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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(理)(北 京 卷)本 试 卷 共 5 页，150分。考 试 时 长 120分 钟。考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 40分)一、选 择 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(1)已 知 复 数 z=2+i,则 z三 二(A)73(B)旧(C)3(D)5(2)执 行
2、如 图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 的 s值 为(A)-7/输 1 s/结 束 _Z(A)1(B)2(C)3x=1+3f,(3)已 知 直 线/的 参 数 方 程 为 八，(r为 参 数)，则 点(1,j=2+4t1、2、4(A)(B)(C)5 5 5r2 y-1(4)已 知 椭 圆 一+=1(a b 0)的 离 心 率 为 一，则 a2 b2 2(A)a2=2b2(B)3a2=46(C)a=2b(5)若 尤，y 满 足 且 心 T,则 3x+y的 最 大 值 为(D)40)到 直 线/的 距 离 是 6(D)-5(D)3a=4b(B)1(C)5(D)75 E,（6）在 天 文 学 中
3、，天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描 述.两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足?2-如=彳 至 昔，其 中 星 等 为 恤 的 星 的 亮 度 为 反（上 1,2）.已 知 太 阳 的 星 等 是-26.7,天 狼 星 的 星 等 是 T.45,则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为（A）IO101（B）10.1（C）IglO.l（D）10|（7）设 点 A,B,C 不 共 线，则“A B 与 A C 的 夹 角 为 锐 角”是 I A 3+AC|BC|”的（A）充 分 而 不 必 要 条 件（B）必 要 而 不 充 分 条 件（C）充 分
4、 必 要 条 件（D）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（8）数 学 中 有 许 多 形 状 优 美、寓 意 美 好 的 曲 线，曲 线 C:x2+y 2=+|#y 就 是 其 中 之 一（如 图）.给 出 下 列 三 个 结 论：曲 线 C 恰 好 经 过 6 个 整 点（即 横、纵 坐 标 均 为 整 数 的 点）；曲 线 C 上 任 意 一 点 到 原 点 的 距 离 都 不 超 过 五；曲 线 C 所 围 成 的“心 形”区 域 的 面 积 小 于 3.其 中，所 有 正 确 结 论 的 序 号 是（A）（B）（C）（D）第 二 部 分（非 选 择 题 共 110分）二、填 空 题
5、 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30分。（9）函 数/（x）=sin22x的 最 小 正 周 期 是.（10）设 等 差 数 列”“的 前 项 和 为 S“若 欧=-3,S5=T0,则 纺=,S,的 最 小 值 为.（11）某 儿 何 体 是 由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得，其 三 视 图 如 图 所 示.如 果 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.(12)已 知/,他 是 平 面 a 外 的 两 条 不 同 直 线.给 出 下 列 三 个 论 断：/J_m；m a；/j_ a.以 其 中 的 两 个
6、 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命 题：.(13)设 函 数/C O=e+aer(a为 常 数).若/(x)为 奇 函 数，则 a=；若 f(x)是 R 上 的 增 函 数，则 的 取 值 范 围 是.(14)李 明 自 主 创 业，在 网 上 经 营 一 家 水 果 店，销 售 的 水 果 中 有 草 莓、京 白 梨、西 瓜、桃，价 格 依 次 为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为 增 加 销 量，李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销：一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元，顾 客 就
