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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换（修 订 版）主 编:马 柏 林 复 旦 大 学 出 版 社）裸 后 习 题 答 案习 题 一 解：设 z=x+iy1.用 复 数 的 代 数 形 式 a+ib表 示 下 列 复 数 e-M4;三 包；(2+0(4+30；-+7/+1 i 1+/z3=(x+iy)3=(x+iy)2(x+iy)=(x2-/+2孙 i)(x+iy)=x(x2-y2-lxy2+y(/一)2)+2,2寸=X3-3孙 2+(3/y _ y3)j Re(z3)=x3-3 x y2 解：处 解：(2+i)(4+3i)=8-3+4i+6i=5+10i 解:-1 H-3-=1+i 1+i3(1
2、)=32 25.i2 解:2.求 下 列 各 复 数 的 实 部 和 虚 部(z=x+iy)-l+iVJY(-1)、3.(-1).(-百)+卜(-1 6-(6)i2-)=8J(8+0i)=l：:设 z=x+iy则 z-4 _(x+iy)-4 _(x_)+iy _(x_a)+*(%+4)_z+a(x+iy)+(x+)+iy(x+ti)2+y2+(x+a)+y2血 口 二.+(x+)+y2 当=2Z 时，Re(f)=(-1/?Im(ifl)=0 9当=2k+1 时，Re(i)=0，Im(i)=(-1/.3.求 下 列 复 数 的 模 和 共 相 复 数-2+i;-3;(2+/)(3+2 0;.2
3、角 军：|-2+i|=/4+T=.-2+i=-2-i 解：|-3|=3=3=-3解|(2+i)(3+2 i)|=|2+i|3+2i|=7 5-V 1 3=V 6 5.(2+1)(3+2)=(2+1)-(3+21)=(2-1/(3-2；4-7 1 解:l+i _l+i|_ 7 2(l+i)1-i)24、证 明:当 且 仅 当 z V 时，z才 是 实 数.证 明：若 Z=,设 2=+1)，,则 有 x+iy=x-i y,从 而 有(2 y)i=0,即 y=0 底 二 工 为 实 数.若 2二%,%，则 建；=工.命 题 成 立.5、设,uB yi:|z+w|V-VV-Z+|H-|=|z|2-2R
4、e(z-vv)+|v v|2.从 而 将 证.|z+w|-+|z-w|-=2|z|-+|w|j几 何 意 义：平 行 四 边 形 两 对 角 线 平 方 的 和 等 于 各 边 的 平 方 的 和.7.将 下 列 复 数 表 示 为 指 数 形 式 或 三 角 形 式,;兀(41;3-*+(cos笑 isin 11i+9 9)解.3+5 i(3+5i)(l-7i)些 用 牛，7i+l-(l+7i)(l-7i)3 8-1 6 i 1 9-8 i V17 2 苴 50-25 e、八 88=兀 arctan 19 解：i=e，其 中 9.2.ni=e5 解：一 l=*=e，解：卜 8M+而 卜 6
5、6=-|2.-8兀(=16 解：f c O S y i s i n y j中 V-l=(nbsiroieos)=isin；冗 岁 匕 2(k=)7 1 7 1 1.3/.z，=cos+isin=+i1 3 3 2 2Z2=cosniim l=-5.5 1 y/3Z x=C O S 7 H S lF V ll-=-3 3 3 2 2(3)百+后 的 平 方 根.解：员 后=而 口 1+且 力=#.出 1 2 2(Jt=0.1)yJy/3+/3i=(V 6.e*)=64-2 2*k+-1 4-jsin-12 2cos cos+isin=1-e 9=eI 9 9 J9.设 z=e,n 2.证 明 8
6、.计 算：(1)，的 三 次 根；(2)-1的 三 次 根；(3)的 平 方 根.(D i的 三 次 根.解：_,7171,/2左 2?1 k 4W=卜 os e isin J=cos-+isin-2-(A:=0,1,2)=C O S 晶 丽 3=-+16 6 2 21+z+=0证 明：V z=e V.z,=l,即 z-l=0.(Z-1)(1+Z+zT)=0又 三 2.z W l从 而 i+z+z2+-+z/,_|=0IL 设 厂 是 圆 周 z.z-c=f,r 0,a=c+rea.令 Z3=cos 而 simri6-1的 三 次 根 解：32=-9-62其 中 求 出 4 在 a 切 于 圆
