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1、姓名 班级 学号一、选择题1 .尸（2,5,3,4）表示多少个机器数（C）.A 64 B 129 C 257 D2562.以下误差公式不正确的是（D）A.仪 阳*-工2*卜 （国*）+（尤2*）B.武 阳*+攵*卜（川*）+（攵*）C*乂2*）,2*,（同 *）+kl|（X 2 *）D.（阳 */登 辛）*）（%2 *）3.设0=（近 一1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出a较好的近似值？（D）A B 9 9-70底(V2+1)6C(3-2扬 3 口(3+2扬 4.一个30阶线性方程组，若用Crammer法则来求解，则有多少次乘法？（A）A31 X
2、29X30!B 30X30X30!C31X30X31!D 31 X29X29!5.用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读 出 的 长 度1235mm,桌子的精确长度记 为（D）A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5mm D 12350.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化2.十进制123.3转换成二进制为1111011.0丽。3.二进制110010.1001 3换成十进制为 50.5625。-54.二进制0.101转换成十进制为-075.已知近似数X*有两位有效数字，则其相对误差限 5%6.ln2=0.69314718.,精确到
3、10、的近似值是 0.693。一 _ *-7.x=乃=3.1415926，则 =3.1416,初=3.141的有效数位分别为5 和 3 o8.设x*=2.001,y*=0.8030是 由 精 确 值x和y经 四 舍 五 入 得 到 的 近 似 值，则x*+y*的误差限 0.55义IO。9.设1=2.3149541一，取5位有效数字，则所得的近似侑%*=2.3150。10.设有多项式函数p（x）=2 J+l（）x2_7x+8,给出计算“（X）的计算量较小的一个算法（2x+10）x-7）x+8 o三、计算1 .指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。2.000 4 -0.0
4、02 00解：因为勺=2.000 4 =0.200 04 X 1()1,它的绝对误差限 0.000 05=0.5 义 1 0 即机=1,=5,故户2.000 4有 5 位有效数字.田=2,相对误差限,=一 x 1 01 5 =0.0000252x O 1X2=-0.002 0 0,绝对误差限0.000 005,因为m二-2,=3,应二一0902 00有 3 位有效数字.0=2,相对误差限产一！一 X 1()1-3=0.002 52x 22.对准确值=1 0 0 0 和它的两个近似值为同=9 9 9.9 和 X 2=1 0 0 0.1 分别计算它们的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否
5、正确：对准确值x的两个近似值*2,则有效数位n大的则其绝对误差限就越小？解答：同 刈=卜“越大，通常绝对误差限越小，但绝对误差限也与m有关，因此上述结论并不总是正确。如准确值x =1 000,它的两个近似值为X；=999.9和x；=1 000.1,x：,x；的绝对误差限均为卜一引二,一引=0.1,但 x：有 3 位有效数字，而 X；则有4 位有效数字。3 .如要求7?0 的近似值的相对误差小于 0.1%,则 4至少要取几位有效数字？解：(*)=史R *=1。史2 =1。W(万)0.1%从而,.(4)4 1()T,又(乃)%=3,即要求|fr()|O2，为)所作的插值多项式是(C)(A)二次的(
