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1、第三课时定点、定值、探索性问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一圆锥曲线的定值问题一一自主练透例1 (2018 北京高考)已知抛物线G / = 2pxS0)经过点(1,2).过点。(0, 1)的直线,与抛物线。有两个不同的交点4B,且直线必交y轴于弘 直线加交y轴于“求直线/的斜率的取值范围;(2)设。为原点，QM= AQO, QN= ij QO,求证：-jA解析(1)因为抛物线7 = 2小过点(1, 2),所以20=4,即p=2.故抛物线。的方程为炉=4x,由题意知，直线/的斜率存在且不为0.设直线1的方程为尸族+1 (20).y =4%,得忧
2、亡 + (244) x+1=0. y= kx- 1依题意 21 = (2A-4)+=+1y.if 1 yv ?k- l?%i ?A1?X2-4XAgXl0,解得 K0 或 0KL又必，分与y轴相交，故直线,不过点(1, -2).所以直线/斜率的取值范围是(一8, -3) U (-3,0) U (0,1).(2)设 4(汨,yi), 8(x2,口),2k4由(1)知 X + X2=-,2k4由(1)知 X + X2=-,1 XX2=12直线力的方程为l2=M(l1).令x=0,得点的纵坐标为一y+2小_ +2 一y+2小_ +2 4+2.XL 1同理得点N的纵坐标为yv=同理得点N的纵坐标为yv
3、=kx2 1入2一1+ 2.由 QM几 QO, QN QO 4=1 =1 一加X2 1Xi 12 , 2k4_1_ 2?为+ 入2?_i_一 六k1XXik-l11所以;+；为定值. A H名师点拨？求解定值问题常用的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (变式训练1)22X V(2020 河南八市重点高中联盟联考)已知椭圆a /+方=19，0)的左右焦点分别是& F2,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线9=/才+3相切，点在椭圆。上，|小1=2, /RPA=60 .(1)求椭圆。的方程；(2)若直
4、线/： y=4x+/与椭圆。相父于/、夕两点，旦局降=一不 的面积是否为定值？若 a是，求出定值；若不是，请说明理由.o解析(1)依题意有6=市=第，；2 = 3,由|4|=2及椭圆的定义得|必|=242,由余弦定理得|/+|在2|依| . |在IcosNX跳=|百川之，BP a-3a-3 = c9又甘一g = 6 = 3, :.a=2,22X V故椭圆的方程为7+=1.4 o22+=14 3,y= kx+ m(3 + 4后 /+8+4/12 = 0,则 /=3 + 4好一：0,8 km4?/72-3?乂 X + Xi3 + 4/不用=3+4如2/1|23?/2 44”yi yi kx-ni)
5、(kx,2+而kxX2-vmkx + X2) -rm晨战下占B由 koA koB=a3 Ayi y2=-xix2,3?/24必？_3 . 4?z/7.c -1 ,1； 2m 3+. r- Soab2 d I AB 2 X、 + g X 印、一73为te,值.考点二 圆锥曲线中的定点问题一一师生共研2例2 (2019 辽宁省辽阳市模拟)设椭圆G卞+=1心力0)的左、右焦点分别为凡A,下顶72点为4。为坐标原点，点。到直线/月的距离为手，为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线/与椭圆C交于机N两点，若直线4V与直线4V的斜率之和为2,证明：直线/恒过定点, 并求出该定点的坐标.解析
6、由题意可知：直线小的方程为骨=1,即*+cy+A=。,be因为力为等腰直角三角形,可解得4=镜，6=1, c=l,v2所以椭圆。的标准方程为丁+/=1.证明：由(1)知/(0, -1),当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为y=4x+方(ZW1)代入不+/=1,得(1+22)3+4攵5+2 )2 = 0,所以 4=16加24(1 + 2。(2d2)0,即5 2点1,设(1, 71) , M2,现)，-3?3 + 4垢=4 3 + 4心A2/z72-4/=3,满足,I I AB =?1 + R?e + x2?24小向8k/n 9-4 x3 + 4 / 4X8k/n 9-4 x3 + 4 / 4X
7、4/123 + 424kt1+2六*2=1+242,因为直线4V与直线4V的斜率之和为2,X1匚2 / I / yi + 1 j+1 4xi+z+l 版+z+l 所以 +%#=+=+X2,?2+1?矛1+垃？=2A+=2kX1X1?+1? 4kt-2d 2=2.整理得t= k,所以直线1的方程为y=kx-r k,即y=4(x1) +1,显然直线y=4(x1) +1经过定点(1, 1), 当直线1的斜率不存在时，设直线1的方程为x=m,因为直线4V与直线的斜率之和为2,设欣勿，力，则M勿，一)，所 以k,w+%=+让=2= 2, 解得 m 1.m m m此时直线/的方程为%=1,显然直线x=l也