7、 周 厂 的 关 于 的 充 分 必 要 条 件.解:如 图 所 示.y因 为 4 二 z：lm(芥)=0 表 示 通 过 点 a 且 方 向 与 b 同 向 的 直 线，要 使 得 直 线 在。处 与 圆 相 切，则 C 4 _ L%过 C 作 直 线 平 行 LP,则 有 Z BCD=0,ZACB=90故 a/=90。所 以“在。处 切 于 圆 周 T 的 关 于 少 的 充 要 条 件 是 af=90.12.指 出 下 列 各 式 中 点 z所 确 定 的 平 面 图 形，并 作 出 草 图.argu;=lz-ll=lzl；(3)l|z+zl Imz;(5)Im z：lS z|2.解：(
8、3)、llz+ilImz.解：表 示 直 线 的 右 下 半 平 面(1)、argz=n.表 示 负 实 轴.yX5、Imzl,且 Izlv2.解：表 示 圆 盘 内 的 一 弓 形 域。/，、Or2,0=(1)4；(2)习 题 二 1.求 映 射 二 下 圆 周=2的 像.解：设 工=犬+,w=+ii)则 7 10r2,0-4；(3)x=a,y=b.(a,b 为 实 数)角 星 w=u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi所 以 u=x2-y2y V=2xy.T i(1)记 y 破，则 r2,a映 射 成 w 平 面 内 虚 轴 上 从 0 到 4i的 一 段，即 0c p4,4?=兀
9、.r4i.1 X-iy x y.w+iv=x+iy+=x+iy+=x+-=+i(y；r)x+iy x+y x+y 厂+y5 3.因 为 x-,所 以 干+丁 5 3所 以 了？=+/u Vx=w，y=34 4-+-=2-+-=1所 以 阳 即 2(k，薪 椭 圆.2.在 映 射 用 Z?下，下 列 z 平 面 上 的 图 形 映 射 为 W 平 面 上 的 什 么 图 形，设 吁 型 或 叫+iv.O 记 w,则。4。2映 成 了 W 平 面 上 扇 形 域，即 T T0 p 4,0(p.V(3)记 卬=+巾,则 将 直 线 x=a映 成 了 u=a2-y2,v=lay.即/=4/(/-H).
10、是以 原 点 为 焦 点，张 口 向 左 的 抛 物 线 将 y=b 映 成 了 u=x2-b2,v=2xb.即 V2=4从(从+)是 以 原 点 为 焦 点，张 口 向 右 抛 物 线 如 图 所 示.解：1.z-i z-i 1.1 1lim-lim-=lim-=zf z(l+z)=zf z(i+z)(z-i)z5 z(i+z)2(4)zz+2z-z-2 _(z+2)(z-1)_ z+2解：因 为 z2 T(z+l)(z-l)z+1.zz+2z z 2 z+2 3b I、r lim-；-=lim-=jy 以 i z-1 z-i z+1 23.求 下 列 极 限.(1)吧 E解：令 7,则 Z
11、-01 t2二 十 J 是 日 lim+7=；-li()m-?=01+v.Re(z)_ x解：设 2=*+丫。贝【J z、+iy有 rRe(z)r x 1h m-=h m-=-Z 状 Tx+泯 1+ik显 然 当 取 不 同 的 值 时 f(z)的 极 限 不 同 所 以 极 限 不 存 在.、lim-(3)I z(l+Z-)；4.讨 论 下 列 函 数 的 连 续 性:(1)0,z=0;解 k F：因 b i为、r Hm/(z)=lim？:-O J 4(x.yW(O.O)x2+y2xy _ k若 令 y二 kx,则。,找。/+y2-6,因 为 当 k 取 不 同 值 时，f(z)的 取 值
12、不 同，所 以 f(z)在 z=0处 极 限 不 存 在.从 而 f(z)在 z=0处 不 连 续，除 z=0外 连 续.Z*0,2=0.解：因 为 X，|x，+y2-2|x2|j|2所 以“妈。e,K=7()所 以 f(z)在 整 个 Z 平 面 连 续.d、x+y+i(x-y)x-iy+i(x-iy)(x iy)(l+i)z(l+i)1+i/(Z)-i y-j；p f+y 2 尸+y 2 f+y 2 z所 以 f(z)除 z=0外 处 处 可 导，5.下 列 函 数 在 何 处 求 导？并 求 其 导 数.(1)/=(z-i厂(n为 正 整 数);解：因 为 n 为 正 整 数，所 以 f