6、B)一次的(C)不超过二次的(D)大于二次的3.通过四个互异节点的插值多项式尸(x),只要满足(C),则 P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值%=0(B)所有一阶差商为0(C)所有二阶差商为0 (D)所有三阶差商为03.通过点(%,y(),(X 1 ,月)的 La gra n ge 插值基函数满足(A,C)(A)，o(X o)=L 4(须)=1(8儿(%)=1,4(%)=。(C)/o(X o)=L 4(/)=0 (OQ(九o)=O,/|(%)=04.4口 n 对观察数据(王，yk),k=1,2,.,。这 n个点的拟合直线y=aQ+alx,则4,6是 使(C)最小的解。k=(c)z(-o-r
7、 (8)2(”一。0 一却)k=l k=l5.设P(“是在区间上的 a,b 上的y =/(x)分段线性插值函数，以下条件中不是P(月必须满足的条件是(C)(A)尸(%)在 a,b 上 连 续,(B)P(Xt)=yk,(C)P(X)在 a,b 上可导，(D)P(X)在各子区间上是线性函数二、填空 1.设一阶差商/，=幺 立 3=1=-3，/马.3 =四匕3=殳口=工，则x,一 为 2 1 七 X)4 2 2二阶差商/X ,*2,=H/62.设 /(%)=3 1 +5 ,xk=kh,k=0,1,，则 f xn,xn+i,xn+2 =3,和 x”，4+1，4+2，x“+3 =-Q-。3 .设/(x)
8、=a x3+bx+c(a 0),取 5 个不同节点作了(x)的拉格朗日插值多项式P(x),则P(x)是 次多项式。4 .已知函数“X)的函数值7(0)J(2)J(3)J(5)J(6),以及均差如下/(0)=0./(0.2)=4./(0.2.3)=5./(0.2,3.5)=1./(0.2.3.5.6)=0那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次第的系数是o5 .区间 a,b 上的三次样条插值函数S(X)在 a,b 上具有直到 2 阶的连续导数。三、计算与证明1.已知函数)，句)的观察数据为试构造/U)的拉格朗日多项式P.(x),并计算人一1)。解：先构造基函数/x(x-4)(x-5)x(x-4
9、)。-5),、(x+2)(x-4)(x-5)*+2)(x-4)(x-5)(-2-0)(-2-4)(-2-5)84 1(0-(-2)(0-4)(0-5)40(x +2)x(x-5)_ x(x +2)(x-5)/(幻 _ (x +2)x(x-4)_(x +2)x(x-4)2(X)=(4+2)(4-0)(4-5)24 3-(5 +2)(5 -0)(5 -4)-3 5所求三次多项式为尸 3(x)=yklk(x)*=o=_ 5 *x(x-4)(x-5)+(x +2)(x-4)(x-5)_ (_3)x x(x +2)(x-5)+(x +2)x(x-4)-X 84 4 0 24 3 5-5 3 1 2 5
10、5 ,-_ _ V _L.1尸 3(_ 1)=上_L _至 +1 T4 2 1 4 2172.已知函数y =f(x)的数据如下表。计算它的各阶差商和/V3(x)的形式,Xk-2-5 6-1-1 60-21-2344(人。)加 法 倒、f -f(a)x-b x-a/击“上A”一、/(a)+-(x-a)=-f(a)+-f(b)=Lx(x)(直线的点斜式)b-a a-b b-a于是m a x /(1)一 伍)+-9 b-a(x-a)=m a x|/(x)-L,(x)|=m a x-(x-a)(x-b)(c z 4 /?)axb 1 axb 2!m a x|(x -a)(x-/?)|m a x i/(
11、x)|2 axb axb =触3噫/a)|4.要给出y =co s x 等距节点函数表，如用线性插值计算y 的近似值，使其截断误差限为-x l O 5,则函数表的步长应取多大？2解 以Z(K)作为/(.)的近似值.由插值余项定理阅/(.V)-Zj(x)=；/*(X-V-.V()(.V-,V+1).M e(A7.T)注意到max|/*(x)|1.max l(.v -xi)(.v-)1 /?:.1I/O)-L(小 ；吩|/*(A)|-iuaxo故只要4xl0-5|/(X)_ZI(X)|4J X10-5/210 xl0-3I -I，I；7/1 0 B.n 8 C.n 7 D.n 94 .为 使 两
