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1、第八章成对数据的统计分析单元整体设计一单元整体目标1 .通过具体案例，引导学生理解两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分 析，了解样本相关系数的统计含义.2 .理解利用一元线性回归模型可以研究变量之间的相关关系，并进行预测.3 . 了解2x2列联表，理解利用2x2列联表可以检验两个随机变量的独立性.4,运用散点图、相关系数、最小二乘思想、小概率原理、频率估计概率、假设检验基 本原理等解决简单的实际问题，会利用统计软件进行数据分析.二 内容与要求2.1 内容根据普通高中数学课程标准（2017年版）的要求，人教A版数学选择性必修第三册 第八章包括成对数据的统计相关性、一元线性回归模型及其应
2、用、2x2列联表与独立性检 验三部分内容.本章知识结构图如下：血对样本-)0”9,: ttcrr第8. 1节，成对数据的统计相关性,第& 1. 1小节主要是引入变量之间相关关系的概念, 并根据成对样本数据的散点图直观推断变量之间的相关关系.通过案例“一个人身高与体重 的关系”引人相关关系的概念，让学生感受到研究此类问题的必要性.结合“人体的脂防含 量和年龄之间关系”，介绍成对样本数据的散点图，据此直观推断变量之间的相关关系，并 引入正相关、负相关、线性相关三种特殊且重要的相关关系.第8. 1.2小节主要是引入样本 相关系数的概念.样本相关系数不仅可以反映成对样本数据相关的正负性，而且可以定量地
3、 刻画成对样本数据线性相关的程度.通过对散点图无法定量刻画成对样本数据相关程度的分 析，让学生感受引入样本相关系数的必要性.从统计直观出发，先初步建立刻画相关性的数 学表达式，再通过逐步优化表达式得到样本相关系数公式，让学生体会样本相关系数定义的 合理性，积累数据分析的经验.再对样本相关系数的性质进行讨论，明确样本相关系数的正 负性可以反映成对样本数据相关的正负性，样本相关系数绝对值的大小可以刻画成对样本数 据线性相关程度的强弱.第& 2节，一元线性回归模型及其应用.第8. 2. 1小节主要结合具体案例“儿子身高与 父亲身高的关系”，在一次函数模型的基础上，通过引入随机误差项，建立一元线性回归
4、模 型刻画两个数值变量之间的相关关系，并讨论了回归模型中随机误差产生的原因.第8. 2. 2 小节主要是用最小二乘法估计一元线性回归模型中的参数，得到经验回归方程，进而根据解 释变量的取值预测响应变量的取值.结合案例儿子身高与父亲身高的关系”，完整呈现了 从直现寻找与散点整体接近的直线，到用定量刻画整体接近的程度，最后得到参数估计的数 学化过程，让学生体会最小二乘法的思想，积累数据分析的经验.再结合具体案例，利用回 归方程进行预测，并对结果进行合理解释，解释参数。与力的统计含义.教材还介绍了残差 分析的方法，对模型进行评价和改进.第8. 3节，列联表与独立性检验.第8. 3. 1小节主要是基于
5、2x2列联表直观推断两个 分类变量的独立性.教材先研究普查数据的问题，再研究抽样数据的问题,结合“男生和女生 在体育锻炼的经常性”的普查数据,用比率和条件概率两种方法判断两个分类变量的独立性， 其中通过比率判断比较符合直观，而通过条件概率判断，则是为了后续通过抽样数据推断分 类变量的独立性作思想方法上的铺垫.第8. 3. 2小节是基于2x2列联表，用假设检验的思想 推断两个分类变量的独立性，即独立性检验.教材先通过度量推断犯错误的可能性大小说明 引入独立性检验的必要性.再从频率和概率的关系出发，详细地展示了 Z2统计量的构造过程, 让学生体会统计的思想方法,积累数据分析的经验.利用/统计量的近
6、似分布和小概率原理, 就可以根据/的观测值对分类变量的独立性作出科学的推断.教材还设置了“基于同一组数 据的分析，但却得出了不同的结论”和“独立性检验和反证法的比较”的两个思考，帮助学 生深入认识独立性检验思想方法的特点.本章重点是成对数据的统计相关性、一元线性回归模型、独立性检验；难点是理解独 立性检验的思想.2.2 要求2.3 2.1成对数据的统计相关性.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相 关系数与标准化数据与向量夹角的关系；结合具体实例，会通过相关系数比较多组成对数据 的相关性.2. 2.2 一元线性回归模型.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义