13、(z)在 整 个 z 平 面 上 可 导.、z+2/(z)=-1(2)(z+l)(z2+l).解：因 为 f(z)为 有 理 函 数，所 以 f(z)在(z+l)W+l)=。处 不 可 导.从 而 f(z)除 z=-l，z=i外 可 导.八 z)=(z+M z+1)(广 储+芈+般+1)丫(Z+1)-(2-+1)-2 Z3+5Z2+4Z+3(z+l)2(z2+l)2解：f(z)除 号 外 处 处 可 导，且、3(5z-7)-(3z+8)5 61Z(z)=-=一 7r,、x+y.x-y/八/(Z)=-7+1-7(4)X-+工 X-+2解：因 为 6.试 判 断 下 列 函 数 的 可 导 性 与
14、 解 析 性.(1)f(z)=xy2+i x2y解：“(内)=封 2,心,丫)=打 在 全 平 面 上 可 微.dx d曳 y=2小 包 dx=2种 包 dy=/所 以 要 使 得 du _ dv du _ dvdx dy dy dx，只 有 当 z=0时，从 而 f(z)在 z=0处 可 导，在 全 平 面 上 不 解 析.(2).f(Z)=x2+iy解：u(x,y)=/,v(x,y)=y2 在 全 平 面 上 可 微.包 dx=2 x,包 dy=0,包 dx=0,包 dy=2)，只 有 当 z=0 时，即(0,0)处 有 du _ dv du _ dvdx dy dy dy所 以 f(z)
15、在 z=0处 可 导，在 全 平 面 上 不 解 析.(3)/(2)=2x3+3i/.解：(x,y)=2xv(x,y)=3/在 全 平 面 二 可 微.包=6已 剪=0,包=9己 包=0dx dy dx dy所 以 只 有 当=士 扬 对，才 满 足 C-R方 程.从 而 f(z)在 后 土 伤 一。处 可 导，在 全 平 面 不 解 析.(4)/(z)=z,z2.解：设 z iy,则/(z)=(x-iy)-(x+iy)2=x3+x)2+i(y3+x2y)u(x,y)=x3+xy2,v(x,y)=y3+x2y友 du=3/2+忆 2 加 8 c 加 C 加-2 2=2孙，瓦=2小 取=3丁+一
16、 所 以 只 有 当 z=0时 才 满 足 C-R方 程.从 而 f(z)在 z=0处 可 导，处 处 不 解 析.7.证 明 区 域 D 内 满 足 下 列 条 件 之 一 的 解 析 函 数 必 为 常 数.(1)/=。；证 明：因 为 广=。，所 以 du du _ dv dv=0=。dx dy 8x dy所 以 u,v为 常 数，于 是 f(z)为 常 数.方 解 析.证 明：设 加=在 D 内 解 析,以 所 av-at=-包 ax以 所 艮 加-5y=-方 一 aydu du df dv 八=0dx dy dx dy从 而 V 为 常 数，U 为 常 数，即 f(z)为 常 数.(
17、3)Ref(z)二 常 数.证 明：因 为 Ref(z)为 常 数，即 du du _=0u=Cl,ax dy因 为 f(z)解 析，C-R条 件 成 立。du 8 故 豕=而=即 u=C2从 而 f(z)为 常 数.(4)Imf(z)二 常 数.证 明：与(3)类 似，由 v=Cldv dv 八 得 天 孩=0因 为 f(z)解 析，由 C-R方 程 得 电=包=0&，即 u=C2所 以 f(z)为 常 数.5.If(z)l=常 数.证 明：因 为 lf(z)l二 C,对 C 进 行 讨 论.于 是 l+(v/产 得 oO=VVav-axav-syww(U-加-du 2(加 附 八 V-)u
