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1、第十九周 简单枚举 专题简析：枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。例题 1 从小华家到学校有 3 条路可走，从学校到文峰公园有4 条路可走。从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？文峰公园学校小华家(5)(6)(7)(4)(3)(2)(1)为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。我们把小华的不同走法一一列举如下：第十一种走法：家 学校 文峰公
2、园第十二种走法：家 学校 文峰公园第十种走法：家 学校 文峰公园第九种走法：家 学校 文峰公园第五种走法：家 学校 文峰公园第六种走法：家 学校 文峰公园第八种走法：家 学校 文峰公园第七种走法：家 学校 文峰公园第三种走法：家 学校 文峰公园第四种走法：家 学校 文峰公园第二种走法：家 学校 文峰公园第一种走法：家 学校 文峰公园 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走路有 4 种不同走法，走路有 4 种不同走法，走路也有 4 种不同走法，共有43=12 种不同走法。类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出
3、如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园练 习 一 1，从甲地到乙地，有 3 条公路直达，从乙地到丙地有 2 条铁路直达。从甲地到丙地有多少种不同走法？2，新华书店有 3 种不同的英语书，4 种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？3，明明有 2 件不同的上衣，3 条不同的裤子，4 双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不同的装束？类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从
4、小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园例题 2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：红 绿黄红绿黄红绿黄红绿 黄红 绿 黄黄 绿红 从上面可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有 3 个2 种不同
5、排列方法，即 23=6 种。练 习 二 1，用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？2，用数字 1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3，用 2、3、5、7 四个数字，可以组成多少个不同的四位数？类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园例题 3 一个长方形的周长是 22 米，如果它的
6、长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是 22 米，可知它的长与宽之和为 11 米。下面列举出符合这个条件的各种长方形：35628472438182910110面积(米2)宽（米）长（米）练 习 三 1，一个长方形的周长是 30 厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？2，把 15 个玻璃球分成数量不同的 4 堆，共有多少种不同的分法？3，3 个自然数的乘积是 18，问由这样的 3 个数所组成的数组有多少个？如（1，2，9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，9）和（2，9，1）是同一数组
7、。类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园例题 4 有 4 位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？思路导航：把 4 个小朋友分别编号：A、B、C、D，A与其他小朋友打电话，应该打 3 次，同样 B小朋友也应打 3 次电话，同样 C、D应该各打 3 次电话。4 个小朋友，共打了 34=12 次。但题目要求两个小朋友之
8、间只要通一次电话，那么 A 打电话给 B 时，A、B两人已经通过话了，所以 B没有必要再打电话给 A，照这样计算，12 次电话中，有一半是重复计算的，所以实际打电话的次数是 342=6 次。练 习 四 1，6 个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？2，有 8 位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？3，小芳出席由 19 人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少次手？类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰
9、公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园例题 5 一条铁路，共有 10 个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至少相隔 5 个车站），那么这样的车票共有多少种？10987654321 我们可以利用列举的方法：如果起点站是 1，那么终点站只能是 7、8、9 或 10；如果起站站是 2，那么终点站只能是 8、9 或 10；如果起点站是 3，那么终点站只能是 9 或 10；如果起点站是 4，终点站只能是 10；如果起点站是 5、6 时，就找不到与它至少相隔 5 站的终点站了；如果起点站是 7，终点站只能是 1
10、；如果起点站是 8，那么终点站是 2 或 1；如果起点站是 9，那么终点站是 3、2 或 1；如果起点站是 10，那么终点站是 4、3、2 或 1。所以，起点到终点至少相隔 5 个车站的车票有：4321001234=20 种。类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园练 习 五 1，上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同的机票？2，一条公路上，共有 8 个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔 3 个车站），那么共有多少种不同的车票？3，在长江的某一航线上共有 6 个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔 2 个码头），那么这样的船票共有多少种？类要注意以下两点一是分类要全不能造成遗漏二是枚举要清要将每一个符合条件的对象都列举出来例题从小华家到学理解题意我们可以画出如上示意图我们把小华的不同走法一一列举如下第一种走法家学校文峰公园第二种走法家学校峰公园第七种走法家学校文峰公园第八种走法家学校文峰公园第九种走法家学校文峰公园第十种走法家学校文峰公园