7、，了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.针对实 际问题,会用一元线性回归模型进行预测.会使用相关的统计软件.2. 2.3 2x2列联表与独立性检验.通过实例，理解2x2列联表的统计意义；通过实例, 了解2x 2列联表与独立性检验及其应用.三、 本章研究路径本章主要在假定已有成对数据的基础上进行学习.在分析具体数据时，一般先用统计图 表表示数据，从直观上观察数据的统计特征，然后根据提取的信息构建合适的统计模型，做 进一步定量的分析,也就是说，在统计的数据分析中，先直观判断后定量刻画是数据处理的 一个基本原则.本章每一节内容主要是根据这个基本原则进行组织，而且这种先直观判断
8、后 定量刻画的安排顺序，符合认识事物逐渐深入的过程.本单元内容按“实际问题背景一一抽象统计模型一一构造统计最进行数据分析一一得出 结果并解释的路径，普遍采用从直观描述到数学刻画，先定性后定量的统计分析方法，引 导学生在解决实际问题的过程中，体会统计思想，积累数学活动经验，发展直观想象、数学 建模、逻辑推理、数学运算和数据分析素养.四、子单元划分第一单元 成对数据的统计相关性（2课时）第二单元 一元线性回归模型及其应用（3课时）第三单元 列联表与独立性检验（2课时）小 结（2课时）五、本章评价要求5.1 本章学业要求5.1.1 能够解决成对样本数据统计相关性的简单实际问题.5.1.2 能够结合具
9、体实例，掌握运用一元线性回归分析的方法.5.1.3 掌握运用2义2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题.5.1.4 重点提升学生数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养.5. 2本章评价建议以下从核心知识评价要求、思想方法评价要求和关键能力评价要求这三个维度，提出具 体的评价建议.5. 2.1核心知识评价要求本章的主要内容有成对数据的统计相关性、一元线性回归模型和2X2列联表，两个随机 变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；利用一元线性回归模型可以研究变量之间的 随机关系，进行预测；利用2X2列联表可以研究两个分类变量之间的独立性.依据本章的学习目标和学业要求，可列出本章的10个核
10、心知识，按了解、理解、掌握 分三个认知层次，且高一级层次的要求包含低一级层次的要求，具体评价要求见下表.主题知识单元核心知识评价要求个数T 解理解掌握成对数据变量的相关关系V的统计相关性样本相关系数V2一元线性回归模型概成对一元线性 回归模型 及其应用最小二乘原理V率与数据的一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法V5统统计残差分析的原理和方法V计分析一元线性回归模型的应用V列联表与 独立性 检验2x2列联表及其统计意义3分类变量的独立性V独立性检验的应用V总计53210对数学知识技能的评价，本章应关注学生能否把握知识之间的内在联系、以及数学知识 在实际中的应用，如学生能否真正理解变量之间的函数
11、关系与相关关系的联系与区别；能否 通过样本相关系数与标准化向量夹角的关系理解变量的相关性、推断两个变量的相关程度; 能否通过函数模型与回归模型的联系与区别，了解描述随机现象的一般数学方法；能否通过 逻辑推理与概率推理的联系与区别，理解分类变量独立性检验的思想.对本章10个核心知识的评价要求，分别按照了解、理解和掌握三个层次的具体含义进 行了细化解析.(1) 了解变量的相关关系：能判别相关关系和函数关系，会用散点图推断两个变量的 线性相关性.(2) 了解样本相关系数：知道与标准化数据向量夹角的关系；会用样本相关系数的大 小判断成对数据的相关程度和变化趋势，会通过样本相关系数比较多组成对样本数据的
12、相关 性.(3)理解一元线性回归模型：能结合具体实例，描述一元线性回归模型的含义；解释 模型参数的统计意义，知道线性回归模型与函数模型的区别，知道线性回归模型中误差e的 含义，以及假设误差e满足石(e) = 0,的理由.(4) 了解最小二乘原理：能利用最小二乘原理导出参数估计值的计算公式.(5)掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法：会利用统计工具画散点图，会 求样本相关系数和经验回归方程，能用残差、残差图和决定系数改分析检验回归模型的优 度.(6)理解残差分析的原理和方法：理解决定系数代的意义；会将某些非线性回归问题 转化成线性回归问题.(7) 了解一元线性回归模型的应用：针对实际问题，