18、-v-)&=dy 3y=u2(u2+v2)u2(u2+v2)C-R条 件 若 C=0,则 u=O,v=O,f(z)=O 为 L-v常 数.oO-如&为 瓦 若 C#0,则 f(z)若，但/u)-7u)=c2,即 u2+v2=C2则 两 边 对 x,y分 别 求 偏 导 数，有 _ _ Sv _ _ du Sv _2w+2v=0,2u+2v=0dx dx dy dy利 用 C-R条 件，由 于 f(z)在 D以 所 oo-5V&av-ax立&+vi-一 一 包&0axaw-办 一、办 以 包 axdu _dv _ du _ 5v _解 得 在 一 不 一 W,即 u,v为 常 数，于 是 f(z
19、)为 常 数.8.设 f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在 z平 面 上 解 析，求 m,n,l的 值.解：因 为 f(z)解 析，从 而 满 足 C-R条 件.即 u=Cl,v=C2,于 是 f(z)为 常 数.argf(z)二 常 数.证 明：argf(z)=常 数，即 以=_3=-3,加=1.9.试 证 下 列 函 数 在 z平 面 上 解 析，并 求 其 导 数.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i证 明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在 全 平 面 可 微,且 du.,_,du/dv,加，2 2=3x-3y,=-oxy=oxy,
20、=3x-3ydx dy dx dy所 以 f(z)在 全 平 面 上 满 足 C-R方 程，处 处 可 导，处 处 解 析.=+i=3x2-3y2+6xyi=3(x2-y2+2A4)=3z2dx dx.f=er(xcos y-ysin y)+ie*(ycos y+x sin y)证 明：u(x9)=(xcos y-y sin y),v(x,y)=ex(y cos y+xsin y)处 处 可 微，且=e(xcos y-ysin y)+ex(cos y)=e(xcos y-ysin y+cos y)dx=e(-xsin y-sin y-y cos y)=eA(-xsin y-sin y-ycos
21、 y)力 加.=eA(ycos y+xsin y)+eA(sin y)=e(y cos y+xsin y+sin y)dx加=e(cos y+y(-sin y)+xcos y)=e(cos y-ysin y+xcos y)dy8u_dy_ 电 _包 所 以 私 方，dy dx所 以 f(Z)处 处 可 导，处 处 解 析.e”fz)=+i=e*(xcos y-y sin y+cos y)+i(e(y cos y+xsin y+sin y)dx dx=e*cos y+ie*sin y+x(eA cos y+ie,sin y)+iy(e*cos y+ie,sin y)=e：+xez+iyez=e(
22、l+z)1 0.设 0.z=0.求 证：(1)f(z)在 z=0处 连 续.(2)f(z)在 z=0处 满 足 柯 西 一 黎 曼 方 程.(3)P(0)不 存 在.证 明.(1).理”z)二 概/(x,y)+iv(x,y)_ _ lim w(x,y)=lim 二 r m(yHo。).(x.y)-(o.o)x+yJ y3X2+y2=(、一 叫 十 七 nx3-y3|n3 3lim=0(x,/o,o)x+y 丁+y3同 理(x.y弗 0)x2+y2=0lim(x,y)-(0.0)/(z)=0=/(O)f(z)在 z=0处 连 续.(2)考 察 极 限.I-当 z 沿 虚 轴 趋 向 于 零 时，
23、z=iy,有 当 z 沿 实 轴 趋 向 于 零 时，z=x,有 1 0 Xdu.dv dv.du它 们 分 别 为&+1小 力 sydu,瓦 dvaydu _ dvdy dx 满 足 C-R条 件.当 z 沿 y=x趋 向 于 零 时，有 lim/(x+i x)-/()O=l i m?(l+i)-/(l-i)=_W TO X+L Xx=y-2x(1+i)1+i.缥 益 不 存 在.即 f(z)在 z=O处 不 可 导.1 1.设 区 域 D 位 于 上 半 平 面，D 1是 D 关 于 x 轴 的 对 称 区 域,若 f(z)在 区 域 D 内 解 析，求 证 F(力=用 在 区 域 D 1
