递增函数，1 n x可得 2 x)=2 x Zl,/(-l n x)=-l n xe，=因为实数%是方程2 x%2，+l n x=0的实根，则以。：!一,即/(2/)=/(In，),*0“0”0所以2%=l n =-l n xo,即2 xo +l n x=O,所以A正确，B不正确.令人(x)=2 x+l n无,xw(O,l),可得/(x)=2 +g o,人(力为单调递增函数，由 用(
3、)=2-1 0,力(。)=卓+也；=亍 一 0 ,即/?(-)/?(4)l n&=g,且;9，所以/0 时，若直线丫=，1-|与M x)=xe 的图象相切，得到切点坐标为,招)(/0)和切线方程，结合图象，即可求解.【详解】因为函数 x)=新,g(x)=-三+?，且方程I(x)=g(x)有两个不相等的正实根,所以方程/=-?+m有两个不相等的正实根，即方程龙d=?卜-5有两个不相等的正实根，即函数人(力=旄的图象与直线产，”卜 一?在(0,+8)上有两个不同的交点，因为当x 0 时，(x)=e(l +x)0,所以/7(x)=xe 在(0,+8)上单调递增,作出/?(力在(0,+e)上的大致图象
4、，如图所示，当x 0 时，若直线=，卜-与力(力=xe 的图象相切，设切点坐标为(r，M(r0),则切线方程为yT e=e(l +f)(xT),可 得 切 线 过 点 所 以 T d=d(l +f),解 得 仁 1 或 公 泰舍去)，所以该切线的斜率为=e(l +l)=2 e ,因为函数(力3 的图象与直线y=在(0,同上有两个不同的交点,所以数形结合可得利2e.故选：D【点睛】方法点拨：把方程 x)=g(x)有两个不相等的正实根，转化为方程超 =加 上-|有两个不相等的正实根，进而转化为函数人(同=泥的图象与直线)，=?卜-；)在(0,+e)上有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值
5、，结合图象求解是解答的关键.4.函数y=/(x)在定义域，|.3)内可导，图像如图所示，记 y=/(x)的导函数为y=/(x),则不3 1 r,3 1 1 4C.1,2 D.oL 2 2 L L 2 3 2 3【答案】A【分析】由导函数与原函数的单调性的关系求解.【详解】由图象知/(x)在-g,l 和 2,3 上单调递减，所以不等式尸(x)4 0 的 解 集 为,1 2,3).故选：A.5.已知直线/与曲线=丁-6父+13%-9有 3 个不同交点A(冷y),5(孙 力)，。(毛,%)，且h M=|A q,则2(七+%)=()1=1A.6 B.8 C.9 D.12【答案】c【分析】根据题意，求得
6、V=3f-12x+13,y=6 x-2,令 尸=0,得到曲线的对称中心为(2,1),由|AM=|A C|,得出A点一定是对称中心，且3(,丫2)，C(&,%)两点关于A对称，即可求解.【详解】由题意,函数y=d-6 f+1 3 x-9,可得y=3/_i2x+13,y=6x-2,令 y”=0,即 6x 12=0,解得 x=2,所以曲线了=炉-6/+13尸9的对称中心为(2,1),因为直线/与曲线的交点A,B,C,满足|A5|=|Aq,故A点一定是对称中心，即A点坐标是(2,1),且 以毛,%),C(&,%)两点关于A(2)对称，可 得 +毛=4,y2+y)=2,所以 Z(%+y)=9.(=|故答
7、案为：9.6.设 函 数 x)=x(lnx-办)(./?)在区间(0,2)上有两个极值点，则a的取值范围是()【答案】DB.In2+1，4D.0,(x)单调递增；当X(l时、/(X)0 时，/t(x)-o o,当 x =l 时，=：,当 x=2 时，=(2)=1n；+L要使得函数/(x)在区间(0,2)上有两个极值点，则 满 足 筲 把 ；,即 4的取值范围是(史/，).故选：D.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒
8、成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.,5 /八v-I y I _ V 0【答案】A7【分析】当x W O 时，求得函数“X)的值域为当x 0 时，求得尸当。0 时,利用导数求得函数的单调性，可得/(x)4 f(：)=2 1 n；-2,根据题意，转化为占)值域包含-/伍)的值域，得出不等式2 1 n 2-2 2-1,求得0 0 时,函 数/(x)=2 1 n x-a r,可得:(同=嚏一，当a 0 时，令/(x)=0,解得x =：,当 x e(,+a)时，r(X)0,/(X)单调递增，所以x)