13、会用一元线性回归模型进行预测.(8)理解2义2列联表及其统计意义：能解释分类变量与列联表的概念，能描述2义2 列联表的统计意义，会根据简单随机抽样获得的分类变量数据编制2X2列联表.(9) 了解分类变量的独立性：知道两个分类变量独立的含义，会用概率语言描述两个 分类变量的独立性；会利用2X2列联表和等高堆积条形图推断两个分类变量的独立性.(10)掌握独立性检验的应用：能归纳概括/独立性检验的基本思想和检验规则，会 对二选一的决策问题提出零假设；能分析统计量的构造过程，能根据零假设及频率稳定于概 率的原理推导/观测值计算公式；会在小概率a下，根据/值和临界值4的关系进行独 立性推断；能利用频率分
14、析具有相关关系变量的变化规律；会结合具体实例运用2X2列联 表的方法，解决独立性检验的简单实际问题.5. 2. 2思想方法评价要求本章的数学思想方法主要包括概率与统计、数形结合和函数与方程，具体评价要求见下 表.思想方法评价要求概率与统计会用概率语言描述两个分类变量的独立性，了解利用独立性及频率与概 率的关系构造独立性检验统计量的思想；能利用成对的样本数据，依据要求 建立一元线性回归模型，进行预测，得到统计结论；能利用统计思想研究两 个分类变量的独立性，通过零假设及构建小概率事件，建立独立性检验的规 贝IJ,根据规则分析统计数据，作出合理判断，以形成较为可信的结论.数形结合能以成对样术数据散点
15、图分析样本数据的相关性，推断变量相美的程度； 能通过用数学方法刻画“从整体上看，各散点与直线最找近，理解最小一乘 法的思想；会通过经验回归直线和残差图，分析一元线性回归模型的优度； 能通过列联表整理两个分类变量的观测数据，会通过等高堆积条形图分析两 个分类变量的独立性函数与方程能分析实际问题中的数量关系，并通过设立解释变量和响应变量建立回归模 型，通过用函数关系描述随机现象中的规律性问题，实现对随机现象的研究； 能通过经验回归方程进行预测，能运用函数的观点分析随机现象，并通过函 数的性质研究变量的变化规律.（1）要特别关注学生能否运用数形结合的思想方法.如学生能否直现地表达数据，能否 通过散点
16、图分析成对样本数据的相关性，能否利用散点图与经验回归直线的关系理解最小二 乘的原理，能否利用残差图分析回归模型，能否利用堆积条形图推断两个分类变量的独立性等.（2）要关注函数与方程的数学思想方法.如学生能否利用函数与方程的思想理解统计 模型，能否利用这种思想建立一元线性回归模型.（3）要特别关注学生能否借助信息技术进行本章的学习.如学生能否利用技术画出散 点图、残差图、堆积条形图，能否利用技术，计算经验回归方程、画出经验回归直线，能否 利用技术计算卡方统计量的观测值，评价要基于学生对信息技术的使用，允许学生在评价中 使用图形计算器等统计工具，对于科学与现实问题可以按照满意原则和加分原则对学生的
17、学 习进行评价.5. 2. 3关键能力评价要求本章的关键能力主要包括数据分析、数学建模、推理论证、运算求解和直观想象，具体 评价要求见下表.关键能力评价要求数据分析能在具体情境中了解成对样本数据的相关性，能够用概率的语言描述分类 变量的独立性，能够运用概率和统计的思想建立一元线性回归模型，并能够利 用统计图表和回归模型解释和预测随机现象；会利用概率和统计的思想分析两 个分类变量的独立性，并建立独立性检验的方法，会利用概率的思想进行统计 推断.数学建模能通过与函致模型的联系，建立一元线性回归模型；能够通过对样本数据 分析、掌握建立统计模型的思想、方法和过程，并能通过建立的模型和规则， 解决利用样
18、本数据进行预测和独立性检验等实际问题.推理论证能通过类比、归纳、演绎等推理过程，理解利用样本估计总体的思想；能 结合具体的问题情境，通过随机现象中的规律性进行推断，对独立性问题进行 推理论证；能对一元线性回归模型进行分析，能从残差的角度分析模型的优劣， 从而建立统计模型的判断方法；能类比逻辑推理的方法建立随机事件的概率推 理，提升推理论证能力.运算求解能借助最小二乘原理，推导一元线性回归模型参数的估计公式，会根据条 件概率的概念和性质，建立独立性检验的规则和方法，推导卡方检验观测值的 计算公式；会利用建立的模型和规则进行预测和推断；能通过确定运算目标， 设计运算程序，进行合理的运算、变换，形成
19、运算求解的能力.直观想象能借助统计图表研究样本数据的规律性，通过散点图、残差图、条形图等 数据的直观表示方法探究样本数据的基本性质和观律，从而推测总体的性质， 形成数学直觉和数形结合的思想.(1)如果学生能够根据散点图和样本相关系数分析两个变量的相关关系，说明学生能 够掌握成对样本数据相关性分析的方法，可以认为达到数据分析素养水平二的要求.(2)如果学生能够结合具体实例，建立一元线性回归模型解决同题，并且能够构造统 计量X用于独立性检验，说明学生能够运用数学的方法构建模型解决间题，可以认为达到数 学建模素养水平二的要求.(3)如果学生能够用独立性检验的方法对二选一的决策同题作出推断，说明学生已