24、内 解 析.证 明：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),因 为 f(z)在 区 域 D 内 解 析.所 以 u(x,y),v(x,y)在 D 内 可 微 且 满 足 C-R 方 程，即 du _dv du _ dvdx dy dy dx/G)=(x,-y)-iv(x,-y)=0(x,y)+i-(x,y),得 d(p _du(x,-y)丝=_&,(x,-y)dx dx dy dyd i/_-5v(x,-y)dy_ _ gv(x,-y)_ dv(x,-y)8x dx 8 8 6故(p(x,y),|/(x,y)在 D I内 可 微 且 d(p _ d i/d(p _ dy/满 足 C-R条
25、件&一 为 一&1 3.计 算 下 列 各 值(1)e2+i=e2-ei=e2-(cosl+isinl)(2)苫=el=/.欧-加 词 T 卜 屋(3)Re(声)-R e 6.e-)=R cfe 2+y2-cosf?1+isin f(4)知+叫=别.上 市+叫=|e-2，.e-2w|=e%14.设 z 沿 通 过 原 点 的 放 射 线 趋 于 8 点，试 讨 论 f(z)=z+ez的 极 限.解：令 z=rei0,对 于 vO,z 8 时，8.故 lim(川 0+/)=lim(re，+e“c n*=8f f 所 以 a)=8.15.计 算 下 列 各 值.(1)ln(-24-3i)=lnVf
26、3+3i)=lnV154-i-(2)从 而 了 在 D 1内 解 析(3)ln(ei)=ln 1+iarg(ei)=ln 1+i=i(4)I Tln(ie)=lne+iarg(ie)=1+i1 6.试 讨 论 函 数 f(z)=lzl+lnz的 连 续 性 与 可 导 性.解：显 然 g(z)=lzl在 复 平 面 上 连 续，In z除 负 实 轴 及 原 点 外 处 处 连 续.设 z=x+iy,g(z)=1 zl=yjx2+y2=(x,y)+iv(x,y)w(x,y)=Jx2+y 2,v(x,y)=0 在 复 平 面 内 可 微.dx dy故 g(z)=lzl在 复 平 面 上 处 处
27、不 可 导.从 而 f(x)=lzl+lnz在 复 平 面 上 处 处 不 可 导.f(z)在 复 平 面 除 原 点 及 负 实 轴 外 处 处 连 续.1 7.计 算 下 列 各 值.(1)(1+i)i=eln(l+i)-1=el-i).In(l+i)=6-,7 5+2*)=e&+肾 一 l n+2A4 4njl+-+2k=e 4.”+_=4,(2)cos 兀 兀 Ii n14cos 兀 兀 Ii n14(一 3)石=/I 卢=e杼 g)=e 岛 京 m+A 戊 哽*/W-+*V-J,L T=e旧 叫 015s(蝠 磁 J 1+=3-(ca3(2 siii2(l4i)ln(4)_2e k(
28、)/)(k+)也 42=e兀 兀.cos+i sin418.(1)计 算 下 列 各 值 i)=J y2-e5+e5(-l)-e-5(2)2 2e5i(l-5i)_-i(l-5 i)s in(l-5 i)=-2i In4 In42e5+e_5,_-=-c h 52ei+5-e-i-52ie5(cosl+isin l)-e-5-(cosl-is in l)2ie5+e-5.1.e5+e-5 1-sin 1-1-cos 12 2(4)i(3-i)_-i(3-i)sin(3-i)_ 2i _ sin6-isin2cos(3-i广 苫 4 声 2 i 兀.n解：于 即(4)z-l n(l+i)-0解
29、1/-|sin z|2=(e-v+x,-eyx,)=|sin x ch y+i cos x-sh y=sin2 x-ch2 y+cos2 x sh2 y=sin2 x-(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2x)-sh2 y=sin2x+sh2 yz-ln(l+i)Kin扁 a./2=+(k+-/1 2 0.若 z=x+iy,求 证(5)arcsini=-iIn(i+71-i2)=-iln(l V2)-iln(V i+l)+i2*,=K=0,l,-i|_ln(近 产 l)+i(+k)(6)arctan(1+2i)=-I n=-I n f-+-112 l-i(l+2i)2 I 5
