高考数学复习题直线与圆测试题.pdf

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1、八、直线与圆（命题人：广州市第十六中学 吴平生）2007.5.1 1.（北师大版必修 2 第 93 页 A组第 1 题）已知点)3 3,1(),3,1(B A，求直线 AB的斜率.变式 1：已知点)3 3,1(),3,1(B A，则直线 AB的倾斜角是（）A.3 B.6 C.32 D.65 解：31 13 3 3 ABk，3 t a n，0，323，故选（C）.变式 2：（2006 年北京卷）若三点)0)(,0(),0,(),2,2(ab b C a B A共线，则b a1 1的值等于.解：A、B、C 三点共线，AC ABk k，2 0222 0 ba，)(2 b a ab，21 1 1 b

2、a.变式 3：已知点)2,5(),1,1(B A，直线 l 的倾斜角是直线 AB的倾斜角的一半，求直线 l 的斜率.解：设直线 l 的倾斜角为，则直线 AB的倾斜角为 2，依题意有431 5)1(22 tan，43tan 1tan 22，0 3 t a n 8 t a n 32，31t a n 或3 tan.由0 0180 2 0，得0 090 0，0 tan，31tan，直线 l 的斜率为31.2.（人教 A版必修 2 第 111 页 A组第 9 题）求过点)3,2(P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.变式 1：直线 0 6 3 2 y x 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为

3、b，则（）A.2,3 b a B.2,3 b a C.2,3 b a D.2,3 b a 解：令 0 x 得 2 y，直线在 y 轴上的截距为 2 b；令 0 y 得 3 x，直线在 x 轴上的截距为 3 a，故选（B）.变式 2：过点)3,2(P，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.解：依题意，直线的斜率为 1 或直线经过原点，直线的方程为 2 3 x y 或 x y23，即 0 1 y x 或 0 2 3 y x.变式 3：直线 l 经过点)3,2(P，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线 l 的方程.解：依题意，直线 l 的斜率为 1，直线 l 的方程为 2 3 x y 或

4、)2(3 x y，即0 1 y x 或 0 5 y x.3.（人教 A版必修 2 第 124 页 A组第 3 题）求直线 0 10 5 2 y x 与坐标轴围成的三角形的面积.变式 1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程是.解：设所求直线方程为)5(4 x k y，依题意有 5)4 5)(54(21 kk，0 16 30 252 k k（无解）或 0 16 50 252 k k，解得52 k 或58 k.直线的方程是 0 10 5 2 y x 或 0 20 5 8 y x.变式 2：（2006 年上海春季卷）已知直线 l 过点)1,2(P，且与 x 轴、y 轴的正

5、半轴分别交于 A、B 两点，O 为坐标原点，则 OAB 面积的最小值为.解：设直线 AB的方程为)0()2(1 k x k y，则4)1()4(2 4 21)1()4(4 21 14 421)2 1)(12(21 kkkkkk kkSOAB，当且仅当kk14 即21 k 时取等号，当21 k 时，OABS有最小值 4.变式 3：已知射线)0(4:x x y l 和点)4,6(M，在射线 l 上求一点 N，使直线 MN 与 l 及 x轴围成的三角形面积 S 最小.解：设)1)(4,(0 0 0 x x x N，则直线 MN 的方程为0)4)(6()6)(4 4(0 0 y x x x.令 0 y

6、 得1500 xxx，211)1(101 1)1(101104)15(2100020020000 xxxxxxxxxS 40 211)1(2 1000 xx，当且仅当11100 xx即 20 x 时取等号，当 N 为（2，8）时，三角形面积 S 最小.4.（北师大版必修 2 第 117 页 A组第 10 题）求过点)4,1(A，且与直线 0 5 3 2 y x 平行的直线的方程.变式 1：（2005 年全国卷）已知过点),2(m A 和)4,(m B 的直线与直线 0 1 2 y x 平行，则m 的值为（）A.0 B.-8 C.2 D.10 解：依题意有 224 mm，解得 8 m，故选（B）

7、.变式 2：与直线 0 5 3 2 y x 平行，且距离等于 13 的直线方程是.解：设所求直线方程为 0 3 2 m y x，则 133 252 2 m，解得 18 m 或 8 m，直线方程为 0 18 3 2 y x 或 0 8 3 2 y x.变式 3：已知三条直线 0,0 1 3 4,0 5 3 2 y mx y x y x 不能构成三角形，求实数 m的取值集合.解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故23m 或34 m 或 1 m，实数 m 的取值集合是2 4,13 3.5.（北师大版必修 2 第 117 页 A组第 7 题）若直线