20、经 掌握依据独立性检验的原理和规则进行推理，可以认为达到逻辑推理素养水平二的耍求.(4)如果学生能够掌握样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，用最小二乘法估 计一元线性回归模型的参数，推导统计量计算公式，说明学生具备了一定的数学运算能力, 可以认为达到数学运算素养水平二的要求.（5）如果学生能够依据样本数据编制22列联表，能从具体问题中发现两个变量之间的 相关关系，说明学生能够从具体事例中抽象出数学问题，可以认为达到数学抽象素养水平一 的要求.六、本章教学原则6.1强调样本估计总体的思想用样本估计总体是统计的基本思想.关于单变量总体的估计或推断，主要是通过样本数 据的均值、方差、分位数估计总
21、体相应的数字特征.对于两个变量，通过样本相关系数推断 两个变量的相关性，通过一元线性回归模型刻画两个变量的相关关系，通过2统计量检验 两个分类变量的独立性，都是关于两个变量这个总体的估计或推断，在教学中应充分重视.6. 2准确把握统计的学科逻辑代数、几何、概率等内容是以定义出发，主要使用演绎推理的方法证明结论.演绎推理 是从一般到特殊的推理，只要前提正确、推理形式正确，得到的结论必然正确，因此得出的 结论具有确定性.而统计是从样本数据出发，根据样本数据的结论推断总体的结论，这是从 部分到总体，特殊到一般的推理，在推理方法上属于不完全归纳.不完全归纳的特点是前提 正确并不意味着得到的结论正确，也
22、就是说统计的推断有可能犯错误，结论具有不确定性. 由于出发点和推理方法的不同，统计与代数、几何等内容在对结论的判断标准上也不一样, 前者是好与坏，后者是对与错.只有在教学中从整体上准确把握统计学科逻辑的特点，才能 准确理解统计教学的内容.6. 3注重统计概念和方法的产生和形成过程统计中每一个概念和方法的引入，要完整展现从统计直观到数学表达的转化过程，让学 生理解其必要性和合理性.例如，对于估计一元线性回归模型参数所用的最小二乘法，教学 中可以让学生从寻找与散点在直觉上整体最接近的直线开始，逐步过渡到对整体最接近的数 学刻画，再在若干表达式中选择平方和最小的作为标准.通过让学生经历这个过程，既可
23、以 体会统计方法从统计直观到数学表达的转化过程,从中体会统计思想，积累数据分析的经验, 培养数据分所素养，又可以体会标准不同结论就不同的统计方法的特点.6.4加强信息技术工具的使用信息技术既是现代统计的组成部分，也是统计学习的有效辅助手段，普通高中数学课 程标准（2017年版）明确耍求“会利用统计软件进行数据分析”.因此，在统计教学中， 应该要求学生，在理解统计思想和方法的基础上，利用信息技术工具画图和计算，探索数据 的规律，提高教学的效率和质量,例如，对于一组样本数据，利用Erce/软件进行快速地进 行排序等整理，画出各种统计图等，从不同的角度探索数据的规律.又如，用一元线性同归 模型刻画两
24、个变量之间关系，利用GeoGMm软件画散点图、计算样本相关系数、求经验 回归方程、计算决定系数R2、画残差图等一系列画图和计算，避免重复、机械的工作，而 且输出结果既快捷又准确，提高了学生学习统计的兴趣和效果.七、本章育人价值数学育人首先体现在教学设计中.无论是教学目标的确定，教学方法的选择，教学重、 难点的明晰，还是学情分析、教学过程及教学反思，都要立足于以人为本、立德树人，激活 数学知识中所蕴涵的数学精神、思想和方法，增强教学过程的德育渗透.数学育人在师生共同建构的数学课堂中，通过发现问题和提出问题、分析问题和解决问 题，让数学知识、思想、方法和原理贯穿于教学的始终.通过相关系数、一元线性回归模型 的参数估计、/统计量等构建的过程，体会数学家创造和发现的艰辛和努力，激发学生学 习数学的兴趣和动机，增强学生对数学的执着和热爱，感悟数学的科学价值、应用价值、文 化价值和审美价值.数学育人在数学教学评价中，重在帮助学生认识自我、增强自信.使学生认识到数学发 展历程中有许多成功与失败的案例，学习数学也是如此.不能因为一次考试的失利、一次理 解的偏差、一次问题解决的阻碍就丧失学好数学的信心.要透过数学概念的理解、数学命题 的掌握、数学方法的提炼、数学思想的应用、数学问题的解决等，促进思想品格和思维品质， 培养科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养.