12、点 数 值 求 积 公 式*/(x 0)+/(x J 具有最高阶代数精度，则求积结点应为(D )A.任意 X B.XQ 1,X 1 1 C.X g=X 1 D.XQ y=,X|=5 .三点的高斯求积公式的代数精度为(B ).A.2 B.5 C.3 D.4二、填空1Q 31 .已知“=3 时，C ot e s 系数=,C f)=w，c f)=一，那么 c f)=皿2 .已 知/=L，/=12/=1.3,则 用 抛 物 线(辛 卜 生)公 式 计 算 求 得2.3 6 7,用三点式求得广 1/4 .3 .求 积 公 式/(无)*4/(尤*)的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有k=0(2 n+
13、l )次代数精度。4 .数值微分中，已知等距节点的函数值(%,%),(王，乂),(2，%)，则由三点的求导公式，)=(一，+必)5 .运用梯形公式和Si m p s on,计算积分，其结果分别为0.5 和 0.2 5三、解答与证明1.确定求积公式j/(x)d x a A 0/(0)+AJ +A 2/中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。解:令/(x)=l,x,x 2,假定求积公式均准确成立，从而有：d x =2 =&+&+A2xdx-2 -AQ-0 +A 1 -1 +A,2f x 2 d x =|=A。.()2 .Q+A,-I2+A2-221 4解以上三元线性方程组从得：
14、4。=4=，4=，代回求积公式有f2 1 4 1/。心。/(0)+/+不2)3 3 3令/(九)=/代入公式，有:1 4 1 a左边=4,右边=x O +x l +x 2 3 =4。3 3 33?1 4 1 2 0令代入公式，有:左边=可，=-x0+-xl+-x24=y则，左右不等，因此代数精度为32.如果用复化梯形公式计算定积分feT ch,要求截断误差不超过0.5 X 1 0-4,试问至少取多少？解：复化的梯形公式的截断误差为 ，=m a x i/7-)1 =m a x *)=101 1 0 xlI/-T,=6 B=6 C 62.解方程组AX=b的简单迭代格式收敛的充要条件是(A)A P
15、(A)1 B P (B)1 D P (B)1,5 0、,3.设 A =，则 lim 4=(C).1 16 0.5j i kA 不存在 B I C 0 D 0.54 .对方程组人*=1)的建立迭代格式求解，下列说法不正确的是(A )。A若 J a cobi 迭代收敛，则 Ga u s s-S e i d e l迭代一定收敛。B Ga u s s-S e i d e l迭代收敛，J a cobi 迭代不一定收敛。C J a cobi 迭代收敛，Ga u s s-S e i d e l迭代不一定收敛。D 若 J a cobi 迭代与Ga u s s-S e i d e l迭代都收敛，则 Ga u s
16、 s-S e i d e l迭代收敛速度较快。5 .设有方程组A X=b,下列说法正确的是(C)。A若 A 对称正定,则J a cobi 迭代和Ga u s s-S e i d e l迭代都收敛。B若 A 对称正定，则 Ga u s s-S e i d e l迭代和超松弛迭代都收敛。C 若 A严格对角占优，则 J a cobi 迭代和Ga u s s-S e i d e l迭代都收敛。D 超松弛迭代收敛的充要条件是超松弛因子0 0 (-0.5 a 0.5)4 x,+x2-x3=55.取 X(0)=(1,1,1,用 Ga u s s-S e i d e l 迭代求解方程组 2x+5 +2 x3=
17、4 ,迭代一次所占 +%+3%=3得结果为：o(5/4.-17/10.23/20)三、计算与证明1.讨论用J a cobi 和 Ga u s s-S e i d e l迭代法求解方程组A x=b 的收敛性，如果收敛,比较哪种方法收敛快。其中(33 00 _ 92 A.A=0 2 12 1 2,解?0 0-3当=o oA 0A!-BJ=0 22=0:P(Bj)2-32二7%12即Jacobi迭代收敛30()-1002 一30J_2 40002 一0023_ j_ 2111202000-1=0000-1=00-112._000_6_2_00000|A/-B6.|=22(2-j1)=0,得夕(8；)