8、0 6 2 y ax 和直线 0)1()1(2 a y a a x 垂直，求 a 的值.变式 1：（1987 年上海卷）若直线 0 6 2:1 y ax l 与直线 0)1()1(:22 a y a x l 平行但不重合，则 a 等于（）A.-1 或 2 B.-1 C.2 D.32 解：2 1/l l，2 1k k 且2 1b b，112 aa且1132 aa，解得 1 a，故选（B）.变 式 2：（2005 年 北 京 春 季 卷）“21 m”是“直 线 0 1 3)2(my x m 与 直 线0 3)2()2(y m x m 相互垂直”的（）A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要

9、而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解：由2 0)2(3)2)(2(02 1 2 1 2 1 m m m m m B B A A l l或21 m，知由21 m可推出2 1l l，但由2 1l l 推不出21 m，故21 m 是2 1l l 的充分不必要条件，故选（B）.变式 3：设直线 0 6 2 y ax 与圆 0 4 22 2 y x y x 相交于点 P、Q 两点，O 为坐标原点，且 OQ OP，求 m 的值.解：圆 0 4 22 2 y x y x 经过原点 O，且 OQ OP，PQ 是圆的直径，圆心（1，-2）在直线 0 6 2 y ax 上，2 m.6.（人教 A版必修 2

10、第 110 页 A组第 3 题）已知)4,7(A，)6,5(B，求线段 AB的垂直平分线的方程.变式 1：已知)4,7(A 关于直线 l 的对称点为)6,5(B，则直线 l 的方程是（）A.0 11 6 5 y x B.0 1 5 6 y x C.0 11 5 6 y x D.0 1 6 5 y x 解：依题意得，直线 l 是线段 AB的垂直平分线.65 ABk，56 1 ABlkk，AB的中点为（1，1），直线 l 的方程是)1(561 x y 即 0 1 5 6 y x，故选（B）.变式 2：已知圆 16)4()7(2 2 y x 与圆 16)6()5(2 2 y x 关于直线 l 对称，

11、则直线 l的方程是.解：依题意得，两圆的圆心)4,7(A 与)6,5(B 关于直线 l 对称，故直线 l 是线段 AB的垂直平分线，由变式 1 可得直线 l 的方程为 0 1 5 6 y x.变式 3：求点)4,7(A 关于直线 0 1 5 6:y x l 的对称点 B 的坐标.解：设),(y x B.由 l AB，且 AB的中点在直线 l 上，得 0 124527615674y xxy，解得 65yx，)6,5(B.7.（北师大版必修 2 第 118 页 B 组第 2 题）光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被 x 轴反射，求反射光线所在直线的方程.变式 1：一条光线从点)3,2(P

12、 射出，经 x 轴反射，与圆 1)2()3(2 2 y x 相切，则反射光线所在直线的方程是.解：依题意得，点 P 关于 x 轴的对称点)3,2(P 在反射光线所在的直线上，故可设反射光线 所 在 直 线 的 方 程 为)2(3 x k y，即 0 3 2 k y kx.由 反 射 光 线 与 圆 相 切 得115 52kk，解得34 k 或43 k，反射光线所在直线的方程是)2(343 x y 或)2(433 x y，即 0 1 3 4 y x 或 0 6 4 3 y x.变式 2：（2003 年全国卷）已知长方形的四个顶点)0,0(A、)0,2(B、)1,2(C 和)1,0(D，一质点从

13、AB的中点0P 沿与 AB夹角为 的方向射到 BC 上的点1P 后，依次反射到 CD、DA 和AB上的点2P、3P 和4P（入射角等于反射角）.设4P 的坐标为)0,(4x.若 2 04 x，则 ta n的取值范围是（）A.)1,31(B.)32,31(C.)21,52(D.)32,52(解：用特例法，取 14 x，则1P、2P、3P、4P 分别为 BC、CD、DA、AB的中点，此时21tan.依题意，包含21tan 的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.变式 3：已知点)15,2(),5,3(B A，在直线 0 4 4 3:y x l 上求一点 P，使 PB PA 最小.解：由题意知，

