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1、阶段检测试题(五)(时间:120 分钟 满分:150 分)【选题明细表】知识点、方法 题号 直线的方程、圆的方程 2,3,13 直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系 1,4,17 椭圆定义、标准方程及简单几何性质的应用 8,15 双曲线定义、标准方程及简单几何性质的应用 6,7,9 抛物线定义、标准方程及简单几何性质的应用 10,14,16 轨迹方程 12 最值、范围问题、证明问题 5,11,18,20,21 定点、定值问题、存在性问题 19,22 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若直线 l1:x+ay+6=0 与 l2:(a-2)x+3y+2a=0 平行
2、,则 l1与 l2之间的距离为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为 l1与 l2平行,所以 3-a(a-2)=0,即 a=3 或 a=-1.当 a=3 时,l1与 l2重合.所以 a=-1.所以 l1为 x-y+6=0,l2为 x-y+=0.两直线之间的距离 d=,故选 B.2.圆 x2+y2+2x-6y+1=0 关于直线 ax-by+3=0(a0,b0)对称,则+的最小值是(D)(A)2(B)(C)4(D)解析:由圆 x2+y2+2x-6y+1=0 知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,因为圆x2+y2+2x-6y+1=0 关于直线 ax-by+3=0(a0,b0)对称,所以该直
3、线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,所以 a+3b=3(a0,b0).所以+=(a+3b)(+)=(1+9)(10+2)=,当且仅当=,即a=b 时取等号,故选 D.3.圆心在 y 轴上,且过点(3,1)的圆与 x 轴相切,则该圆的方程是(B)(A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10 x=0(D)x2+y2-10 x=0 解析:设圆的圆心为(0,r),半径为 r,则=r.解得 r=5,所求圆的方程为 x2+(y-5)2=25,即 x2+y2-10y=0.故选 B.4.过直线 y=x 上一点 P 引圆 x2+y2-6x+7=0 的切线,则切线长的最
4、小值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:圆的方程化为标准方程为(x-3)2+y2=2,所以圆心为C(3,0),半径为,要使切线长最小,则 CP 最短.因为圆心 C 到直线 y=x 的距离d=,所以 CP 的最小值为圆心 C 到直线 y=x 的距离 d,根据勾股定理得切线长的最小值为=,故选 C.5.斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2(B)(C)(D)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0.则 x1+x2=-t,x1x2=.所以|A
5、B|=|x1-x2|=,当 t=0 时,|AB|max=.故选 C.6.已知双曲线 my2-x2=1(mR)与椭圆+x2=1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近线方程为(A)(A)y=x(B)y=x(C)y=x (D)y=3x 解析:椭圆+x2=1 的焦点坐标为(0,2).双曲线 my2-x2=1(mR)的焦点坐标为(0,),=2,所以 m=.所以双曲线的渐近线方程为 y=x.故选 A.7.已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点.设 A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2,且 d1+d2=6,则双曲线的方程为(C)(
6、A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1 解析:如图,不妨设 A 在 B 的上方,则 A(c,),B(c,-).其中的一条渐近线为 bx-ay=0,则 d1+d2=2b=6,所以 b=3.又由 e=2,知 a2+b2=4a2,所以 a=.所以双曲线的方程为-=1.故选 C.8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A 在准线l 上,若MAl,且直线AF 的斜率kAF=-,则AFM的面积为(C)(A)3(B)6(C)9(D)12 解析:设准线 l 与 x 轴交于 N,所以|FN|=3,因为直线 AF 的斜率 kAF=-,所以AFN=60,在直角三
7、角形 ANF 中,|AN|=3,|AF|=6,根据抛物线定义知,|MF|=|MA|,又NAF=30,MAl,所以MAF=60,因此AMF 是等边三角形,故|MA|=6,所以AFM 的面积为 S=|MA|AN|=63=9,故选 C.9.已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线C上第二象限内一点,若直线y=x恰为线段PF2的垂直平分线,则双曲线 C 的离心率为(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题,结合图知,直线PF2的方程为y=-(x-c),设直线PF2与直线y=x 的交点为 N,易知 N(,),又线段 PF2的中点为 N,故 P(,),因为点 P 在双