18、=兑=0 n pBj)=0 2(2-2)2=0=p(Bc)=2 12因此GS法不收敛。4.设线性代数方程组A x=6的系数矩阵为，:“，证明：A=a 1 aa a 1(1)当 一 0.5 a 1 时 用 Ga u s s-Se i de l 迭代法及 SOR(0&2)法求解 A x b收敛(2)一0.5 a 0 ,de t A-,a 0,de t 4=(1 a)?(1+2a)0；.故 A 对称正定，由定理知a 1G S 及 S O R 法收敛.(2)-0.5 a 2=1 4 a1一4。,当 a 0p(B)=m a x|l-df|,|l-4|21 a,当0 a 524 a -1,当 a 2(通过
19、做图可看出)1 1 2p(B)l当且仅当O v a 5,所以取O c a 的11/1分解法中，A须满足的条件是。(各 阶顺序主子式均大于零)maxi 2,16.设n X n矩阵G的特征值是储入2,.猫，则矩阵G的谱半径)G )=起区二、解答1.试举例证明：非奇异矩阵不一定都有L U分解。解：令4=0 11 0,显然A非奇异，若A有LU分解，则有:A0 11b d1 0a 1cb dab ad+c比较等式两边元素得6 =0,a h=1,显然矛盾，故非奇异阵A不能进行L U分解。2.用顺序消去法解线性方程组2xl+x2+4X3=-13 X j +2X2+=4X 1 +2%2 +4工3 1解：顺序消
20、元 A；b =-14-110.51.54-52-15.5-0.5r2(2)+(-1.5),10.504-51 7-15.5-1 7于是有同解方程组：X 1 +0.5X2+2X3-0.5x2-1 0 x3=1 11 7x3=-1 7231122414200200回代得解：X 3=1，X 2=l，勺=1。原线性方程组的解为X =(l,1,-1)3.用列主元消去法解线性方程组2工1+3X2+4X3=6,3x 4-5X2+2X3=5,4 +3X2+30X3=3 2.解:3,4650 3 43,23 0243 2563 0243 256353423、-2353、7-4323533 2-1 94/1 1
21、433 03 2、0 1 1/4-4 1/2-1 9-0 1 1/4-4 1/23/2-1 1 21 02/1 1 40、031 103 0-8 213 2-3 827即4 X 1 +3X2+3 0/=3 2,llx2-8 2 x3=-3 8,=0I 4.Z J4 -1 1A1=-1 4.2 5 2.75=1 601 2.75 3.5系数矩阵正定-2（2）由 T分 解 得 乙=-0.50.50 02 11.2 5 1由LY=b得r =（2,1,i）r 再 由 乂=丫 得 x=（1,1,1）5用追赶法求解方程组2解:4=4=23b3 一%与3 -45由Ly=f解出y56%3 =%j 无4 =0
22、xx=yx _ uxx2=2o -i l 5c ,i、一于3。3 y 2 -5力 一个又由 U x=y 解出 x x4=y4=1,为2 =?2 -U2X3 =1，6.设 有 方 程 组A X =6,其中A=20(1 1 Y已 知 它 有 解X=,0 o(2 3 J如 果 右 端 有 小 扰 动|5/?L=g x i(r 6,试 估 计 由 此 引 起 的 解 的 相 对 误 差。-1 1 -1 1解：A-|=2 -1 1.5 n CondJA)=22.5,-2 1 -1I I S X ll-x lO6由 公 式 有 L J k 2 2.5 x -=1.68 75x 1 0-5kI L 2/33
23、姓名 班级 学号一、填空题1.用二分法求方程/(X)=x 3+x-l=0在区间 0,1 内的根，进行一步后根的所在区间为，进行两步后根的所在区间为 O (0.5,1 ,0.5,0.75J)2.3.4.5.求方程x=4 )根的牛顿迭代格式是j=7o9(x)=x +a(x2-5)要使迭代式/+=(pxk)局部收敛到X*=旧,则a的取值范围二分法求非线性方程/(x)=0在区间(1,3)内的根时，二分9次 后 的误差限为2、。迭代法=2勾+与 收 收敛于x*=6，此迭代式是 二 阶收敛。3 6.求 方 程/一%-1.25=0的近似根，用迭代公式x=J I+1石，取初始值=1，那么$=.(1.5)7.如