14、点 A、B 在直线 l 的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点 A关于直线 l 的对称点 A，然后连结 B A，则直线 B A与 l 的交点 P 为所求.事实上，设点 P 是 l 上异于 P的点，则 PB PA B A B P A P B P A P.设),(y x A，则 0 425423314335y xxy，解得 33yx，)3,3(A，直线 B A的方程为 0 51 18 y x.由 0 51 180 4 4 3y xy x，解得338yx，)3,38(P.8.（人教 A版必修 2 第 144 页 A组 3）求以)3,1(N 为圆心，并且与直线 0 7 4 3 y x 相切的圆的方程.

15、变式 1：（2006 年重庆卷）过坐标原点且与圆 0252 42 2 y x y x 相切的直线的方程为（）A.x y 3 或 x y31 B.x y 3 或 x y31 C.x y 3 或 x y31 D.x y 3 或 x y31 解：设直线方程为 kx y，即 0 y kx.圆方程可化为25)1()2(2 2 y x，圆心为（2，-1），半径为210.依题意有21011 22kk，解得 3 k 或31 k，直线方程为x y 3 或 x y31，故选（A）.变式 2：（2006 年湖北卷）已知直线 0 12 5 a y x 与圆 0 22 2 y x x 相切，则 a 的值为.解：圆1)1

16、(2 2 y x的圆心为（1，0），半径为 1，112 552 2 a，解得 8 a 或 18 a.变式 3：求经过点)5,0(A，且与直线 0 2 y x 和 0 2 y x 都相切的圆的方程.解：设所求圆的方程为 2 2 2)()(r b y a x，则 rb a b ar b a5252)5(2 2 2，解得531rba或5 5155rba，圆的方程为5)3()1(2 2 y x或125)15()5(2 2 y x.9.（人教 A版必修 2 第 144 页 A 组 第 5 题）求直线 0 6 3:y x l 被圆 0 4 2:2 2 y x y x C 截得的弦 AB的长.变式 1：（1

17、999 年全国卷）直线 0 3 2 3 y x 截圆 42 2 y x 得的劣弧所对的圆心角为（）A.6 B.4 C.3 D.2 解：依题意得，弦心距 3 d，故弦长 2 22 2 d r AB，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3 AOB，故选（C）.变式 2：（2006 年天津卷）设直线 0 3 y ax 与圆 4)2()1(2 2 y x 相交于 A、B 两点，且弦 AB的长为 3 2，则 a.解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得2 2 222)3()11(aa，解得 0 a.变式 3：已知圆 6)2()1(:2 2 y x C，直线 0 1:m y mx l

18、.（1）求证：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆 C 恒交于两点；（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程.解：（1）直线)1(1:x m y l 恒过定点)1,1(P，且 6 5 r PC，点 P 在圆内，直线 l 与圆 C 恒交于两点.（2）由平面几何性质可知，当过圆内的定点 P 的直线 l 垂直于 PC 时，直线 l 被圆 C 截得的弦长最小，此时 21 PClkk，所求直线 l 的方程为)1(2 1 x y 即 0 1 2 y x.10.（北师大版必修 2 第 117 页 A组 第 14 题）已知直线 0 3 2 3 y x 和圆 42 2 y x，判断此直线与已知圆

19、的位置关系.变式 1：（2006 年安徽卷）直线 1 y x 与圆)0(0 22 2 a ay y x 没有公共点，则 a 的取值范围是（）A.)1 2,0(B.)1 2,1 2(C.)1 2,1 2(D.)1 2,0(解：依题意有aa21，解得1 2 1 2 a.0 a，1 2 0 a，故选（A）.变式 2：（2006 年湖北卷）若直线 2 kx y 与圆 1)3()2(2 2 y x 有两个不同的交点，则 k的取值范围是.解：依题意有 111 22kk，解得340 k，k 的取值范围是)34,0(.变式 3：若直线 m x y 与曲线24 x y 有且只有一个公共点，求实数 m 的取值范围

