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1、压轴小题组合练 压轴小题组合练(A)1.(2018 西宁模拟)设函数 f(x)是定义在(0，）上 的函数 f(x)的导函数，有 f(x)cos x f(x)sin x0，若 a12f 3，b 0，c32f 56，则 a，b，c 的大小关系是()A.abc B.bca C.cba D.ca0 在(0，）上 恒成立，即 g(x)在(0，）上单调递增，则 g3g2g56，即12f 3032f 56，即 abc，故选 A.2.已知函数 f(x)x2 x 1，x 0，1，9232x，x 1，5，若函数 g(x)f(f(x)m 有 5 个零点，则实数 m 的取值范围是()A.(1，3)B.(1，2)C.(
2、1，3)D.(1，2)答案 C 解析 当 x 0，1)时，f(x)x2 x 1x12234，此时 f(x)1，3)，当 x 1，5 时 f(x)9232x，此时f(x)0，3，故函数 f(x)的值域为 0，3，令 f(x)t，t 0，3，函数 g(x)f(f(x)m 有 5 个零点等价于方程f(t)m 有 5 个实数根，结合函数 f(x)的图象(图略)可知实数 m 的取值范围是(1，3).3.设函数 f(x)2f x 2，x 1，1|x|，x 1，1，若关于 x 的方程 f(x)loga(x 1)0(a 0，且 a 1)在区间 0，5内恰有 5 个不同的根，则实数 a 的取值范围是()A.(1
3、，3)B.(45，)C.(3，)D.(45，3)答案 C 解析 要使方程 f(x)loga(x 1)0(a 0 且 a 1)在区间 0，5 内恰有 5 个不同的根，只需函数 y f(x)与 yloga(x 1)的图象在区间 0，5 内恰有 5 个不同的交点，显然 a1，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间 0，5内恰有 5 个不同的交点，只需loga3 2，loga5 4，得 a 3，故选 C.4.已知数列 an的前 n 项和 Sn 3n(n)6，若数列 an 为递减数列，则 的取值范围是()A.(，2)B.(，3)C.(，4)D.(，5)答案 A 解析 Sn 3n(n)6，Sn1
4、 3n 1(n 1)6，n 2，由，得 an 3n1(2 2n 1)(n 2，n N*).数列 an 为递减数列，an an1，3n 1(2 2n 1)3n(2 2n 3)，化为 n 2(n 2)，4.又 a1 a2，2.综上，2.5.如果定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 m n，均有 mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0 成立，则称函数 f(x)为“H函数”.给出下列函数：f(x)ln 2x 5；f(x)x3 4x 3；f(x)2 2x 2(sin x cos x)；f(x)ln|x|，x 0，0，x 0.其中是“H 函数”的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解
5、析 由题设，得(m n)f(m)f(n)0(m n).“H 函数”就是函数 f(x)是 R 上的增函数.对于，f(x)ln 2x 5，显然 f(x)为 R 上的增函数；对于，当 x 0 和 x 2 时函数值相等，因此函数 f(x)x3 4x 3 不可能是 R 上的增函数；对于，f(x)2 2 2 2cosx4 0 在 R 上恒成立，则 f(x)2 2x 2(sin x cos x)是 R 上的增函数；对于，当 x 0 和 x 1 时函数值相等，因此函数 f(x)ln|x|，x 0，0，x 0不可能为 R 上的增函数，因此符合条件的函数个数为 2.6.(2018 河南省南阳市第一中学模拟)已知函
6、数 f(x)ax x2 xln a，对任意的 x1，x2 0，1，不等式|f(x1)f(x2)|a 2 恒成立，则 a 的取值范围为()A.e2，)B.e，)C.2，e D.e，e2 答案 A 解析 由题意可得|f(x1)f(x2)|max f(x)max f(x)min a 2，且 a2，由于 f(x)axln a 2x ln a()ax 1ln a 2x，所以当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)在 0，1上单调递增，则 f(x)max f(1)a 1 ln a，f(x)min f(0)1，所以 f(x)max f(x)min a ln a，故 a 2 a ln a，即 ln a 2，所
7、以 a e2，即 a 的取值范围为 e2，).7.(2018 洛阳统考)在 ABC 中，点 P 满足 BP 2PC，过点 P 的直线与 AB，AC 所在直线分别交于点 M，N，若 AM mAB，AN nAC(m0，n0)，则 m 2n 的最小值为()A.3 B.4 C.83D.103答案 A 解析 AP AB BP AB 23(AC AB)13AB23AC13mAM23nAN，M，P，N 三点共线，13m23n 1，m0，n0，m 2n(m 2n)13m23n13432n3m2m3n53 22m3n2n3m 3，当且仅当2m3n2n3m，即 m n 1 时等号成立.8.(2018 潍坊模拟)已
8、知函数 f(x)x2 ex(x0)与 g(x)x2 ln(x a)的图象上存在关于 y 轴对称的点，则实数 a的取值范围是()A.(，e)B.，1eC.1e，e D.e，1e答案 A 解析 由已知得，方程 f(x)g(x)在 x0 时有解，即 ex ln(x a)0 在(，0)上有解，令 m(x)ex ln(x a)，则 m(x)ex ln(x a)在其定义域上是增函数，且 x 时，m(x)0，故 ex ln(x a)0 在(，0)上有解，当 a0 时，则 ex ln(x a)0 在(，0)上有解可化为 e0 ln a0，即 ln a1，故 0 ae，综上所述，a(，e)，故选 A.9.若曲线
