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1、2021-2022学年上海市金山区高二下学期3月月考数学试题一、填空题1.在等差数列S,中，田0=1 8,卬=2,则公差=【答案】2【分析】根据等差数列的公式求得公差，【详解】依题意即=出+8d,l 8=2+8d,d=2故答案为：22.若椭圆的长轴长是短轴长之的2倍，它的一个焦点是片（一3）,则椭圆的标准方程为/x2-1-=1【答案】12 3-2V X r=1（b 0）r、）.【分析】由题意设椭圆方程为。b-,贝！有2”也c=3,再 结 合 矿=/+厂 求出。力,从而可求出椭圆的方程v2 X2、+三=1（。60）【详解】由题意设椭圆方程为。,则2a=4bc=3解得a=2y/3b=VJc=3+二
2、=1所以椭圆方程为12 3V x2,故答案为：12 33.线段4 6两端点4 4在两坐标轴上移动，且|4团=2,则线段4 8中点轨迹方程为【答案】/+/=1【分析】设 8中点为P G M,再分别表示4 8的坐标，根据1/例=2求解即可.【详解】设月8中点为P&M,不妨设 凡），8（0,6）,则又|曲=2,故（2琦+（2埒=2 2,化筒可得犬+炉=1+0 _2-X a=2x力 +0 h =2yr=y故答案为：一+/T【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，需要根据题意设动点坐标，再求出相关点的表达式,再根据线段长度列式化简，属于基础题.4,直线/：（2加+1匕+（?+1 =3，+232经过的定
3、点坐标是【答案】0，1）J x+y-2 =0【分析】将直线方程化简为（x+，-2）+?（2 x+y-3）=,进而令1 2 x+y-3 =即可解得答案【详解】把直线/的方程改写成：（x+y-2）+?（2 x+y-3）=0,J x+y-2 =0（x=1令1 2 x+y-3 =0,解得：了 =1,所以直线/总过定点0，1）.故答案为：（1,1）.5.过点（，2）与抛物线/=8x只有一个公共点的直线有 条【答案】3【分析】根据点与抛物线在直角坐标系中的位置关系：抛物线外，即可知过（，2）与V=8x只有一个公共点的直线条数行的直线，故3条故答案为：3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，由点与抛物线
4、的位置关系判断过该点与抛物线只有一个公共点的直线条数6 .与双曲线于一正二1有共同的渐近线，且 经 过 点 的 双 曲 线 方 程 是.-1【答案】9 4【详解】设片9-1J6/i （r =4x2/h一;将1 3,2 0）代入求得 一4 .双 曲 线 方 程 是9 4 -7 .已知数列S”的前项和为J，且S，=2“-2,则数列 b g z。，的前项和T“=;(+1)【答案】2【分析】由S =2 a,-2,推得得出数列值 为等比数列，得到4=2 ,求 得 噫 为=”，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由数列 的前项和为工，且 邑=2 6,-2,当2 2 时，SU-2 q,_ -2 ,两式
5、相减,可得 a”=S _ S T=2 a _ 2 a“T,即 可=2%_|,n w N*,令=1,可得4=2,所以数列“是首项为1,公比为2的等比数列，所 以%=2”，T(+1)则l o g M=，所以 2 .故答案为：2 .8.已知点尸是抛物线V=4 x上的动点，点p在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|4时，|/|+1尸M|的 最 小 值 是.【答案】历7【分析】首先根据抛物线的定义转化内+附4=回+间J再根据数形结合分析四十冏的最小值.【详解】抛物线的焦点是厂a),且当i“i 4时，点A在抛物线外.根据抛物线的定义可知即闫四一1.|PJ|+|PA/|=|P/4|+|PF|
6、-I-PA+PFAF当4P，/三点共线时，等号成立，呻 河 的 最 小 值 是 网 T,AF=/(4-1)2+(0-0)2=y/a2+9,户 +户蛆的最小值是百历-1.故答案为：行 石-1【点睛】本题考查抛物线的定义和抛物线内距离的最值问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是根据抛物线的定义转化户叫=P口-1.属于基础题.9.已知数列M /满足q =3 3，e-勺=2 n,则的最小值为2 1【答案】万a 3 3 3 3=F n-1 =F n-1【分析】先利用累加法求出。=3 3+/-，所以 n,设/()n,由此能导出=5 或 6时/()有最小值.借此能得到的最小值.【详解】