9、V/(*)=2 1 n 4 2,a a因为对 4 0,加 0,使/(芯)+/(%)=0成立，转化为/(%)值域包含-的值域，所以2 1 n 2-2 2-1,即解得。4义=攻，所以。4型；a a 2 yje e e2 2当 0,解得x =一,xa当收)时，尸(力 0 ,使/(x j +/()=()成立，综上所述，实数的取值范围为(-8,皂i .e故选：A.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参
10、数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.8.若存在实数x,y满足l n x-x+3 2 e +e-,则+=()A.-B.0 C.1 D.e【答案】C【分析】令f(x)=l n x-x +3,利用导数求得函数的单调性与最大值，再令g(y)=+er,结合基本不等式，求得g(y)N 2,进而得到l n x x+3 =2,求得X，)，的值，即可求解.【详解】令函数/(x)=l n x-x +3,可 得/(x)=-i =，X X当x e(0,l)时，f x)0 ,单调递增；当x e(l,+a)时，/(“,则 函+右2 2,当且仅当y=o时取
11、等号,又由 I n x x+3*e,+e-,所以 l n x x+3 =ev+e-=2,所以x =l,y =O,所以x+y =l.故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.9.已知/(x)=f,则过点P(-l,0)且与曲线y =/(x)相切的直线方程为()A.y =O B.4
12、x+y+4 =0C.y =或4 x+y +4 =0 D.y =0或4 x-y +4 =0【答案】C【解析】设切点为小,为)则切线方程为广片=2玉)(-%),将 点 尸(-1,0)代入解.%,即可求切线方程.【详解】设切点为，%),则%=云，切线斜率为左=/(为)=2%所以切线方程为y X=2 x 0(x/)，因为过点尸(T O)则一%=2毛(1 为)解得%=0或4 =-2,所以切线方程为y=0或4 x+y +4 =0故选：C1 0 .已知函数/()=/-办+1,若/(X)在R上为增函数，则实数a的取值范围是()A.B.(-o o,l)C.(-o o,0)D.(-o o,0【答案】D【解析】由函
13、数是递增函数可得尸(x R O在R上恒成立，再分 离 参 数 由3 d取值范围即得结果.【详解】/(X)在R上为增函数，故r(x)=3/-a 0在R上恒成立，即“4 3丁恒成立，而3X%0,+8),故a4 0.故选：D.I I .已知曲线x)=(x +a)/在点(-1 J(-1)处的切线与直线2 x+y-1 =0垂直，则实数。的值为()A.组 B.M l C.，D,3e2 2 2【答案】D【解析】求出函数的导数和在-1处的切线斜率，再由与直线垂直斜率乘积为-1可得答案.【详解】fx)=ex+(x+a)ex=(+x+a)ex,/(-l)=(a-l -,切线的斜率为左=尸(-1)=四，因为切线与直
14、线2 x+y-1 =0 垂直，所以小(-2)=-1,解得。=呈故选：D.12.一个矩形铁皮的长为1 6 cm,宽为10cm,在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x(cm),小盒子的容积为丫(c m),则()A.当x=2时，丫有极小值 B.当x=2时，V 有极大值c.当苫=2三0 时，y 有极小值 D.当=号20时，丫有极大值【答案】B【解析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案.【详解】小盒子的容积为V=x(16-2x)(10-2x)=4/-5 2 f+160 x(0 x 5),20所以H =12X2-104X+1 6 0,令V=0 得X
15、=2,或犬=亍舍去，当0 x 0,叭x)单调递增，当2V x 5时，r()三种讨论，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】令 x)=e-a(x+l),可得T(X)=-4,当 Q,/(x)单调递增,当x f-8 时，/(x)f f o,所以x)NO不能恒成立，即关于x 的不等式e*2a(x+l)不能恒成立，舍去；当。=0 时，/(=0 恒成立，即关于x 的不等式e 2 a(x+l)不能恒成立；当。0 时，令即e -a 0，解得x ln a,令f(x)0,即e*-a 0,m x n a,所以当x=Ina时，函数/(x)取得最小值，最小值为/(lna)=e“-a(lna+l)=-a ln