9、 y ln x ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是()A.12，B.12，C.(0，)D.0，)答案 D 解析 由题意得 y 1x 2ax 0 在(0，)上恒成立，a 12x2在(0，)上恒成立.令 f(x)12x2，x(0，)，则 f(x)在(0，)上单调递增，又 f(x)12x20，a 0.10.已知 x)表示大于 x 的最小整数，例如 3)4，1.3)1，下列命题中正确的是()函数 f(x)x)x 的值域是(0，1；若 an 是等差数列，则 an)也是等差数列；若 an 是等比数列，则 an)也是等比数列；若 x(1，2 014)，则方程 x)x12有
10、2 013 个根.A.B.C.D.答案 D 解析 当 x Z 时，x)x 1，f(x)x)x x 1 x 1;当 x?Z 时，令 x n a，n Z，a(0，1)，则 x)n 1，f(x)x)x 1 a(0，1)，因此 f(x)x)x 的值域是(0，1；0.9，1，1.1 是等差数列，但 0.9)1，1)2，1.1)2 不成等差数列；0.5，1，2 是等比数列，但 0.5)1，1)2，2)3 不成等比数列；由前分析可得当 x Z 时，f(x)1；当 x?Z，x n a，n Z，a(0，1)时，f(x)1 a 1(x n)n 1 x，所以 f(x 1)f(x)，即 f(x)x)x 是周期为 1
11、的函数，由于 x(1，2)时 f(x)2 x12，x32，即一个周期内有一个根，所以若 x(1，2 014)，则方程 x)x12有 2 013 个根.正确，故选 D.11.已知等差数列 an的首项为 1，a1 a3 a5 15，an 的前 n 项和为 Sn，若 S10，a10 1，k(其中 k R)成等比数列，则实数 k 的值是()A.7 B.6 C.5 D.4 答案 D 解析 根据题意可得，a1 1，3a3 15，即 a3 5，设等差数列 an 的公差为 d，解得 d 2，所以等差数列 an的通项公式是 an 2n 1，S10 10 110 92 2 100，a10 2 10 1 19，又
12、S10，a10 1，k(其中 k R)成等比数列，所以(a10 1)2 k S10，ka10 12S10 4，故选 D.12.已知等差数列 an的公差 d 0，且 a2，a5 1，a10成等比数列，若 a1 5，Sn为数列 an的前 n 项和，则2Sn n 32an 1的最小值为()A.3 3 B.2 7 C.203D.173答案 C 解析 由于 a2，a5 1，a10成等比数列，所以(a5 1)2 a2 a10，(a1 4d 1)2(a1 d)(a1 9d)，解得 d 3(舍负)，所以 an 3n 2，Sn3n 7 n2，所以2Sn n 32an 13n2 8n 323n 3133 n 1
13、27n 1 2203，当且仅当 n 2 时“”成立.13.(2018 郑州外国语学校调研)已知实数 x，y 满足 3x y ln(x 2y 3)ln(2 x 3y 5)，则 x y _.答案167解析 设 f(t)ln t t 1，令 f(t)1t 1 0，得 t 1，所以当 0 t0，当 t1 时，f(t)0，因此 f(t)f(1)0，即 ln t t 1，所以 ln(x 2y 3)x 2y 3 1，ln(2 x 3y 5)2x 3y 5 1，因此 ln(x 2y 3)ln(2 x 3y 5)x 2y 3 1 2x 3y 5 1 3x y，因为 3x y ln(x 2y 3)ln(2x 3y
14、 5)，所以 x 2y 3 1，2x 3y 5 1，所以 x47，y127，所以 x y 167.14.设函数 f(x)1，x 1，loga|x 1|1，x 1 且 a1，若函数 g(x)f2(x)bf(x)c 有三个零点 x1，x2，x3，则 x1x2 x2x3 x1x3 _.答案 2 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示，由图可得关于 x 的方程 f(x)t 的解有两个或三个(t 1 时有三个，t 1时有两个)，所以关于 t 的方程 t2 bt c 0 只能有一个根 t 1(若有两个根，则关于 x 的方程 f2(x)bf(x)c 0 有四个或五个根)，由 f(x)1，可得 x1，x2，x
15、3的值分别为 0，1，2，x1x2 x2x3 x1x3 0 1 1 2 0 2 2.15.设 Sn，Tn分别为等差数列 an，bn 的前 n 项和，且SnTn3n 24n 5.设点 A 是直线 BC 外一点，点 P 是直线 BC上一点，且 APa1 a4b3 AB AC，则实数 的值为 _.答案 325解析 不妨取 Sn 3n2 2n，Tn 4n2 5n，当 n 1 时，a1 S1 5，当 n 2 时，an Sn Sn1 6n 1，验证得当 n 1 时上式成立.综上，an 6n 1.同理可得 bn 8n 1，即a1 a4b32825.点 P 在直线 BC 上，设 BP kBC，AP AB BP
16、 AB kBC AB k(AC AB)(1 k)AB kAC2825AB AC，即 1 k2825，k 325.16.已知函数 f(x)ln x，x0，ex e2x a，x 0，若 f(x)的所有零点之和为 1，则实数 a 的取值范围为 _.答案(2e，e2 1 解析 当 x1 时，g(x)0，g(x)单调递增，当 0 x1 时，g(x)0，g(x)单调递减，且 g(0)e2 1，g(1)2e，数形结合(图略)可知当 2ea e2 1 时，直线 y a 与函数 g(x)ex e2 x在 0，)上的图象有两个交点，且交点的横坐标 x1，x2满足x1 x22 1，即x1 x2 2.综上，x0 x1 x2 1，即 f(x)有三个零点，且零点之和为 1，满足题意，故实数 a 的取值范围为(2e，e2 1.