20、.解：曲线24 x y 表示半圆)0(42 2 y y x，利用数形结合法，可得实数 m 的取值范围是 2 2 m 或 2 2 m.11.（北师大版必修 2 第 101 页例 8）判断圆 0 26 6 2:2 21 y x y x C 与圆 0 4 2 4:2 22 y x y x C 的位置关系，并画出图形.变式 1：（1995 年全国卷）圆 0 22 2 x y x 和圆 0 42 2 y y x 的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 解：圆 1)1(2 2 y x 的 圆 心 为)0,1(1O，半 径 11 r，圆 4)2(2 2 y x 的 圆 心 为)2,0(2 O

21、，半径 22 r，1,3,51 2 2 1 2 1 r r r r O O.2 1 2 1 1 2r r O O r r，两圆相交，故选（C）.变式 2：若圆 0 4 22 2 2 m mx y x 与圆 0 8 4 4 22 2 2 m my x y x 相切，则实数 m的取值集合是.解：圆 4)(2 2 y m x 的圆心为)0,(1m O，半径 21 r，圆 9)2()1(2 2 m y x 的圆心为)2,1(2m O，半 径 32 r，且 两 圆 相 切，2 1 2 1r r O O 或1 2 2 1r r O O，5)2()1(2 2 m m 或 1)2()1(2 2 m m，解得5

22、12 m 或 2 m，或 0 m 或25 m，实数 m 的取值集合是 2,0,25,512.变式 3：求与圆 52 2 y x 外切于点)2,1(P，且半径为 5 2 的圆的方程.解：设所求圆的圆心为),(1b a O，则所求圆的方程为 20)()(2 2 b y a x.两圆外切于点 P，131OO OP，),(31)2,1(b a，6,3 b a，所 求 圆 的 方 程 为20)6()3(2 2 y x.12.（人教 A版必修 2 第 145 页 B 组第 2 题）已知点)2,4(),6,2(),2,2(C B A，点 P 在圆42 2 y x上运动，求 2 2 2PC PB PA 的最大

23、值和最小值.变式 1：（2006 年湖南卷）圆 0 10 4 42 2 y x y x 上的点到直线 0 14 y x 的最大距离与最小距离的差是（）A.36 B.18 C.2 6 D.2 5 解：圆 18)2()2(2 2 y x 的圆心为（2，2），半径 2 3 r，圆心到直线的距离r d 2 5210，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2 6 2)()(r r d r d，故选（C）.变式 2：已知)0,2(A，)0,2(B，点 P 在圆 4)4()3(2 2 y x 上运动，则2 2PB PA 的最小值是.解：设),(y x P，则8 2 8)(2)2()2(22

24、2 2 2 2 22 2 OP y x y x y x PB PA.设圆心为)4,3(C，则3 2 5min r OC OP，2 2PB PA 的最小值为26 8 3 22.变式 3：已知点),(y x P 在圆 1)1(2 2 y x 上运动.（1）求21xy的最大值与最小值；（2）求 y x 2 的最大值与最小值.解：（1）设 kxy21，则 k 表示点),(y x P 与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值.由 1122 kk，解得33 k，21xy的最大值为33，最小值为33.（2）设 m y x 2，则 m 表示直线 m y x 2 在 y 轴上的截距.

25、当该直线与圆相切时，m 取 得最大值与最小值.由 151 m，解得 5 1 m，y x 2 的最大值为 5 1，最小值为5 1.13.（人教 A版必修 2 第 135 页 B 组第 3 题）已知点 M 与两个定点)0,0(O，)0,3(A 的距离的比为21，求点 M 的轨迹方程.变式 1：（2006 年四川卷）已知两定点)0,2(A，)0,1(B，如果动点 P 满足 PB PA 2，则点 P 的轨迹所包围的面积等于（）A.B.4 C.8 D.9 解：设点 P 的坐标 是),(y x.由 PB PA 2，得 2 2 2 2)1(2)2(y x y x，化简得4)2(2 2 y x，点 P的轨迹是

26、以（2，0）为圆心，2为半径的圆，所求面积为 4，故选（B）.变式 2：（2004 年全国卷）由动点 P 向圆 12 2 y x 引两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P 的轨迹方程是.解：设),(y x P.APB=600，O P A=300.AP OA，2 2 OA OP，22 2 y x，化简得 42 2 y x，动点 P 的轨迹方程是 42 2 y x.变式 3：（2003 年北京春季卷）设)0)(0,(),0,(c c B c A 为两定点，动点 P 到 A点的距离与到 B 点的距离的比为定值)0(a a，求 P 点的轨迹.解：设动点 P 的坐标为),(