30、5 J=E ar4an 2 4nM2 41 9.求 解 下 列 方 程(1)sinz=2.解：z=arcsin 2=-ln(2i 百 i)=-l n(2 V3)ii=-i 1 11(况+(2/+|(1)sinz=sinxchy+icosx-shy证 明:e z _ e-iz(x+iy)_ e-(.v+4)isin z=-=-2i 2iq.5 M-e f)=sin x-ch y+icosx.sh y(2)cosz=cosx-chy-isinx-shy证 明:cos z=e L=1.i)+eT*+)2 2=le+e；2=(e-y-(cosx+isinx)+ev.(c o s x-is in冗)2e
31、-+e-?-.c o sx-.-e-+eisinx.-2 L=cosx.ch y-i sin x.sh y2(3)lsinzl2=sin2x+sh2y(2)e;-l-V 3 i=0解：e;=1+V3i 即 z=ln(l+百)rtln 2+iZ+2k3=11121t(2k+g)(3)Inz=i2证 明:sinz=(e-v+A 1-eyx l)=sinx-chy+icosx sh y2iIsinzF=sin2 xch2 y+cos2 x.sh2 y=sin2 x(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2 x)sh2 y=sin2 x+sh2 y(4)lcoszl2=cos2x+sh2y
32、证 明:cosz=cos jcch y-i sin xsh y|cosz=cos2 x.ch2 y+sin2 x.sh2 y=cos2 x(ch2 y-s h2 y)+(cos2 x+sin2 x).sh2 y=cos2 jr+sh2 y21.证 明 当 yf 8 时，kin(x+iy)l和 lcos(x+iy)l都 趋 于 无 穷 大.证 明：sin z=(ei;-e-记)=心 海-e)2i 2i|sinzl=L|e e“-e T|2|e F=e 而 Isin zl g(&F-I L I)=g-e)当 y+8 时，e-y 0,ey+8 有 kinzl-8.当 y-*_8时，e-y+8,eyf
33、 0 有 Isinzi 8.同 理 得|cos(x+iy)|=g|e-”-e)所 以 当 y f 0 0时 有 Icoszl-8.习 题 三 1.计 算 积 分 卜 7 H，其 中 C 为 从 原 点 到 点 1+i的 直 线 段.解 设 直 线 段 的 方 程 为 k，则 z=x+ix.0 xl故+比 2比=(x y+及 2 卜(x+2c=+=+=;(l+i)=一 2.计 算 积 分 卜 田 出，其 中 积 分 路 径 C 为(1)从 点。到 点 1+i的 直 线 段；(2)沿 抛 物 线 y=x2,从 点 0 到 点 1+i的 弧 段.解(1)设%=%+&.0 xlJ(1 一 彳)=(1-
34、X+ZX)6/(X4-/X)=Zc(2)设 Z=X+&2.0 xl=l-x+ix2jd(x+ix2)=c 33.计 算 积 分;其 中 积 分 路 径 c 为(1)从 点-i到 点 i的 直 线 段；(2)沿 单 位 圆 周 lzl=l的 左 半 圆 周，从 点-i到 点 i；(3)沿 单 位 圆 周 lzl=l的 右 半 圆 周，从 点-i到 点 i.解 设-1-y-1上 比=ydiy=i ydyc3 7 1(2)设。从 万 到 5上 阿=j|Id*=i 宜 deie=2iC 2 23乃 7 1(3)设 z=.。从 5 到 2忡 Z=宜 1心 泪=2C 26.计 算 积 分 口 同 2 皿
35、次,其 中 C 卜|=。.解(|z|-ez-sinz)t/z=|z|Jz-ez-sin zdzesinz在 口=。所 围 的 区 域 内 解 析-sinzdz=0从 而 L(|z|-eJsinzz=即 z=adae1 0=a2i eiOd0=Of-dz7.计 算 积 分 儿(/+1),其 中 积 分 路 径 c为(1)。住 毒(2),睛(3)c3:1+d=J(4)解(1)在 所 围 的 区 域 内，冠 而 只 有 一 个 奇 点 z=0.f 7-dz=f(-=2T T I-0-0=2/Z(Z2+1)J。Z 2 z-i 2 z+i(2)在 J所 围 的 区 域 内 包 含 三 个 奇 点 z=0
