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1、 课时 3 定点、定值、探索性问题题型一 定点问题x2 y2例 1 已知椭圆 1(a0，b0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数a2 b2列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且 满足PM MQ，PN NQ.12(1)求椭圆的标准方程；(2)若 3，试证明：直线 l 过定点并求此定点12(2b) 2(2c) ，解 (1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b1，且(2a)222又 a b c ，所以 a 3.2222x23所以椭圆的方程为 y 1.2(2)由题意设 P(0，m)，Q(x 0)，M(x ，y )，0,11N
2、(x ，y )，设 l 方程为 xt(ym)，22由PM知(xMQ，y m) (x x ，y )，1111011ym1.my ，由题意 y 0， 11 111 y1NQ知 m1.同理由PN22 y2 3，y y m(y y )0，121 212 3 3，yx22联立得(t 3)y 2mt30，2t m222y2xt(ym)由题意知 4m 4(t 3)(t 3)0，2t422m2t2m232mt2且有 y，y，y t23y 121 2t23代入得 t 32m 0，2m22t2(mt) 1，2由题意 mt0)的右焦点为 F.点 A，B 分别在 C 的两条渐近线上，2a2AFx 轴，ABOB，BFO
3、A(O 为坐标原点)(1)求双曲线 C 的方程；x x32(2)过 C 上一点 P(x ，y )(y 0)的直线 l： 0 y y1 与直线 AF 相交于点 M，与直线 x 相000a20交于点 N.证明：当点 P 在 C 上移动时，|NF|MF|恒为定值，并求此定值解 (1)设 F(c,0)，因为 b1，所以 c a 1，2直线 OB 方程为 y11x，直线 BF 的方程为 y (xc)，aac2c2a解得 B( ，)1又直线 OA 的方程为 yx，ac(c2a)3则 A(c，c)，k a.accaAB231又因为 ABOB，所以( )1，aa解得 a 3，2x23故双曲线 C 的方程为 y
4、 1.2(2)由(1)知 a 3，则直线 l 的方程为x x3x x3y000y1( 0)，即 .yy3y00因为直线 AF 的方程为 x2，2x 3所以直线 l 与 AF 的交点为 M(2，0)；3y0 3x 3323 20直线 l 与直线 x 的交点为 N( ，)23y0(2x 3)20(2x 3)|MF|2|NF|2(3y )322则009y 92( x 3)0(x 2)221 24 4004(3y )20(2x 3)4320.3y 3(x 2)2200x23因为 P(xy2，y )是 C 上一点，则 01，000(2x 3)|MF| 422代入上式得0|NF| 32x33( 2)x22
5、00(2x 3)42 ，43034x 12x 9200|MF| 2 2 3即所求定值为|NF| .33思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得1212如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 F( ，0)，直线 l：x ，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点
6、 Q 的轨迹 C 的方程； (2)设圆 M 过 A(1,0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M 运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由解 (1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQFP，RQ 是线段 FP 的垂直平分线点 Q 在线段 FP 的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离，故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y 2x(x0)2(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线 C 上点 M(xy2，y )，M 到 y 轴的距离为 d|x |x ，圆的半径 r|MA| (x 1)，2
7、000000则|TS|2 r d 2 y2x 1，22200y22因为点 M 在曲线 C 上，所以 x， 00所以|TS|2 yy 12，是定值2200题型三 探索性问题例 3 (2015湖北)一种作图工具如图 1 所示O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且DNON1，MN3，当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为 C，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系(1) 求曲线
8、 C 的方程；(2) 设动直线 l 与两定直线 l ：x2y0 和 l ：x2y0 分别交于 P，Q 两点若直线 l 总与12曲线 C 有且只有一个公共点，试探究：OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由2DN，且|DN解 (1)设点 D(t,0)(|t|2)，N(x ，y )，M(x，y)，依题意，MD |ON|1，00 2( ) y 1，x t 200所以(tx，y)2(xt，y )，且00x y 1.2200 2 2 ，t xxt0即且 t(t2x0)0.y2y ，0由于当点 D 不动时，点 N 也不动，所以 t 不恒等于 0，故 x x，y02y，代入 x
9、y 1，于是 t2x2240000x2 y2x2 y2可得 1，即所求曲线 C 的方程为 1.16 4 16 41(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 为 x4 或 x4，都有 S当直线 l 的斜率存在时，448.OPQ 21设直线 l：ykxm，k2 ，y kx m由消去 y， 4y 16，x22可得(14k 8kmx4m 160.2)x22因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以 64k 4(14k16)0，2m22)(4m2即 m 16k 4.22 ，y kx m2mm，又由可得 P；12k 12kx2y0，2m，m同理可得 Q.12k 12k|m|1|PQ|d1由原点
