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1、高中数学公开课教案【课题】三角函数应用题的探究【教学目标】1.经历圆周运动等模型的建模过程，感受数学抽象的过程，培育数学建模素养；2.通过对三角函数为背景的应用题的探究，学会选取合适的变量进行数学建模，促进分析问题、解决问题能力的发展；3.通过对两类实际问题的探究，提升思维品质，体会数学与实际生活的联系，感悟数学学的应用价值.【教学重点、难点】重点：三角函数为背景的应用题的研究思路；难点：三角函数为背景的应用题的研究方法与技巧.【教学过程】一、引入 设摩天轮的半径为R，起始时0OP与Ox的夹角0BOP（图中的取负值）.0OP绕O按逆时针方向做匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分）.经过t分钟后，
2、0OP达到OP，此时tPOP0，而tBOP，P的纵坐标为y，于是有)sin(tRy.这一函数关系反映了点P纵向的运动规律.二、典型例题分析 例 1如图，摩天轮的半径为 40m，摩天轮的圆心 O 点 距地面的高度为 50m，摩天轮逆时针方向做匀速转动，每 3min 转一圈，摩天轮上的点 P 的起始位置在最低点处.已知 在时刻 t（min）时点P距离地面的高度为 htAtf)sin()()22(，试确定A、h，并求出 2019min 时点P距离地面的高度.设计意图：经历从建模到解模的过程，认识该函数模型.解：依题意3,50,40ThA，则32，且10)0(f，故2.所以)0(50)232sin(4
3、0)(tttf.则1050)2201932sin(40)2019(f.跟进练习：右图表示一半径为 10 米的水轮.水轮的圆心离水面 5 米.高中数学公开课教案 已知水轮逆时针做匀速旋转，每分钟转 4 圈.设水轮上的点P 到水面距离d(米)，时间为t(分钟).（1）如果P点从水中浮现时开始计算时间，写出P点位 于水面上方时，)(td关于t的函数关系式.（2）P点第一次达到最高点大约要多长时间？设计意图：巩固圆周运动的建模与解模，体会数学与实际生活的联系.解：(1)由题意设btad)sin(，其中22，则10a，15 ba，则5b，又min41T，则82T，因此5)8sin(10)(ttd，又0)
4、0(d，故21sin，且22，则6.故5)68sin(10)(ttd.又0)(td，因此)(12234Nkktk.(2)设P点 在 时 间t达 到 最 高 点 时，155)68sin(10)(ttd，解 得)(1213Nkkt，当0k时，P点第一次达到最高点，此时min121t，因此P点第一次达到最高点需要min121时间.例 2.在幻灯机的正前面墙上挂一块矩形屏幕，其 上、下边缘分别在经过幻灯机头的水平面的上方a米，b米)(ba.问幻灯机头距墙面多远时对于屏幕的上下视角（影响图像清晰度的重要因素）最大？这个最大视角是多少？设计意图：经历一般模型的建模过程，感受自变量的选取方法及解模过程中的函
5、数性质的应用.解：如图，设幻灯机头O距墙面距离xOH 米，过H垂直于地面的直线与屏幕上下边缘的交点依次是A与B，则aAH 米，bBH 米.设BOHAOH,，则幻灯机头对屏幕的上下视角为)20(.由于xbxatan,tan，且0 ba，则 xabxbaxbxaxbxa1tantan1tantan)tan(tanabbaxabxba22.高中数学公开课教案 其中当且仅当xabx 即abx 时，等号成立.则)20(2tanmaxabba.又因为tan)(f在)2,0(内是增函数，则当abx 米时，)2arctan(maxabba.答：幻灯机头距墙面ab米时对于屏幕的上下视角最大，最大视角为)2arc
6、tan(abba.解法 2 提示 sincoscossin)sin(sin 222224)()(baxbaxxba 解法 3 提示 sinsincoscos)cos(cos 2222242)(baxbaxabx 解法 4 提示 由于OHABSOBOAAOB21sin21，则)()(sin2222bxaxxba.跟进练习：某景区欲建造两条圆形观景步道1M、2M（宽度忽略不计），如图所示，已知ABAC，60ABACAD（单位：米），要求圆1M与AB、AD分别相切于点B、D，圆2M与AC、AD分别相切于点C、D.（1）若60BAD，求圆1M、2M的半径（结果精确到 0.1 米）;（2）若观景步道1M
7、与2M的造价分别为每米 0.8 千元与每米 0.9 千元，如何设计圆1M、2M的大 小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确 到 0.1 千元）设计意图：进一步体会一般模型中自变量选取的方法及解模过程中的函数性质的应用.解：(1)由题意：60BAD，因此30211BADADM，2M高中数学公开课教案 在1DAMRt中，6.3430tan60tan11ADMADDM（米）；同理，30 DAC，因此15212CADADM，在2DAMRt中，1.1615tan60tan22ADMADDM（米）.(2)设11BAMDAM，则422CAMDAM，其中)4,0(，在1DAMRt中，tan60tan1
8、1ADMADDM，在2DAMRt中，)4tan(60tan22ADMADDM，设总造价为y千元，则)4tan(6029.0tan6028.0y)4tan(9tan812tan19tantan8122 令,tan1t)2,1(t，则)17188(1218178129)1()1(81222tttttttty 84)171882(12.当且仅当tt188，即23t时，等号成立.此时21tan，则301DM，202DM，此时最低总造价为 263.9 千元.三、课堂小结：试题归类：命题：源于课本 解题：建模；解模；变式 四、课后探究：1.设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24 分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的
9、方程为 122 yx.已知时间0t时，观光箱A的坐标为)23,21(，则当240 t时（单位：分），动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间为 2.某游乐园的摩天轮半径为 40 米，圆心O距地面的高度为 43 米，摩天轮做匀速转动，每 24 分钟转一圈，摩天轮在转动的过程中，游客从摩天轮距地面最低处登上吊舱，若忽视吊舱的高度，小明在小强登上吊舱 4 分钟后登上吊舱，则小明登上吊舱)240(tt分钟后，小强和小明距地面的高度差为 （）1M高中数学公开课教案 A.)612cos(40t B.)612sin(40t C.)312cos(40t D.)312sin(40t 3.某政府决定将一扇形（如
10、图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为 市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形OAB的半径为 200m，圆心角60 AOB，点Q在OA上，点NM,在OB上，点P在弧AB上，设 POB.（1）若矩形MNPQ为正方形，求tan的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OBOA,修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使OAPS，OBPT，其中PT依PN而建，为让市民有更多的时间观赏，希望PTPS 最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由.4.如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段ACAB,和以BC为直径的半圆弧组成，其中AC为 200m，
11、BCAC，3 A，若在半圆弧BC，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭FED,，再修两条 栈道DFDE,，使DE平行于AB，DF平行于AC，记)23(CBD.（1）试用表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.5.如图，CBA,三地有直道相通，kmAB5，kmAC3，kmBC4.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为)(tf（单位：千米）.甲的路线是AB，速度是hkm/5，乙的路线是ACB，速度为hkm/8.乙到达B地后在原地等待.设1tt 时，乙到达C地.（1）求1t与)(1tf的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离为 3km.当11 tt时，求)(tf的表达式，并判断)(tf在 1,1t 高中数学公开课教案 上的最大值是否超过 3？说明理由.