27、y x P.由)0(a aPBPA，得 ay c xy c x 2 22 2)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2 2 2 2 2 2 2 a c x a c y a x a.当 1 a 时，化简得01)1(22222 2 c xaa cy x，整理得 222 222)12()11(aacy caax；当 1 a 时，化简得 0 x.所以当 1 a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22caa为圆心，122 aac为半径的圆；当 1 a 时，P 点的轨迹是 y 轴.14.（人教 A版必修 2 第 133 页例 5）已知线段 AB的端点 B 的坐标是（4，3），端点 A在圆 4)1(2 2

28、 y x 上运动，求线段 AB的中点 M 的轨迹方程.变式 1：已知定点)0,3(B，点 A在圆 12 2 y x 上运动，M 是线段 AB 上的一点，且MB AM31，则点 M 的轨迹方程是（）A.9)1(2 2 y x B.1)3(2 2 y x C.169)43(2 2 y x D.916)1(2 2 y x 解：设),(),(1 1y x A y x M.MB AM31，),3(31),(1 1y x y y x x，y y yx x x31)3(3111，y yx x3413411.点 A在圆 12 2 y x 上运动，12121 y x，1)34()134(2 2 y x，即169

29、)43(2 2 y x，点 M 的轨迹方程是169)43(2 2 y x，故选（C）.变式 2：已知定点)0,3(B，点 A 在圆 12 2 y x 上运动，AOB 的平分线交 AB于点 M，则点 M 的轨迹方程是.解：设),(),(1 1y x A y x M.OM 是 AOB 的平分线，31 OBOAMBAM，MB AM31.由变式 1 可得点 M 的轨迹方程是169)43(2 2 y x.变式 3：已知直线 1 kx y 与圆 42 2 y x 相交于 A、B 两点，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB，求点 P 的轨迹方程.解：设),(y x P，AB的中点为 M.OAPB 是

30、平行四边形，M 是 OP 的中点，点 M 的坐 标 为)2,2(y x，且 AB OM.直 线 1 kx y 经 过 定 点)1,0(C，CM OM，0)12(2)2()12,2()2,2(2 y y x y x y xCM OM，化简得 1)1(2 2 y x.点 P 的轨迹方程是 1)1(2 2 y x.15.（人教 A版必修 2 第 144 页练习第 3 题）某圆拱桥的水面跨度 20 m，拱高 4 m.现有一船宽 10 m，水面以上高 3 m，这条船能否从桥下通过？变式 1：某圆拱桥的水面跨度是 20 m，拱高为 4 m.现有一船宽 9 m，在水面以上部分高3 m，故通行无阻.近日水位暴

31、涨了 1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞.（结果精确到 0.01 m）解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为2 2 2)(r b y x.圆经过点（10，0），（0，4），2 22 2)4(100r br b，解得 5.145.10rb.圆的方程是)4 0(5.14)5.10(2 2 2 y y x.令 5.4 x，得)(28.3 m y.故当水位暴涨 1.5 m 后，船身至少应降低 m 22.1)3 28.3(5.1，船才能通过桥洞.变式 2：据气象台预报：在 A城正东方 300 km的海面 B处有一台风中心，正以每小时 40km的速度向西北

32、方向移动，在距台风中心 250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约 h，台风将影响 A城，持续时间约为 h.（结果精确到 0.1 h）解：以 B 为原点，正东方向所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是x y，受台风影响的区域边界的曲线方程是2 2 2250)()(a y a x.依题意有2 2 2250)300(a a，解得 14 25 150 14 25 150 a.6.64014 50 2402,0.24014 25 150 24021 2 11 a atat.从现在起经过约 2.0 h，台风将影响 A城，持续时间约为 6.6 h.变式 3：有一种商品，A、B 两地

33、均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费 A地是 B 地的 3 倍.已知 A、B 两地的距离是 10 km，顾客购买这种商品选择 A地或 B地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求 A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.解：以 AB的中点为原点，AB所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，则)0,5(A，)0,5(B.设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为 a 元 km/，则 PB a PA a 3，2 2 2 2)5()5(3 y x a y x a，化简得2 2 2)415()425(y x.A、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(为圆心，415为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去 A地购货，在曲线外的居民选择去 B 地购货，在曲线上的居民去 A、B 两地购货均可.