10、 O 到直线 PQ 的距离为 d和|PQ| 1k|x x |，可得 S2OPQ 22PQ1k22m2m2m2 1|m| |x x | |m|.2 12k 12k 14k PQ2 |4 1|k22m2将代入得，S81|.OPQ 14 k2|4k2 14k21421当 k 时，SOPQ888；24k214k2114当 0k 时，2 14k122SOPQ88.14 k214k2142因 0k ，则 014kb0)以抛物线 y 8x 的焦点为顶点，且离心率为 .2a2 b2(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x4 相交于 Q 点，P 是椭圆
11、E 上一点且满足OPOAOB(其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得OPTQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及OPTQ的值；若不存在，请说明理由c 18x 的焦点为椭圆 E 的顶点，即 a2.又 ，故 c1，b 3.a 2解 (1)抛物线 y2x2 y2椭圆 E 的方程为 1.4 3 (2)设 A(x ，y )，B(x ，y )，1122 OPOAOB，P(xx ，y y )，1212 ，y kx m联立3 4y 12，x22得(4k 3)x 8kmx4m 120.2228km4k236m4k23由根与系数的关系，得 x，yx y k(x x )2m.1212128
12、km6m4k2364k m236m2，2将 P 4k2代入椭圆 E 的方程，得1，整理，得 4m 4k2234(4k23)2 3(4k23)23.设 T(t,0)，Q(4，m4k)，8km6m4k23，TQ(4t，m4k)，OP.3 4k232km8kmt 6m(m4k) 即OPTQ4k234k238km8kmt6m2.4k234k 34m ，226m28km8kmt2k(1t)32 OP TQ.4m2m 要使OP为定值，TQk2t 2m23)(1t)22k(1t) 4 (1 ) (4只需 为定值，则 1t0，t1，2m2m2m32 在 x 轴上存在一点 T(1,0)，使得OP为定值TQ.21
13、设而不求，整体代换x2 y232典例 (12 分)椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别是 F 、F ，离心率为 ，过 F 且a2 b2121 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF ，PF ，设F PF 的角平分线 PM 交 C1212的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使 得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线11PF 、PF 的斜率分别为 k 、k ，若 k 0，证明 为定值，并求出这个定值kk kk12122
14、12思维点拨 第(3)问，可设P 点坐标为(x ，y )，写出直线l 的方程；联立方程组消去y 得关于 x001 1 11 1的一元二次方程，则 0；变为 ，把 与 均用kk kx ， 表示后可消去yk k k001212规范解答x2 y2b22b2a b ，将 xc 代入椭圆方程 1，得 y1，即 a解 (1)由于 c22b2.由题意知22a2 b2aac3又 e ，所以 a2，b1.a 2x24所以椭圆 C 的方程为 y 1.3 分2(2)设 P(x ，y ) (y 0)，又 F ( 3，0)，F ( 3，0)，00012所以直线 PF，PF 的方程分别为12：y x(x 3)y 3y 0
15、，ll000PF1：y x(x 3)y 3y 0.000PF2|my 3y |my 3y |由题意知00 00.y2(x 3)2y2(x 3)20000x24由于点 P 在椭圆上，所以 y01.6 分20|m 3| 3|m 3|所以. 3x 2 2x 2 22200因为 3m 3，2x02，m 33m可得，3320x 2 2 x20 所以 m33232x .因此 m0 或说明中点在曲线内部3解决定值、定点问题，不要忘记特值法.(时间：70 分钟)x2 y2221(2015四川)如图，椭圆 E： 1(ab0)的离心率是 ，点 P(0，1)在短轴 CD 上，a2 b2 且PCPD1.(1)求椭圆
16、E 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数，使得OAOB PBPA 为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由解 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b)， 又点 P 的坐标为(0,1)，且PC1，PD1b21，c2于是 ，解得 a2，b 2，a 2b c ，a222x2 y2所以椭圆 E 的方程为 1.4 2(2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x ，y )，(x ，112y )，2x y22 4 21，联立得(2k 1)x 4kx20，2 2 1，y kx 其判别式
17、(4k) 8(2k 1)0，224k2k212所以 x，x，x x 121 22k21 PA从而，OAOBPBxx y y x x (y 1)(y 1)1 21 21 212(1)(1k)x x k(x x )121 212(21)(24)k212k212.2k211所以当 1 时，23，2k21 此时OA PAPB3 为定值OB当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时，OA PA OC PCOB PB OD PD213. 故存在常数 1，使得OAPA为定值3.OB PBx2 y22已知椭圆 C： 1 (ab0)的两焦点在 x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构a2
18、b2成斜边长为 2 的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；1lCA B(2)过点 S 0， 的动直线 交椭圆 于 ， 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点3Q，使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc.又斜边长为 2，即x2y 1.2c2，故 cb1，a 2，椭圆方程为2213169(2)当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ；y 2当 l 与 y 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x y 1.22 1169 由22 ，x0，y3x得 1，y