24、果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分 10 次。8.方程的一个有根区间为,可构造出它的一个收敛的迭代格式J_为o (0,I),演+1=7)9.解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛。(局部平方收敛)10.迭代过程=姒/)(k=l,2,.)收 敛 的 充 要 条 件 是。(“(X)-1 =1.075828,2(1产2(1.6-1严故迭代不收敛。I 2 1(2)中，x=1 +,(X)=1 +,Vx e 1.3,1.6,|)|=一一-=0.9011,x x x 1 3Mx)el+-,l +于 u 1.3,1.6,故迭代收敛。1.6 1.3(3)中，(p(x)=Vl+x2,Vx
25、e 1.3,1.6,1)1=-2，八 0.5515 1,11 3(1+x2)2/3 3(1+1.32严叭 x)e Vl+1.32,Vl+1.62 c 1.3,1.6,故迭代收敛。2.设/(x)=(/_ a)2(1)写 出 解/*)=0 的 Newton迭代格式(2)证明此迭代格式是线性收敛的证明：(1)因/(x)=*3-a)?,故/(x)=6x2(x3-a),由 Newton 迭代公式:Z+i=4 -，后=01,/6)(x；-a)2 _ 5,a,_n i-；-=:/+T ，k=0,1,6x；-d)6 6xf(2)因迭代函数夕(x)=，而加(x)=*-x 6 6x 6 3又 X*=a，而/(蚣)
26、|=-(y a)36 35_6 3=-1*0 故此迭代格式是线性收敛的。2,23.设方程12-3x+2cosx=0的迭代法Xk+l_4+5C。s联证明对丽e R,均有巴J,=x*,其中x*为方程的根.取而=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过10寸并列出各次迭代值.此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.解:(1)迭代函数0(x)=4+c o s x,对 四 有 3工 小(5,故 伊 似)6(-8,欣)2,90(x)=-W Sinx|(p(x)|-=Z 9 J(2)取质=4,则有各次迭代值.=3.5642,x3=3.39 20,x3=3.3541,x4=3.3483孙=3.3475,&=3.347
27、4,x7=3,3474取江口 3.3 4 7,其误差不超过lim XR+1 X _、lint(3)-y _ y*=j故此迭代为线性收敛。(凝)一6 用加一 X*2d(x*)=-sin x*4.对非线性方程/(x)=(x -1)3 (x -2)=0(小数点后保留用5位)。(1)取 升=0.9,用牛顿迭代法计算国,马；(2)取/=0.9,用计算重根牛顿迭代格式计算玉,9；(3)取 毛)=0.9,%=1.1.用截弦法计算,当。解：(1)用牛顿迭代格式:“4)广 XQ=0.9给 川-瑞-5掰 33235-篇蹋=0.9 5 4 4 6(2)计兑垂根的牛顿迭代公式:_3包/3)X。=0.9x x-3 -0
28、 9-3 O,。1 1 _ 0 9 9 706。3/(x0)3-0.03 4-7 0 6x23=-3=0.9 9 706-3 x 鬻。巴=0.9 9 9 9 9 71/(X 0-0.01 4 9 6 7(3)用弦裁法迭代格式：x=xt-f;(x*X i)x0=0.9,X1=1.1 在叨(X.-x0)=1.01000/(x -A x o)/区)(x2-X 1)=1.00990姓名,班级学号X3=X-/(X2)-/(X!)选择题I.改时欧拉法的局部截断误差为(c).A.0B.0C.。D.O(h2)2.求解初值问题y =/(x,y),y(x()=%的近似解的梯形公式是y“+=(A).A.y+l=yn
29、+f(x,y)+f(xn+i,y+l)B.yn+l=yn+(x,yn)-f(x+1,yn+1)c 0=y“)+/(%，%+J D.y+I=y -/(xn,yn)+/(x+1,y)3.改进欧拉公式的校正值加=y“+g w.)+/k”().DA.y+1 B.C.%D.yn+l4.四阶龙格-库塔法的经典算法公式是匕T=(B).A.%+：&+&+&+&0hB.yn+-Ki+2K2+2K3+K4oArC.+AK+2 K?+K 3 +2 K/o5 .求 解 常 微 分 方 程 初 值D.y.+。2储+&+3+2&o问 题y，=/(x,y),y(x0)=y0的 中 点 公 式yn+x =yn+h K2 (=
