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1、 武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A 卷）备注: 半开卷（可带一页手写A4 纸，左上角写姓名，不得带复印件）, 不得在试题纸上答题 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题 5分，共30分）22 355p1.将 和 作为 =3.14159265358979 L 的近似值，它们各有几位有效数字，7 113绝对误差和相对误差分别是多少()2.已知 f x =x8+x5-32，求 f30,3,1L ,38， f30,3,1L ,3.91f()x dxA f(0)+A f(1)+A f(0)中的待定系数，使其0 1 23.确定求积公式0代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。1 0 -14
2、.求矩阵A = 0 1 0 的谱半径。-2 0 2100 995.设A =()( )p,计算A 的条件数cond A ,P =2,.99 98二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）1.求满足条件H (0)=1,H (0),=1 H (1)=2,H (1)=2.的插值多项式 H ()x .23()() () ()2.已知 f -1 =2,f 1 =1,f 2 =1，求 f x 的Lagrange插值多项式。3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合xi01122435yi 20x +2x +3x =24123( )T4.用Jacobi迭代法求解方程组 x +8x +x =12
3、，取初值x()0 =0,0,0 ，1232x -3x +15x =30312计算迭代二次的(x,y,z)值；（2分）问Jacobi迭代法是否收敛为什么（2分）若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10 -6ln(3106)（提示：13.57）（5分）ln3问Gauss-Seidel迭代法是否收敛为什么（1分）y=-x+y2() 在 0,1.5上的数值解，取 h=0.5， 5.用欧拉法求解初值问题y 0 =2计算过程保留 5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣 4分）三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）( )()21.设Ax =b，其中ARnn为非奇异矩
4、阵，证明 cond A A =cond A 2T22.证明向量X 的范数满足不等式 X X n x 2四.证明（10分）对于给定的正数a,应用牛顿法于方程 f()x =1-a=0，写出牛顿迭代格式；x证明当初值满足0x 2时，该迭代法收敛。a0 武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题 5分，共30分）22 355p1.将 和 作为 =3.14159265358979 L 的近似值，它们各有几位有效数字，7 113绝对误差和相对误差分别是多少3分）2分）()2.已知 f x =x8+x5-32，求 f30,3,1L ,
5、3， f30,3,1L ,3.89 ( 5分）3.确定求积公式0精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。1f(x)dxA f(0)+A f(1)+A f(0)中的待定系数，使其代数0 1 2解：要使其代数精度尽可能的高，只需令 f(x)=1,x,L xm,L 使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即m =2。由 f(x)=1数值积分准确成立得： A +A =101由 f(x)=x数值积分准确成立得： A +A =1/212由 f(x)=x2数值积分准确成立得： A =1/ 31解得A =1/3,A =1/6, A =2/3.( 3分）120此时，
6、取 f(x)=x3积分准确值为1/4,而数值积分为 A =1/ 3 1/ 4, 所以该求积1公式的最高代数精度为 2次。( 2分）1 0 -14.求矩阵A = 0 1 0 的谱半径。-2 0 2 l-1 0 1( )()ll lllI-A = 0 -1 0 = -1 -3 解 l2 0 -2l=0,l=1,l=3矩阵A 的特征值为 123() rA =max 0,1,3 =3 (5分） 所以谱半径100 995.设A = ,计算A 的条件数cond A ,P =2,.()( ) 99 98 p98 -99-98 99 A 99 -100A*解：A* = A-1= =-99 100 矩阵A 的较
7、大特征值为，较小的特征值为，则 cond()A =A A-1 =198.00505035/0.00505035=39206 (2分） 222cond()A =A A-1 =199199=396013分） (二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分）1.求作满足条件H (0)=1,H (0),=1 H (1)=2,H (1)=2.的插值多项式 H ()x .2解：根据三次 Hermite插值多项式：3x-x x-x0x -x x -xx-x x-x1H ()(x =1-2 )(1 )2y +(1-2 )(0 )2yx -x x -x1 0 1 03015分）(0101+(x-x )