8、经过该定点(1, 1)综上，直线/恒过点(1,1).名师点拨？求解定点问题常用的方法(1) “特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.(2) “一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.(3)求证直线过定点(照，加，常利用直线的点斜式方程y%=(x加来证明.(变式训练2)(2020 安徽蚌埠质检)已知抛物线C： /=2px(p0),直线y=x-Y与。相交所得的弦长为8.(1)求夕的值；(2)已知点。为坐标原点，一条动直线,与抛物线。交于。，两点，直线/与直线x=2交于点, 过点作y轴的垂线交抛物线。于/V点，
9、求证：直线初V过定点.解析(1)设直线与抛物线的两交点坐标分别为：(小，),(照，用)，y=x由2 C 得，消X可得炉一22y2夕=0,，=2px1 + % = 2夕，yiy2=-2p.弦长为，m1 *Z?yi + y?24yij=/2 y/4p2+87?=8, 解得夕=2或夕=4（舍去），:p=2.（2）由（1）可得/=4x,设（小唬为），4/.直线0M的方程y=x, yog当 x=-2时，/.y尸,代入抛物线方程炉=4筋 可得照=z168/. A,(,7bJb直线腑的斜率k=yo+-yo 4 7b直线/柄的方程为yr= ?。(入一；4), yo-o4整理可得y=整理可得y=47o(x2),
10、故直线删过点(2, 0).，且离心率为更.厂考点三 圆锥曲线中的探索性问题一一师生共研例3 (2020 山东省模拟)设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆月过点(1,为少的右焦点，为月上一点，用J_x轴，。少的半径为在(1)求少和。月的方程；(2)若直线/： y=A(x/)(心0)与。夕交于4 4两点，与交于C,两点，其中4。在第一象限, 是否存在4使|1 = |必|?若存在，求/的方程；若不存在，请说明理由.22X V解析(1)设椭圆E的方程为f+=1 (力力0), a b由 理 而出3216由从而倚：=e=-=1,24 a a从而4=)即才=4比 a4又椭圆过点(1,乎)，从而得+焉=1,解得才
11、=4, K=,从而所求椭圆夕的方程为+/=1.所以尸（第，0）,令x=小,得|笈|=J=r,所以。尸的方程为（x/）2+7=；.不存在，理由如下：若|幽=|即,则=AB = AC + CB = DB + CB = DC.得（4A2+1） V 8 4片 x+12424 = 0.设。（矛1, 71）, （矛2,外），,8小六则不十及=总+1 124 小用=而不,/M, Ir, / （ / 8V3a 2 1244 44+4从而 I 缪| =:1 +而 | X1 . | =，1 + 4d?矛1 + X2? 4矛1 X2=N1 + 八J ?4）+?1-4 442+=442+.由|C|=1,从而4+4 =
12、 4分+1,从而4 = 1矛盾.从而满足题设条件的直线/不存在.名师点拨？圆锥曲线中的探索性问题1 .圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立, 在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式 解析讨论，往往涉及对参数的讨论.2 .圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索点是否存在；（2）探索曲线是否存在； 探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设 满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程
13、组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法 与验证法也是求解探索性问题常用的方法.3 .解决探索性问题的答题模板（变式训练3）（2020 河南省八市重点高中联盟联考）已知抛物线C：炉=4x的准线为/,物为/上一动点，过点物作 抛物线。的切线，切点分别为4 B.（1）求证：杨山是直角三角形；（2）x轴上是否存在一定点R使4P,8三点共线.解析（1）由已知得直线1的方程为x= - 1,设欣一1,4,切线斜率为h则切线方程为ymkx+),将其与/=4才联立消x得4y+4(/+A) =0.所以/ =1616A(/+A) =0,化简得42+就一1=0,所以左左=-1,所以物L粉即仍是直角三角形.(2)由(1)知 /=16164(勿 + 左)=0 时,2方程49+4(勿+4) =0的根为y=7，K22设切点/(* %),设同%),2则 y=7，K因为 41A2= -1,4所以，刃=7TKK24.设/仍：x=ny+ t,与y=4x联立消x得炉一4y41=0, 则%=一43所以-41=4,解得力=1,所以直线4?过定点(1,0).即x轴上存在一定点(1,0),使4 P,8三点共线.