19、 1，yx22故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q(0,1)下面证明 Q(0,1)为所求：若直线 l 的斜率不存在，上述已经证明13若直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykx ，A(x ，y )，B(x ，y )，112213由ykx ，得(918k 12kx160，2)x22y 20，x22144k264(918k2)0，1612k18k29，x，x x x 121 218k29QA(x(x，y 1)，QB，y 1)，1122 xQAQBx (y 1)(y 1)1 2124k3169(1k)x x (x x )21 212164k 12k169(1k2) 0，3918k2918k2
20、QAQB，即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0,1)22x2 y23如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为 的椭圆 C： 1 (ab0)的左顶点为 A，a2 b2过原点 O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 PA，QA 分别与 y 轴交于 M，22N 两点若直线 PQ 的斜率为 时，PQ2 3. (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)试问以 MN 为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关)？请证明你的结论2 2解 (1)设 P ，.xx0022因为直线 PQ 的斜率为 时，PQ2 3， 2 所以 x23，所以 x2.22x02002 1所以 1.a2
21、b2a2b2c22因为 e ，所以 a 4，b 2.2 2aax2 y2所以椭圆 C 的标准方程为 1.4 2(2)设 P(x，y)，Q(x，y)，又 A(2,0)， x 22 1412yy则 kk .x24AP AQx2 x21设直线 AP 的斜率为 k，则直线 AQ 的斜率为 ，2k则直线 AP 的方程为 yk(x2)令 x0，得 y2k，所以 M(0,2k)1同理 N0， .k11则以 MN 为直径的圆的方程为 x (y2k)0，即 x y 2 y20.k2 2y 2kk令 y0，解得 x 2，所以以 MN 为直径的圆过定点( 2，0)x2 y232x y4 554设椭圆 C： 1(ab
22、0)的离心率 e ，左顶点 M 到直线 1 的距离 d，a2 b2a b O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线 AB 的距离为定值3，得 c32a c ，(1)解 由 e所以 b1a，又 b22222a，即 a2b.x y由左顶点 M(a,0)到直线 1，a b4 55即到直线 bxayab0 的距离 d，得|b(a)ab|，即，4 552ab4 55a2b2a2b2把 a2b 代入上式，得4b5b4 55，解得 b1.2所以 a2b2，c 3.x24所以椭圆 C 的方程为 y 1.2(
23、2)证明 设 A(x ，y )，B(x ，y )，1122当直线 AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知xx ，y y .1212 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA0，OB即 xx y y 0，也就是 x2y20，1 21 211x24又点 A 在椭圆 C 上，所以 y11，21|y |2 5.解得|x511|x |2 5.此时点 O 到直线 AB 的距离 d511当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，ykxm，与椭圆方程联立有x24y 1，2 消去 y，得(14k 8kmx4m 40，2)x224m248km所以 x，xx x .121 214k21
24、4k2因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O，所以 OAOB. 所以OAxOBx y y 0.1 21 2所以(1k0.2)x x km(x x )m21 2124m248k2m2所以(1k2)m 0.214k2 14k2整理得 5m 4(k 1)，22|m|2 5.所以点 O 到直线 AB 的距离 d15k212 5.5综上所述，点 O 到直线 AB 的距离为定值x2 y25(2014福建)已知双曲线 E： 1(a0，b0)的两条渐近线分别为 l ：y2x，l ：ya2 b2122x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线 l ，l 于 A，B 两点(
25、A，B 分别在第一、四象限)，12且OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，请说明理由解 (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y2x，b2，y2x，所以ac2a2所以2，故 c 5a，ac从而双曲线 E 的离心率 e 5.a (2)方法一 由(1)知，双曲线 E 的方程为x2y2 1.a2 4a2设直线 l 与 x 轴相交于点 C.当 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB 的面积为 8，所以12|OC| |AB|8，因此12a4a8，解得 a2，x2 y2此时双曲线 E 的方程为 1.4 16若存在满足条件的双曲线 E，x2 y2则 E 的方程只能为 1.4 16以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，x2 y2双曲线 E： 1 也满足条件4 16设直线 l 的方程为 ykxm，依题意，m得 k2 或 k2，则 C( ，0)k记 A(x，y )，B(x ，y )1122 ，y kx m2m2m由得 y1，同理，得 y2. 2 ，2k2kyx1由 S|OC| |y y |，得OAB 2121 m 2m2m| |2 k|8，2k 2k 因为 4k20，即 m 4|4k2|4(k24)2ykxm，由