7、 少 付 x 元.每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付 成 功 后，李 明 会 得 到 支 付 款 的 80%.当 4 1 0 时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，需 要 支 付 元；在 促 销 活 动 中，为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折，则 x 的 最 大 值 为 三、解 答 题 共 6 小 题，共 80分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。(1 5)(本 小 题 13分)在 ABC 中，a=3,b-c=2,cosB=.2(I)求 c 的 值；(II)求 si
8、n(B-C)的 值.(1 6)(本 小 题 14分)如 图，在 四 棱 锥 P-A8C。中，PA_L平 面 ABCD,AD1.CD,AD/BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为 1 PDPF 1的 中 点，点 厂 在 P C 上，且=-.P C 3(I)求 证：平 面 PA。；(II)求 二 面 角 F-AE-P的 余 弦 值；(IH)设 点 G 在 P B 上，且 竺=2.判 断 直 线 A G 是 否 在 平 面 A E F 内，说 明 理 由.PB 3(1 7)(本 小 题 13分)改 革 开 放 以 来，人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变.近 年 来，移 动
9、支 付 已 成 为 主 要 支 付 方 式 之 一.为 了 解 某 校 学 生 上 个 月 A,B 两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况，从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 了 100人，发 现 样 本 中 A,B 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5 人，样 本 中 仅 使 用 A 和 仅 使 用 B 的 学 生 的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下：金 额(元)支 付 方(0,1000(1000,2000 大 于 2000仅 使 用 A 18人 9 人 3 人 仅 使 用 B 10人 14人 1人(I)从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 1人，估
10、计 该 学 生 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 概 率；(II)从 样 本 仅 使 用 A 和 仅 使 用 B 的 学 生 中 各 随 机 抽 取 1人，以 X 表 示 这 2 人 中 上 个 月 支 付 金 额 大 于 1000元 的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望；(III)已 知 上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化.现 从 样 本 仅 使 用 A 的 学 生 中，随 机 抽 查 3 人，发 现 他 们 本 月 的 支 付 金 额 都 大 于 2000元.根 据 抽 查 结 果，能 否 认 为 样 本
11、仅 使 用 A 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化？说 明 理 由.(1 8)(本 小 题 14分)已 知 抛 物 线 C：N=_2py经 过 点-1).(I)求 抛 物 线 C 的 方 程 及 其 准 线 方 程；(II)设。为 原 点，过 抛 物 线 C 的 焦 点 作 斜 率 不 为 0 的 直 线/交 抛 物 线 C 于 两 点 M,N,直 线 尸 T 分 别 交 直 线 OM,O N 于 点 A 和 点 B.求 证：以 A B 为 直 径 的 圆 经 过)，轴 上 的 两 个 定 点.(1 9)(本 小 题 13分)已 知 函 数 一/
12、+%.(I)求 曲 线 y=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程;(II)当 x e-2,4 时，求 证：x-6f(x)x-(III)设 尸(x)=(x)(x+a)|(aeR),记 尸(x)在 区 间-2,4 上 的 最 大 值 为 M(a).当 M(a)最 小 时，求 a 的 值.(20)(本 小 题 13分)已 知 数 列 从 中 选 取 第 八 项、第，,2项、第%项(ilGVYim),若,2”，则 称 新 数 列%,%，q”为“的 长 度 为 根 的 递 增 子 列.规 定：数 列“的 任 意 一 项 都 是 小 的 长 度 为 1的 递 增 子 列.(I)写 出 数 列 1,
13、8,3,7,5,6,9 的 一 个 长 度 为 4 的 递 增 子 列；(II)已 知 数 列 斯 的 长 度 为 p 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 4no,长 度 为 q 的 递 增 子 列 的 末 项 的 最 小 值 为 金 若 pq，求 证：%；(III)设 无 穷 数 列 斯 的 各 项 均 为 正 整 数，且 任 意 两 项 均 不 相 等.若 斯 的 长 度 为 s的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为*-1,且 长 度 为 s末 项 为 2s-l的 递 增 子 列 恰 有 2s“个(s=l,2,)，求 数 列 如 的 通 项 公 式.2019年 普