8、曲线 C 上,所以-=1,即 5a2=c2,所以 e=.10.过点 P(2,-1)作抛物线 x2=4y 的两条切线,切点分别为 A,B,PA,PB分别交 x 轴于 E,M 两点,O 为坐标原点,则PEM 与OAB 的面积的比值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令 x1b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是椭圆上一点,PF1F2是以 F2P 为底边的等腰三角形,且 60PF1F2120,则该椭圆的离心率的取值范围是(B)(A)(,1)(B)(,)(C)(,1)(D)(0,)解析:由题意可得,|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1
9、F2|PF1|cosPF1F2=4c2+4c2-22c2ccosPF1F2,即|PF2|=2c,所以a=c+c,又 60PF1F2120,所以-cosPF1F2,所以 2ca(+1)c,则 ,即e0)的焦点为F,A(0,),抛物线C上的点B满足 ABAF,且|BF|=4,则 p=.解析:由题意,kAF=-,所以直线 AB 的方程为 y=x+,代入 y2=2px,可得 p2x2-12px+36=0,所以 x=,因为|BF|=4,所以+=4,所以 p=2 或 6.答案:2 或 6 15.椭圆+y2=1 的弦被点(,)平分,则这条弦所在的直线方程是 .解析:设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x
10、2,y2),则 x1+x2=1,y1+y2=1.因为 A,B 在椭圆上,所以+=1,+=1.+(y1+y2)(y1-y2)=0,即=-=-,即直线 AB 的斜率为-.所以直线 AB 的方程为 y-=-(x-),即 2x+4y-3=0.答案:2x+4y-3=0 16.抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 D,若|AF|+|BF|=6,则点 D 的横坐标为 .解析:设 AB 的中点为 H,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,设 A,B,H 在准线上的射影分别为 A,B,H,则|HH|=(|AA|+|
11、BB|),由抛物线的定义可得,|AF|=|AA|,|BF|=|BB|,|AF|+|BF|=6,即为|AA|+|BB|=6,|HH|=6=3,即有 H 的横坐标为 2,设直线 AB:y=kx+3,代入抛物线方程,可得 k2x2+(6k-4)x+9=0,即有判别式(6k-4)2-36k20,解得 k0)的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求过点 A,B 且与 C 的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得 F(1,0),l 的方程为 y=k(x-1)(k0).设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2
12、+160,故 x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得 k=-1(舍去)或 k=1.因此 l 的方程为 y=x-1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16 或(x-11)2+(y+6)2=144.18.(本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 E:+=1(ab0)的离心率为,其左、右焦点 F1,F2间的距离为 4,过动点 P 的直线 PF1和 PF2与椭圆 E 的
13、交点分别为 A,B 和C,D.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)设直线 AB,CD 的斜率分别为 k1,k2,若|AB|+|CD|=6,求+的最小值.解:(1)由题意得 解得 所以椭圆 E 的标准方程为+=1.(2)因为直线 AB 的斜率为 k1,且直线 AB 过 F1(-2,0),所以直线 AB 的方程为 y=k1(x+2),将直线 AB 的方程代入+=1,整理得(2+1)x2+8 x+8-8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=4,同理可得|CD|=4,因为|AB|+|CD|=6,所以 4+4=6,即 2(+)=3,去分母得 2(+1)
14、(2+1)+2(+1)(2+1)=3(2+1)(2+1),化简得=,即|k1k2|=,所以+2|k1k2|=1,注意到直线 AB,CD 不重合且交于点 P,所以当且仅当 k1,k2互为相反数,且|k1|=|k2|=时,+取最小值 1.19.(本小题满分 12 分)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为x=-1,直线 l 与抛物线相交于不同的 A,B 两点.(1)求抛物线的标准方程;(2)如果直线 l 过抛物线的焦点,求的值;(3)如果=-4,直线 l 是否过一定点,若过一定点,求出该定点;若不过一定点,试说明理由.解:(1)已知抛物线的对称轴为坐标轴,顶点是坐标原点,准线方程为