16、 a,要使得F(x)20恒成立,则满足-a ln a N O,即InaW O,解得0 /(x),/(l)=e(e 为自然对数的底数)，则不等式 ln x)-x 0 的解集为.【答案】(O,e)【分析】根据条件的结构特征构造函数g(x)=43,利用导数判断其单调性，然后将不等式变形成e以西)x)，所以g(x)0,所以g。)在 R 上单调递增.由 lnx)-x 0 知lnx)0,所以原不等式=纳义=缥 4 1,x e又因为D=e,所以g(l)=&=l,所以原不等式=缥e e e即g(1nx)g(l)o1nx l,解得0 x (),解 得;X 1；令g (x)l或X 0,/(x)在匕,2 递增，/(
17、x)m j n=/(1)=3 a-In 3-|,2 1 1 5 3 a-l n 3-,W -l n 3 +(舍去)；3 6 3 1 8(2)当a 0时，令解得x“；令/(力 0,解得0 x ()、a=0和a 0三种情况讨论，结合导数的几何意义求得切线的斜率，即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数y =M M =-In x,0 x 0时-，函数y =|l n x|和y =a(x 1)的图象必有交点，此时不等式|l n x|Wa(x 1)在(0,4 o)不能恒成立；当a=0时，由y =|l n x|N 0,显然不等式|l n x|2 a(x 1)在(0,也)恒成立；当0时，由函数y =-l n
18、 x,x e(0,l ,可得/=,，可得y L=-1,X即函数y =Tn x,x e(0,l 在(1,0)处的切线的斜率为T,要使得不等式1)恒成立，可得,综上可得，实数。的取值范围是卜1,0 三、解答题1 7.已知函数/(x)=e 2，-2(e +l)e*+2 e r.若函数g(x)=/(x)-a有三个零点，求a的取值范围.(2)若/(x j =/(x 2)=/(x j(占 x?0 .【答案】(l)(-e 2,-2 e-l)(2)证明见详解【分析】(1)令e*=f换元得函数帕)=r-2(e+l)f +2 e l n f,f 0,然后通过导数求极值,根据丫 =。与函数图象有三个交点可得；(2)
19、构造函数加=力)-/7(1),通过导数研究在区间(l,e)上的单调性，然后由单调性结合已知可t证.【详解】(1)令e*=t，则x =hu,记力”)=产-2(e +l)f +2 e l n/j。4h(t)=2 f-2(e +1)+=2(/-1)(r-e)=o,得4=et t当 0 0,l ，e 时，/)0所以当1 =1时,取得极大值力=-2 e l,，=e时，取得极大值(e)=e：因为函数g (x)=/(x)-。有三个零点=y =与y =a有三个交点，所以 e 2 s (l)=1 2 -4e 0所以s Q)在区间(1,e)上单调递增，所以5(f)5(1)=0所以“在区间(l,e)上单调递增,所以
20、M(/)n(l)=0所以，在区间(l,e)上单调递增因为/(x j n/a z j n/a j a iX?,记 e*1=4，e*2 =t2,ex,=f3所以g)=/)r j由(1)可知，0 1 r2 e m(l)=0,即/?%)/z()G*2又M G =所以6(G (；)l2因为所以；1,即e F=%l所以看+0【点睛】本题第二问属于极值点偏移问题，关键点在于构造一元差函数，通常构造成尸(X)=/(/+X)-/(X。-x)或尸(X)=/(%)-f(2 x0-x),本题由于采取了换元法转化问题，因此构造函数为 W(o=/?(0-/2(-).t1 8.已 知 函 数 力=W+1),(其中。为非零实
21、数)(1)讨论/(x)的单调性：若函数g(x)=e x)(e 为自然对数的底数)有两个零点小三,求证：占%).【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导，分类讨论可得；将;V A e 2 V 的)变形成()(x 2 e*)e 2,然后取对数、换元转化为1 叫+岫 2,再利用相应方程进行整体代换，最后换元将双变量问题转化为单变量问题可解.【详解】(1)/()的定义域为(0,+8)r(x)=411nx)(若a 0,则xe(0,e)时，/x)0,/(x)单调递增；当xe(e,+oo)时，/(x)0,/(x)单调递减.若。0,则当xe(0,e)时，/(x)0 J(x)单调递增.(2)由
22、已知得g(x)=旦 二 半 有 两 个 不 等 的 正 实 根，所以方程xe*-a(lnr+x)=0,即 xex-aln(xe)=0,即xe*=aln(xe*)有两个不等正实根.要证看巧e2心 甸,只需证(不再)(移&)e2,即证In(书&)+In)2.令4=书,t2=x2et2,所以只需证令+lnt2 2.由 xex-22-14设。，令号，则S 所以只需阳.q j令/z(s)=l n s-2：-9s 1,则力”)=二4(s l)2(S+l)2-$(S+)2 0,所以/?(S)/;=0,即当S 1 时，l n s-2 t 1 0 成立.5 +1所 以 则+l n r2 2 ,即(书)(x2e