14、通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(理)(北 京 卷)参 考 答 案 一、选 择 题(共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分)(1)D(2)B(3)D(4)B二、填 空 题(共 6小 题，每 小 题 5分，共 30分)7T(9)-(10)0-10(11)402(5)C(6)A(7)C(8)C(12)若/，2,1 1 a,则 加 a.(答 案 不 唯 一)(13)-1(-oo,0(14)130 15三、解 答 题(共 6小 题，共 80分)(15)(共 13 分)解：(I)由 余 弦 定 理 2=/+。2 2accosb,得 b1-32+c2-2x3xex(-g).因
15、 为 b=c+2,所 以(c+2)2=32+c2-2x3xcx(g).解 得 c=5.所 以 b=7.(II)由(58=-,得 5皿 8=且.2 2由 正 弦 定 理 得 sin C=-sin B=.h 14在 人 钻。中，NB 是 钝 角，所 以 N C 为 锐 角.所 以 cosC=Vl-sin2 C=.14一 473所 以 sin(B-C)=sin 8 cos C-cos BsinC=-.(16)(共 14 分)解：(I)因 为 PAJ平 面 ABC。，所 以 P4_LC.又 因 为 A_LC),所 以 CO_L平 面 PAD.(II)过 4作 AO的 垂 线 交 BC于 点 M.因 为
16、 尸 4_1_平 面 48。，所 以 PA_L4W,PA LAD.如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(2,P(0,0,2).因 为 E为 PO的 中 点，所 以 E(0,1,1).所 以 AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).0),C(2,2,0),。(0,2,0),所 以*加=(|,鸿)设 平 面 AEF的 法 向 量 为=(x,z),则 n-AE=0,AF=0,即 y+z=0,z=0.2 2 4x+y+3 3 3令 z=l,则 y=-l,%=-l.于 是=(一 1,一 1,1).又 因 为 平 面 PAO的 法 向
17、 量 为 p=(1,0,0),所 以 cos,p=I nil Pl_V3由 题 知，二 面 角 F-AE-P为 锐 角，所 以 其 余 弦 值 为(III)直 线 AG在 平 面 AE尸 内.PG 2因 为 点 G在 P8上，且=,P5=(2,-l,-2),PB 32,4 2 4、(4 2 2、所 以 P G=-P 3=一 一,一 一,AG=A P+P G=一 一.3(3 3 3)(3 3 3j由(II)知，平 面 AEF的 法 向 量=(一 1,一 1,1).4 2 2所 以 AG-=+=0.3 3 3所 以 直 线 AG在 平 面 内.(1 7)(共 13 分)解：(I)由 题 意 知 I
18、,样 本 中 仅 使 用 A 的 学 生 有 18+9+3=30人，仅 使 用 B 的 学 生 有 10+14+1=25人，A,B两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 学 生 有 5人.故 样 本 中 A,B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 学 生 有 100-30-25-5=40人.所 以 从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 1人，该 学 生 上 个 月 A,B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 概 率 估 计 为 二=0.4.100(ID X 的 所 有 可 能 值 为 0,1,2.记 事 件 C为“从 样 本 仅 使 用 A 的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，该
19、学 生 上 个 月 的 支 付 金 额 大 于 1000元”，事 件。为“从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，该 学 生 上 个 月 的 支 付 金 额 大 于 1000元 由 题 设 知，事 件 C,。相 互 独 立，且 P(C)=0.4,尸(。)=二=0.6.30 25所 以 P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=P(CD,CD)尸(C)P(力)+P(C)P(。)=0.4x(1-0.6)+(1-0.4)x0.6=0.52,P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.所 以 X的 分 布 列 为 X 0 1 2P 0.24 0.