30、/(x,y“)的局部截断误差为(B )K2=f(x+h/2,yn+hKt)A.O(/z4)B.O(/J3)C.O(/r)D.O(/i)二、填空1 .幕法是计算矩阵按模最大特征值及相应特征向量的一种迭代法。2 .雅可比法是求实称矩阵全部特征值及相应特征向量的一种变换方法。3 .反塞法是求实方阵的按模最小的特征值与特征向量的反迭代法。4 .设A是非奇异方阵，令A i=A,对A i进 行Q R分解，得A尸Q R”则A2=_RIQL。（cos0-s i n。5 .把直角坐标系的x y轴逆时针旋转。，则旋转矩阵是_o 万 八。、s i n，c o s 9 ）三、计算与证明1 .取步长力=0.2,用向前E
31、 u l e r法求解初值问题。y解：/(x,y)=-y-xy2,E u l e r 格式为L+i =兀+hf(x,yn)=yn+0.2(-x“嫡=0.8 y.-0.2x 由y0 =1计算得：y(0.2)。月=0.78 ,y(0.4)y2=0.59 9 664,y(0.6)y3=0.450 9 632.用梯形公式解初值问题=8_3 ，,1X 1.4,取步长力=0.2,小数点后至少保留5位。,y=2解：f(x,y)=S-3 y,梯形公式为方+1 =北 +，y,.)+f(xn+l,yn+i)=y+写8 3北+8-3y,1+1整 理 得:m=小+工，由刈=%=2，计算得y(l .2)a 弘=2.30
32、 769,y(l .4)B 为=2.473373.证明：向前欧拉公式X m =y“+妙(乙,%)是一阶的，并求其局部截断误差主项.Pro o f:/、/,/、，/、力2、丁(玉+i)=y(xn+h)=y(xn)+h-y(xn)+y(%)+2yn=y(x“),y(%)=/(x,y(x)=y(无“)=/(七,)(%.)，y”+i =+h-f(xn,yn)=y(xn)+h-f(xn,y(xn)=y(xn)+h-y 区)由(1)(2)式有 h2 _故 向 前 温 逑/式 如 麻 物 猿就断 禺 匐 是g炉(X,)y =x +y4.用改进欧拉法求解(小、,(0 r(0)=1序。解：改进欧拉公式为%+1=
33、%+；(+后)其 中/(x,y)=x+y,y0=l力=0 2,=0,12,3,4,代入上式得:勺=B(X，)n=0,1,2,-k2=hf(xH+/?,yn+3)n12345X0.20.40.60.81.0M a th e m a ti c a 程 序 为:x 0 =0;y 0 =1;h=0.2;yn1.241.582.042.643.42xn:=n*h;fu_,v:=u+v;Kln:=fxnl,ynl；K2n:=fxn-l+h,yn-l+h*Kln;yn J:=yn-1 +h/2*(Kl n+K2n);Tablexn,yn,n,0,5)/N;Tablen,xn,yn,n,0,5y/N;Prin
34、tfn,xn,ynJ，Matri xForm Table n,x n,y n,n,0,5/N Data=Table|xn,yn,n,0,5/N;AO=ListLinePlot Data;Al=GraphicsPointSize0.02,Blue,PointData;ShowAO,Al,PlotRangeA11(=2xy5.取步长h=0.5,用四阶R-K公 式 求 解 初 值 问 题 彳i WxW0.4-y(u)=i并写出mathematica程序。解：/(x,)=2%y,x0=O,yo=l,A=0.2由四阶R-K公式可得匕=/(%，为)=。左 2=/(/+*%+2匕)=/(01，1)。0 2勺=/(/+g，%+g何)=/。1，L02)0.204&=/(/+%，%+必3)=/。2,1.0408)0.416320.2,.,.e g。，把(不 必)代入四阶R-K公式可得而42h+2 6+&)6 0 4 0 8 1 1 5力，Mathematica 程序为：f x _,y_ :=2x y;y0=l;a=0;b=0.4;n=2;h=(b-a)/n;x x=Ta b l e a+(i-1)h,i,1,n+1)/N;y=Ta b l e 0,i,l,n+l ;yi =yO/N；F o ri=2,i D a s h e d ;Showa2z al