2023年二元一次方程组应用.pdf

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1、 明 德 致 远 止 于 至 善 课程标题 二元一次方程组应用 学习过程 学习探究【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.【解题注意】例 1、某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 6元/辆，小型汽车的停车费为 4元/辆.现在停车场有 50辆中

2、、小型汽车，这些车共缴纳停车费 230元，问中、小型汽车各有多少辆？解析：审：两个变量，所以需要两个未知数。找：他们满足两个关系，数量满足 50，总费用满足 230，由此可以列二元一次方程。列：设中型汽车有 x辆，小型汽车有 y辆.由题意，得：.230 4 6,50y xy x 解：得，.35,15yx 答：故中型汽车有 15辆，小型汽车有 35辆.例 2、（2006 年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：销售方式 直接销售 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元）100 250 450 现在该公司收购了 140 吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6 吨或粗加工蔬

3、菜 16吨（两种加工不能同时进行）（1）如果要求在 18 天内全部销售完这 140 吨蔬菜，请完成下列表格：明 德 致 远 止 于 至 善 销售方式 全部直接销售 全部粗加工后销售 尽量精加工，剩余部分直接销售 获利（元）（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15 天内刚好加工完 140 吨蔬菜，则应如何分配加工时间？解：（1）全部直接销售获利为：100 140=14000（元）；全部粗加工后销售获利为：250 140=35000（元）；尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450（6 18）100（140 6 18）=51800（元）.（2）设应安排 x 天进行精加工，y 天进行粗加

4、工.由题意，得.140 16 6,15y xy x 解得，.5,10yx 故应安排 10 天进行精加工，5 天进行粗加工.【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80 元，建新校舍每平方米需 700 元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200 平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的 10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1）求：原计划拆、建面积各是多少平方米？（2）若绿化 1 平方米需 200 元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多

5、少平方米？明 德 致 远 止 于 至 善【问题归纳】二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题 例 1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大 27，求这个两位数 点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为 x，或只设十位上的数为 x，那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程

6、一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之 二、利润问题 例 2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%；如果打八折出售可以盈利 10 元，问此商品的定价是多少？点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价 利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价 利润率（盈利百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念 明 德 致 远 止 于 至 善 三、配套问题 例 3 某厂共有 120 名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天

7、安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：（1）“二合一”问题：如果件甲产品和件乙产品配成一套，那么甲产品数的倍等于乙产品数的倍，即a b甲产品数 乙产品数；（2）“三合一”问题：如果甲产品件，乙产品件，丙产品件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：a b c 甲产品数 乙产品数 丙产品数 四、行程问题 例 4 在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加

8、油站，A 到 B 的距离为 120 千米，B 到 C 的距离也是 120 千米 分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去，结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？明 德 致 远 止 于 至 善 点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及

9、行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 五、货运问题 典例 5 某船的载重量为 300 吨，容积为 1200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6 立方米，乙种货物每吨的体积为 2 立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等 六、工程问题 例

10、 6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装 150 套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服 200套，这样不仅比规定时间少用 1 天，而且比订货量多生产 25 套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？明 德 致 远 止 于 至 善 点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间 工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量 工作效率，工作效率=工作量 工作时间”其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1

11、”表示总工作量 动手试试 1.一次篮、排球比赛，共有 48 个队，520 名运动员参加，其中篮球队每队 10 名，排球队每队 12 名，求篮、排球各有多少队参赛？2.某厂买进甲、乙两种材料共 56 吨，用去 9860 元。若甲种材料每吨 190 元，乙种材料每吨 160 元，则两种材料各买多少吨？3.某人用 24000 元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值 15，乙股票下跌 10时卖出，共获利 1350 元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？4.一次篮、排球比赛，共有 48 个队，520 名运动员参加，其中篮球队每队 10 名，排球队每队 12 名，求篮、排球各有多少队参赛？5.某厂买进甲、乙

12、两种材料共 56 吨，用去 9860 元。若甲种材料每吨 190 元，乙种材料每吨 160 元，则两种材料各买多少吨？明 德 致 远 止 于 至 善 6.某人用 24000 元买进甲、乙两种股票，在甲股票升值 15，乙股票下跌 10时卖出，共获利 1350 元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？7.有甲乙两种债券年利率分别是 10%与 12%，现有 400 元债券，一年后获利 45 元，问两种债券各有多少？8.种饮料大小包装有 3 种，1 个中瓶比 2 小瓶便宜 2 角，1 个大瓶比 1 个中瓶加 1 个小瓶贵 4 角，大、中、小各买 1 瓶，需 9 元 6 角。3 种包装的饮料每瓶各多少元

13、？课后作业 1.两列火车同时从相距 910 千米的两地相向出发，10 小时后相遇，如果第一列车比第二列车早出发 4 小时 20 分，那么在第二列火车出发 8 小时后相遇，求两列火车的速度 2.购买甲种图书 10 本和乙种图书 16 本共付款 410 元，甲种图书比乙种图书每本贵 15元，问甲、乙两种图书每本各买多少元？3.甲、乙两人分别从甲、乙两地同时相向出发，在甲超过中点 50 米处甲、乙两人第一次相遇，甲、乙到达乙、甲两地后立即返身往回走，结果甲、乙两人在距甲地 100 米处第二次相遇，求甲、乙两地的路程。明 德 致 远 止 于 至 善 4.某工程车从仓库装上水泥电线杆运送到离仓库恰为 1

14、000 米处的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔 100 米栽立电线杆。已知工程车每次至多只能运送电线杆 4 根，要求完成运送 18 根的任务，并返回仓库。若工程车行驶每千米耗油 m 升（耗油量只考虑与行驶的路程有关），每升汽油 n 元，求完成此项任务最低的耗油费用。5.某家庭前年结余 5000 元，去年结余 9500 元，已知去年的收入比前年增加了 15%，而支出比前年减少了 10%，这个家庭去年的收入和支出各是多少？6.某人装修房屋，原预算 25000 元。装修时因材料费下降了 20，工资涨了 10，实际用去 21500 元。求原来材料费及工资各是多少元？7.某单位甲、乙两人，去年共分得现金 9000 元，今年共分得现金 12700 元.已知今年分得的现金，甲增加 50，乙增加 30.两人今年分得的现金各是多少元？8.若干学生住宿,若每间住 4 人则余 20 人,若每间住 8 人,则有一间不空也不满,问宿舍几间,学生多少人?