7、解:Va n+/a n=2 n,，当2 2 时，an=Can-an-j )+(.an-i -an-2+(2 一。/)+田=2 1+2+(-1)+3 3=*-+3 3且对n=1 也适合，所以an=n2+3 3.。3 3 1=十 -1从 而 3 3 1-33、八=-n =-z-+10设/(),令，(),则/()在(而 +8)上是单调递增,在 IOd)上是递减的，因为“6 N+，所以当 =5或 6时/()有最小值.a5 5 3&_ 6 3 _ 2 1又因为了一丁，1 一了_ 2 ,所 以 的最小值为6 -22 1故答案为了【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法.还考查函数的思想
8、，构造函数利用导数判断函数单调性.1 0.关于曲线V ,则以下结论正确的个数有 个.曲 线 C关于原点对称；曲 线 C中xi -2,2 ,蚱 卜 2,2；2 2 o 曲 线 C是不封闭图形，且它与圆厂+=8 无公共点；曲 线 C与曲线 ：凶+帆=4 有 4个交点，这4点构成正方形.【答案】2【分析】根据曲线的方程，以及曲线的对称性、范围，结合每个选项进行逐一分析，即可判断.-1 +4=1【详解】将方程/中的苍丁分别换为-XL ,方程不变，故该曲线关于原点对称，故正确；=1_ 0因为/,解得2或,-2）。（2,必），同理可得：一 一?）2,”），故错误；根据可知，该曲线不是封闭图形；4 4 1
9、-2=1 2 Q联立X y 与 厂+）广=8,可得：X4-8X2+32=0,将其视作关于一的一元二次方程，故=6 4-4X3 2 m0 0 7因此，L=1故选：D.1 2.已知抛物线C：=4 x,过焦点F 且倾斜角为3 的直线交C 于A,8 两点，则 弦 的 中 点 到准线的距离为（）5 8A.5 B.3 C.3 D.8【答案】C【分析】先求得N 8的方程为耳-y-力=,联立方程组，结合根与系数的关系，求得10 x,+x2=-3,进而求得弦力8 的中点到准线的距离，得到答案.【详解】由题意，抛物线C：/=4 x,可得焦点尸（L0）,准线方程为产-1,设“G，必），8。2，%）,直 线 的 方
10、程 为 K x-y-K =o,fV 3x-x/3=0联立方程组l =4x,整理得3/-心+3=0,10 5%+X）=则-3,所以弦Z 3 的中点的横坐标为3,5 8卜 1 =一则弦4 8 的中点到准线的距离为3 3.故选：C.X2 y2 _1 3.以过椭圆靛+F一”的右焦点且垂直于x 轴的弦P。为直径的圆与点43）的位置关系是（）.A.点A在圆内 B.点A 在圆外 C.A 在圆上 D.点A 与圆的关系不确定【答案】A尸。l=/【分析】根据题意计算-2 一了，判断M用与半径的大小关系得到答案.【详解】当时,解 得 小 土 故 同 心=9,圆心为玛3）,“一-a-2-,-c-2-=-b-2-b2=
11、ra+c a,故点A在圆内.片-1故选：A.【点睛】本题考查了椭圆的弦长，点与圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.c=_ f1.9991 4.数列匕 满 足“(2闻-2)(2向-1),其前项和为北，若/丽 成 立，则的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A_ 2一 _ _ J _1 _【分析】由c(2-2)(2“-1)可化简得(2-1)(2时-1),再 利 用 裂 项 相 消 可 求 出 利 用1,999条 件 (丽 即 可 求 解_ 2-2 _ 1 _ 1_ 详解，”=(21,+l-2)(2,I+1-l)=(21,-1)(2,+1-1)=(2-1)(2H+t-l
12、)T Z 1 1 、/1 1 、/I 1 、1 2-1 22-1 22-1 23-1 2-1 2,+1-11 1 1 1 1 1 1 12-1 2n+l-1 2”-1.由 2向-1 1000 2+-1 1000,2+,-1 b 0）尸 2 21 6.已知椭圆 a-h2 的离心率与双曲线E：x-J =2 的离心率互为倒数，且椭圆。的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若双曲线的虚轴的上端点为名，问是否存在过点名的直线/交椭圆c于“，N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线/的方程；若不存在，请说明理由.答案（1）了+-；（2）
13、存在，、=缶+&或 y=_ 应 X+0.【分析】（1）将己知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件,求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线/斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于人的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.2 2 上=1 警=五【详解】解：双曲线=2,即 为 2 2，其 离 心 率 为 0）e=-j=则 椭 圆。卜 的离心率为 12因为双曲线E的实轴长为2及、焦距为4,设椭圆。的焦距为2 c,则2c，2夜,4 成等比数列，所以（