8、(x-x1 )2y+(x-x)(x-x0 )2yx -x x -x00110110并依条件H (0)=1,H (0),=1 H (1)=2,H (1)=2.，得2H ()(x =1+2x)(x-1)2+2(3-2x)x2+1x(x-1)2+2(x-1)x2235分）(1 132 2= x + x+1()() () ()2.已知 f -1 =2,f 1 =1,f 2 =1，求 f x 的Lagrange插值多项式。 解：注意到： x =-1,x =1,x =2;012y =2,y =1,y =1012l =(x-x)(x-x )(x-1)(x-2)=12(x -x)(x -x ) 600102l
9、 =(x-x )(x-x )(x+1)(x-2)=02(x -x )(x -x ) -211012l =(x-x )()(x-x x+1)(x-1)=01(x -x )(x -x) 322021(x-1)(x-2)2+(x+1)(x-2)(1+x+1)(x-1)16 -2 3()nL ()x = yl x =2j jj=0( )=1 x -3x+826.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合xy01122435ii解: P(x)=a +a x01 m mma +(x)a = yi0i 15分）(i=1i=1 mmm(x)a +(x )a = x yi i2i 0i 1i=1i=1i=14a +
10、6a =12016a +14a =2501a =0.9,a =1.4， P(x)=0.9+1.4x 5分）(0120x +2x +3x =24123( )T4.用Jacobi迭代法求解方程组 x +8x +x =12 ，取初值x()0 =0,0,0 ，计算迭1232x -3x +15x =30312代二次的值；（2分） 问Jacobi迭代法是否收敛为什么（2分）若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于10 -6（提示：ln(3106)13.57）（5分）ln3问Gauss-Seidel迭代法是否收敛为什么（1分）解：先将方程组化成便于迭代的形式，以20,8,15分别除以三个方程两
11、边得 x =-1 x -3 x +6 1 3 0 - -1020 510201123 1331x =- x - x + ， 迭代矩阵B = - 0 - ,8 8 288213 2 12 3-15 15x =- x + x +2015 5332由于|B |=1=q(k)(1)1-qln|B|10-6(1-1)32ln13ln(110-6)ln可得K =ln(3106)13.57ln33=ln13所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于10-6.y=-x+y25.用欧拉法解初值问题 在 0,1.5上的数值解，取h=0.5，计算过程保()y 0 =2留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4
12、分） 解：欧拉法的公式为 ( )()( )k-1 k-1y x y =y +hf x ,y =y +h -x +y k=1,2,3,4 （4分） 2k-1，kkk-1k-1k-1已知x =0，y =200( )()y 0.5 y =2+0.5-0+2 =4 21( )()y 1 y =4+0.5-0.5+4 =11.75 22( )()y 1.5 y =11.75+0.5-1+11.75 =80.28125 （6 分） 23三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分）( )()21.设Ax =b，其中ARnn为非奇异矩阵，证明 cond A A =cond A 2T2证明： (
13、AA T)(T =AT)TgA T =AA T AA T为对称矩阵对于任意给定的非零列向量C,都有CTgA TAgC=(AC)(Tg AC)=b2 0所以A TA为正定矩阵,AA T也为正定矩阵所以AA T为对称正定矩阵.r rcond(A TA)=A TA (ATA)-1 = (A A)(ATA)-1T222lmaxlmax = (ATA)g (ATA)-1lmaxlmax又由于 A = (ATA),A -1 = (ATA)-122llcond(A)2 =(A A -1 )= (ATA)(g ATA)-122maxmax22所以cond(A TA)=cond(A)2 （5 分）222.证明向
14、量X 的范数满足不等式 X X n x 2X 2 =max x x 2 n X 2 nxX证明：设 是向量 的分量，则2， jiiii=1所以由向量范数的概念可知，结论成立. （5分） 四.证明（10分）对于给定的正数a,应用牛顿法于方程 f(x)=1-a=0，写出牛顿迭代格式；x证明当初值满足0x 2时，该迭代法收敛。a0证：因为 f()x =-1，故牛顿迭代格式为 x21 -a x =x -f(x)=x -xk =x (2-ax ), k=0,1,2,L （5分） 1f()xk+1kkkk-x2k下证明其收敛性。 k记第 步的误差为e =x*-x 和构造r =ae ，k=0,1,L ， k
15、kkk则有a,r,x三者之间的关系为 kk r =ae =a(x*-x )=ax*-ax =1-ax； kkkkk而 r =1-ax =1-ax (2-ax )=1-ax (1+r)k+1k+1kkkk =(1-ax )-ax r =r -ax r =(1-ax )r =r2, k=0,1,L （+） kk kkk k（+）式是一个递推关系，重复使用它，得 kkk r =r2 =r22 =L =r2k, k=0,1,L （*） kk-1k-10若0x a2，那么 -1r =1-ax 1， 000也即有 |r |1 （#） 0从而有 limr2k =0, 即limr =0。 k 0k k又因为r =ae ，所以lime =0， kkkk也就是牛顿法产生的序列x 收敛于x*=a1 。（5分） k