23、)e2,即看电e 2 d g).【点睛】该题破题的关键在于：1、利用两根满足的方程进行整体代换进行化简；2、巧妙变形，通过换元将双变量化为单变量.1 9.已知 f(x)=x2-lax+I n x(a 0).证明:(1)若函数f M有极大值f(x0),则/5)0 ；(2)若函数/(%)没有极值点，则对任意的电 0,9+毛=4,都有f(x j +)-l-l n 6；(3)若七=/1 占可等，则r(x)在区间(内,马)内有且仅有一个实数%,使得广(/)=弋匚.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析证明见解析【分析】(1)求 得/(=这 二|竺 史，结合单调性和题意得到京大值(x)=X-2 a r
24、o+l n%,结合2 以。=2 片+1,得到“玉,)=一片+皿毛-1,令/z(x)=-x 2+l n x T,利用导数求得函数的单调性和(4)0,即可求解.(2)令 =中 2，得 到/(刈+八 刍 六 必+也 一 心 根 据 了 没 有 极 值 点，得至l J o 4 夜，令/2 qgt)=-Q.t+nt-cr,求得g (f)0,得到=-|a2+l n a2-2 1 n 2 ,再令3机(x)=-1 x +l n x-2 1 n 2,利用导数求得单调性和最值，即可求解;(3)令e(x)=：()-)二%),根 据 状(力=2 40,转化为证明仪百)0,X)-X j X即证夕(x j =(l _ j
25、)x+：_(：r 0构造新函数，结合函数的单调性，即可求解.【详解】(1)解：因为函数/(x)=x 2-2“x +l n x(a 0),可 得/()=2 X-2。+,=”心 竺 把，X X由=4 4 2-8 0,解得a&,设九大 位(x)=/(x)=片-肛+l n x 0,其中/日，又因为2a%0=2x：+1 ,所以/(毛)=片一2片 l +l n x0=-Xp +l n j Q)1,t 己 力(x)=f+l n x-1,可得/(x)=-2x+-=|,故当x 立 时，(x)0,故可力在 ，+8 上为减函数，(万、i 万所以 =-+l n-l Og p/(xo)O./(2)解：由/(百)+/(%
26、2)=6+考-2a(玉+/)+心芭天因为玉+%2=。，令，=玉2，可得/（X）+/（毛）=（芭 +“2）2%+I n 玉/=_2 l+I n /_u,又因为函数/（x）没有极值点，可得所以 0,所以 g（/）=_-+n/-l n 4-t z2=一/+l n/-21 n 2,3令z（五）=-X +l n x-21 n 2,其中 =0,3 1可得加）=、+：,2,当0 x 0,m（x）单调递增；2当I 九 2 时，mz（x）0,根（x）单调递减，所以0=-1 一如6,即/（石）+/（入 2）其中x 也.x2-X)x-x2-x 2又”(x)=2-J 0,所以只需证明/(士)0,欲证 9(xJ =玉一
27、 七 +一 Tn=(1_Z)X|+1-0,X X2-X 玉(Z-l)%!印证-(/l-l)2x；+/l-l-l n/l 0,9i 9 3又一(九一1)x；+4 1 I n 4 l-l n 2,r(A)=-A-+20,2 2 A所以i（2）o ,x2 x2-Xj综上，当=x 芭王日 时，在区间a，占）内有且仅有一个实数%,使得/（/）=1；（、）【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压
28、轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.2 0.已知函数/（x b V+x-l n x-1.（1）求函数“X）的极值点；（2）若=在 1,+8）上单调递减，求实数加的取值范围.【答案】（1）极小值点是;，无极大值点；（2）m 2之.2e-【分析】（1）对函数进行求导，列表，根据函数极值的定义进行求解即可：（2）对函数进行求导，根据函数的单调性，结合导数的性质，利用常变量分离法进行求解即可.【详解】解析：（1）定义域（o,+8）,r（x）=2 x+i-i=（2l）（v+l）X X令 1 f（x）=0,得=；，列表如下:X2(PH0+“X)递减极小值递增所以，f(x)的 极 小 值 点 是 无 极 大 值 点；g/,，1 心 (2x-l)(x2+x-me2x g(x)=_r+l nl ,gx)=-LXXg(x)在 1,+00)上单调递减.卬(力4 0在1,+)上恒成立/.x2+x-me2x V 0在 1,+0 0)恒成立 x e l，+e)/m ax令 人(力=,x e l,+a)ehx)=匚 二 0在 1,e)上恒成立e(x)在 l,+oo)上单调递减2 加 啰=漳)=/2实数m的取值范围是，2彳.【点睛】关键点睛：运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解是解题的关键.