14、2起 f=8 c,解得C=1._ C _ 1又e a应，及/=+。2,解得&力=LX2 2 1一+V =1所以椭圆C的标准方程为2；（2）双曲线E的虚轴上端点为名（0,拒）.当直线/的斜率不存在时，/：x =,点 ，N为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意:故直线/的斜率存在，设斜率为晨则直线/的方程为=依+四,联立方程组 尸 履+消去y,得（1 +2 公 产+4历履+2 =0l，/,、,7 2,41显然历 了-4（1 +2%）2。，解得%彳或左=（*）4 6 k 2设点GQJNH，”），贝广+=所以+&%2+0）=k2xtx2+g k（X+Xz）+22k2 8k2 2/-8 左 2+2 +4
15、左 2 2-2 公-1 +2 公1 +2/+-1 +2/-1 +2 左 2 ,若以MV 为直径的圆过原点，则 丽,丽，所 以 两.丽=0,所以国+乂=,2 2-2 k2 八-7+-r =0即 1+2 r 1+2 左 2 ,且=0所 以 1 +2 公，解 得 左=士&，符合（*）式，所以直线/的方程为N =&x+&或y =-0 x+&1 7,在数列 5 中，+3 q,=6 （e N）El（1）判断数列I 9 J 是否为等比数列？并说明理由；（2）若对任意正整数，%恒成立，求首项6的取值范围.【答案】（D 答案见解析.（2）。2）6+,（6 ）【分析】（1）转化条件得 9 1 9人由等比数列的概念
16、即可得解：,=1 ，一讣一3 尸+?（2）易得当 3时，符合条件：当 3 时，I 3；9（根据为奇数、为偶数分类讨论，由恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）因 为 +3%=6”,所以。向=6 -3 区6+,6 ”.3-6+1-7-=6 =-3 +所以 9 9 9所以当6 n 29 即 3时，96 an-“96“一,6 _a-鼠=，=一 =_ 2所以当“一3时，数列6-9不是等比数列;6 a.-0当 9 ,即2。产 一3时,凡上。凡9 ，所 以 1=一3父32所以当“产3时,数列6 9是等比数列;2 ,=0当 3时，9 ，所 以 9 恒成立:所以%当(2)由(1)知,4 T(-3产+总6
17、 二是等比数列，且 首 项 为 公 比 为-3,即9当”为奇数时，Q|3尸+6?”092 2CIA -，所以 3 3又2_T_3T单调递减，所以=1时,2_ r3T取得最大值，所以q当为偶数时，生.-|)(-3 r +6”y 092 2”a,+一，所以 3 3又2 2”-4-3 3单调递增，所以当 =2时,2 2-4-3 3的最小值为2,所以四 =匕这是以原点为圆心，-2 为半径的圆，直 线/过 点 心 2）,当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=6,代入圆的方程得V =1,卜=1,.直线/被圆所截得弦长为2,符合题意；当直线/的斜率存在时，设斜率为k,则直线/的方程为，一 2=。一 ），
18、即日-y+2-曰 =o,由弦长为2,半弦长为1,圆的半径为2,所以圆心到直线/的距离为亚口=6，巩石 女 粗 石+7由点到直线的距离公式得办一73 +71 7，解得 k=12,所以直线/的方程为：.y=12 x H4.（2）当“一 一 3 时，设“（X。/。）,则过4 点的切线方程为：叫 x+%y=i,XQ 一即 x（x-3 yny=，由直线 的方程得二。仄3、代入切线方程得到I23、%x=l设加（士,必）*七,必），则I16X(1+T%=137，同理1=1因 为/在 曲 线 C 上，3-，司+工2=7。2/,2,2=2%，所 以/为 线 段 MN%/xo 一 /的中点，所 以 总+豆=6；（
19、3）设尸（石，必），R%）,则。（F，-凹）,（再,0）,y=#（x-x）则直线E。：2匹2 2 i代入曲线C 的方程mx+T并整理得：（4?x：+nyf 卜2 -2nyfxtx+”x；y：-4x；=0Q,R 的横坐标一演是这个方程的两实数根，2/iy,X%一 百IT.4/wXj+nyx力 二针(_&)=2.2 玉 4mx+甘4*必y2-y=-4m%：2 +ny2xPQ PR=(-2X1,-2yt)-(x2-xl,y2-yt)=-2x,(x2-x,)+,(%-乂)2nyfxf 4mx ：_ 2xy（2n-4m）=一 乙 -2-2 -4-2-2=-A-2-2-4mx+nyx 4川 玉 +ny 4mxi 4-ny 7 =一,=一,/.2n-=1-1=0由于 4 2,.而.丽=0【点睛】本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据0,R 的横坐标-X/R是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求当一斗，要注意准确运算.