15、x=-1,所以=1,p=2.所以抛物线的标准方程为 y2=4x.(2)设 l:my=x-1,与 y2=4x 联立,得 y2-4my-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=-4,所以=x1x2+y1y2=+y1y2=()2+y1y2=-3.(3)假设直线 l 过定点,设 l:my=x+n,得 y2-4my+4n=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=4n.由=()2+y1y2=n2+4n=-4,解得 n=-2,所以 l:my=x-2 过定点(2,0).20.(本小题满分 12 分)已知 A(-2,0),B(2,0
16、)为椭圆 C 的左、右顶点,F 为其右焦点,P 是椭圆C 上异于 A,B 的动点,且APB 面积的最大值为 2.(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 AP 与椭圆在点 B 处的切线交于点 D,当点 P 在椭圆上运动时,求证:以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切.(1)解:设椭圆 C 的方程为+=1(ab0),F(c,0),由题意知解得 b=,c=1.所以椭圆 C 的方程为+=1.(2)证明:设直线 AP 的方程为 y=k(x+2)(k0),则点 D 坐标为(2,4k),BD 中点 E 的坐标为(2,2k).由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.设点 P 的坐标为(x0,y
17、0),则-2x0=.所以 x0=,y0=k(x0+2)=.因为点 F 坐标为(1,0),当 k=时,点 P 的坐标为(1,),直线 PFx 轴,点 D 的坐标为(2,2).此时以 BD 为直径的圆(x-2)2+(y1)2=1 与直线 PF 相切.当 k 时,则直线 PF 的斜率 kPF=.所以直线 PF 的方程为 y=(x-1).点 E 到直线 PF 的距离 d=2|k|.又因为|BD|=4|k|,所以 d=|BD|.所以以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.综上,当点 P 在椭圆上运动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 恒相切.21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:+=1(ab0)
18、经过点 P(1,),且离心率为.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 F1,F2分别为椭圆 C 的左、右焦点,不经过 F1的直线 l 与椭圆 C交于两个不同的点 A,B.如果直线 AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列,求焦点 F2到直线 l 的距离 d 的取值范围.解:(1)由题意,知解得 所以椭圆 C 的方程为+y2=1.(2)易知直线 l 的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方程+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.由=(4km)2-8(1+2k2)(m2-1)0,得 2k2m2-1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1
19、+x2=-,x1x2=.因为 F1(-1,0),所以=,=.由题可得 2k=+,且 y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以(m-k)(x1+x2+2)=0.因为直线 l:y=kx+m 不过焦点 F1(-1,0),所以 m-k0,所以 x1+x2+2=0,从而-+2=0,即 m=k+.由得 2k2(k+)2-1,化简得|k|.焦点 F2(1,0)到直线 l:y=kx+m 的距离 d=,令 t=,由|k|知 t(1,).于是 d=(t+),考虑到函数 f(t)=(t+)在1,上单调递减,所以 f()df(1),解得d2,所以焦点 F2到直线 l 的距离 d 的取值范围是(,2).22.(本小题满
20、分 12 分)设 O 为坐标原点,动点 P 在圆 C:x2+y2=4 上,过 P 作 y 轴的垂线,垂足为H,若点 Q 满足=,记点 Q 的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程;(2)若动点 P 在第一象限,过动点 P 作圆 C 的切线,交曲线 E 于 A,B 两点,设F(,0),试判断ABF的周长是否为定值?若是,试求该定值;若不是,请说明理由.解:(1)设 P(x0,y0),H(0,y0),Q(x,y),则=(x0,0),=(x,y-y0).又=,则(x0,0)=(x,y-y0),则 x0=,y0=y.又 P(x0,y0)在圆 C 上,则()2+y2=4,化简得+=1.故轨迹 E 的方程是
21、+=1.(2)ABF 的周长是定值,值为 6.法一 由动点P在第一象限,可设直线AB的方程为y=kx+m(k0),由 得(4+9k2)x2+18kmx+9m2-36=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x10,x20,且 x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1-x2|=.因为直线 AB 与圆 C:x2+y2=4 相切,所以=2,即 m2=4+4k2,所以|AB|=-,因为|AF|=.因为 00,x20,且+=1,|AF|=,因为 0 x13,所以|AF|=3-,在圆 C 中,P 是切点,所以|AP|=x1,所以|AF|+|AP|=3-x1+x1=3,同理可得|BF|+|BP|=3,所以|AF|+|BF|+|AB|=3+3=6,故ABF 的周长是定值 6.