20、52 0.24故 X的 数 学 期 望 E(X)=0 x0.24+1x0.52+2x0.24=1.(Ill)记 事 件 E为“从 样 本 仅 使 用 A 的 学 生 中 随 机 抽 查 3人，他 们 本 月 的 支 付 金 额 都 大 于 2000元”.假 设 样 本 仅 使 用 A 的 学 生 中，本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 没 有 变 化，则 由 上 个 月 的 样 本 数 据 得产（功=-=-.C；o 4060答 案 示 例 1：可 以 认 为 有 变 化.理 由 如 下：P（E）比 较 小，概 率 比 较 小 的 事 件 一 般 不 容 易 发 生.一 旦
21、发 生，就 有 理 由 认 为 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 发 生 了 变 化.所 以 可 以 认 为 有 变 化.答 案 示 例 2：无 法 确 定 有 没 有 变 化.理 由 如 下：事 件 E是 随 机 事 件，P（）比 较 小，一 般 不 容 易 发 生，但 还 是 有 可 能 发 生 的，所 以 无 法 确 定 有 没 有 变 化.（18）（共 14分）解：（1）由 抛 物 线 C：/=-2 p y 经 过 点（2,-1）,得 p=2.所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 V=-4 y,其 准 线 方 程 为 y=l.（II）抛 物 线。的 焦 点
22、为 尸（0,-1）.设 直 线/的 方 程 为 y=米 l（k。0）.由 得 丁+4 _ 4=0.x=-4y设 加（%,乂）4（马,功），则 中 2=-4.直 线 0 M 的 方 程 为 丫=入 底 令 y=-l,得 点 4 的 横 坐 标%=五.同 理 得 点 3 的 横 坐 标 巧,=-g.2设 点。（0,），则 Z M=2 1.DB=-,-1-n,l x）I 必）D AD B=+（n+1）2X%+(n+l)2=-+5+1)2玉=-4+(+1)2.令 DA DB=O,即 4+(+1)2=0,则=1 或=-3.综 上，以 AB为 直 径 的 圆 经 过 y轴 上 的 定 点(0,1)和(0,
23、3).(1 9)(共 13 分)3解：(I)由/(X)=/一/+%得/X)=一/-2 x+l.4 43 8令/(x)=l,即 彳 2_2X+1=1,得 X=0或 X=2.又 f(o)=o,吗 吟，Q Q所 以 曲 线 y=/(X)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程 是 y=X与 y方=,64即 y=x 与 y=x-.(II)4-g(x)=f(x)-x9x e-2,4.i 3由 g(x)=-x3-x2 得 g(x)=-2%.4 4Q令 g(x)=0 得 X=0 或 X=_.g(x),g(x)的 情 况 如 下：所 以 g(x)的 最 小 值 为-6,最 大 值 为 0.X-2(-2,0)0畤
24、38(8-,4.)4g a)+g(x)-6/0-2674*0故-6 g(x)0,即 x-6 4/(x)x.(I l l)由(I I)知，当 a F(0)=|g(0)a|=-a 3；当 a 3时，M()F(-2)H g(-2)-|=6+iz 3；当 a=3时，M（a）=3.综 上，当 M（a）最 小 时，a=3.（20）（共 13 分）解：（1）1,3,5,6.（答 案 不 唯 一）（II）设 长 度 为 q末 项 为 a%的 一 个 递 增 子 列 为 4，%“1b.由 得 a,；因 为 可 的 长 度 为 p的 递 增 子 列 末 项 的 最 小 值 为 4Ho，又 名,4,是 4 的 长
25、度 为 p的 递 增 子 列，所 以%,4（III）由 题 设 知，所 有 正 奇 数 都 是 q 中 的 项.先 证 明：若 2机 是%中 的 项，则 2机 必 排 在 2祖-1之 前（优 为 正 整 数）.假 设 2根 排 在 2?-1之 后.设 册“I,册 2，m-，4,2m-l 是 数 列,l）/的 长 度 为 加 末 项 为 2/2-1的 递 增 子 列，则 ap i,ap2,是 数 列 a“的 长 度 为?+1末 项 为 2成 的 递 增 子 列.与 己 知 矛 盾.再 证 明：所 有 正 偶 数 都 是 风 中 的 项.假 设 存 在 正 偶 数 不 是 4 中 的 项，设 不
26、在 4 中 的 最 小 的 正 偶 数 为 2?.因 为 2%排 在 2*1之 前（k=l,2,m-l）,所 以 兼 和 2Z1不 可 能 在 4 的 同 一 个 递 增 子 列 中.又 q 中 不 超 过 2m+1的 数 为 1,2,2 L 2,2L 1,2/n+l,所 以 4 的 长 度 为，+1且 末 项 为 2祖+1的 递 增 子 列 个 数 至 多 为 22x2x x2xlxl=2m-2m.个 与 已 知 矛 盾.最 后 证 明：2瓶 排 在 2m-3之 后（佗 2为 整 数）.假 设 存 在 2,“（论 2）,使 得 2m排 在 为-3之 前，则 4 的 长 度 为?+1且 末 项 为 2m+l的 递 增 子 列 的 个 数 小于 2.与 已 知 矛 盾.综 上,数 列%只 可 能 为 2,1,4,3,，2 L 3,经 验 证,数 列 2,L 4,3，2/w-3,2nb 2?一 1,.为 奇 数，所 以 伪 偶 数.2tn,2m,.符 合 条 件.