36、，z=，.故 f；dz=f(-y/z=2m-ni-m=0JCz(z2+l)Jq z 2 z-i 2 z+i(3)在 J所 围 的 区 域 内 包 含 一 个 奇 点 z=T,故 f 7-dz=f(-Mz=0-0-/=一 市 Jcz(z2+1)、Z 2 Z-i 2 Z+i(4)在。，所 围 的 区 域 内 包 含 两 个 奇 点，故 10.利 用 牛 顿-莱 布 尼 兹 公 式 计 算 下 列 积 分.(1)飞 文(2)1 汝(3)(2+泛)淡 nln(+l)(4)(5)卜 M r 1+tan z.解(1)+2，cos|jz=|sin|r 2=2Ml(2)二 厂&=一 靖 匕 产-2(3)(2+
37、fz)2dz=；f(2+iz)%(2+iz)=：；(2+iz)|；=-y+1(4)|ln(c+IX/In(z+l)=ln2(z+l)|,=-(y+3 ln22)(5)z-sin zdz=-，d cosz=-zco s f coszdz=sin 1-cosl(6)J:f 4dz=J sec2 zdz+sec2 z tan zdz=tanz|；+y tan2 z|j=一(tanl+gtan?l+1 1.计 算 积 分 1 其 中。为(1)lzT=i(2)&=1(3)Id=2解-4-dz=-dz=2兀 i I.=TreJc z2+l Jc(z+i)(z-i)z+i(2)f r-dz=-dz=.=-n
38、 e ic z2+l k(z+i)(z-i)z-i z-(3)，士 7-y jt/z+一；产=展-冗 e=27risin 11 6.求 下 列 积 分 的 值，其 中 积 分 路 径 C 均 为 lzl=l.(1)导(2)导“(3)解(1)(3),Ztan Jfc-=2-/(tan z)一=兀 i sec2(Z-Z0)2-21 7.计 算 积 分 L(z-J(z+I产，其 中 积 分 路 径 c为 中 心 位 于 点 g,半 径 为 2 的 正 向 圆 周(2)中 心 位 于 点 半 径 为 的 正 向 圆 周(2)。内 包 含 了 奇 点 一 1L（z-i）；z+i严=第（直 巧 j=-v1
39、 9.验 证 下 列 函 数 为 调 和 函 数.(1)69=x3-6 x2y-3 x y2+2y3;(2)69=er cos y+1+z(er sin y+1).解(1)设+2u=03 2 2u=x-6x y-3xy+2y=3x2-lx y-3 y2 9u=-or x 2-6x 孙+6x y 2Sy祟=6 1 2 1-6 x+12y从 而 有 d2u d2u获+讲 满 足 拉 普 拉 斯 方 程,从 而 是 调 和 函 数.设 卬=+iuu=ex cosy+1u=e sin y+1du/.Sxex-cosydu=-e sin yE=-co sySx2)为 2-ex cos y从 而 有%+吗
40、=0dx dy,u满 足 拉 普 拉 斯 方 程,从 而 是 调 和 函 数.Qo du x=e siny=-cosydx 办 d2U d2U.rr u e J s in y y=-siny-edx2 6y-d2u d2u _ 0凉+豕，。满 足 拉 普 拉 斯 方 程,从 而 是 调 和 函 数.U-20.证 明:函 数”人/，犬+V 都 是 调 和 函 数,但/=+2不 是 解 析 函 数 证 明：包=2x=-2 y 粤=2 普=-2dx 办 dx2 办 电+独=0 云 之，从 而“是 调 和 函 数.du _ _ y2-x2dx(x2+y2)2du _-2xy y(x2+y2)2d2u
41、_-6盯 2+2x3 d2v _ 6孙 2 2/dx2(x2+y2)3 dy(x2+y2)3丸+独=0J#，从 而。是 调 和 函 数.du du du du,w w-彳 日 dx 办 dy dx 不 满 足 C-R 方 程，从 而/=，+，。不 是 解 析 函 数.22.由 下 列 各 已 知 调 和 函 数，求 解 析 函 数/2 2u=x y+xy“=-9 7 3,/(D=odu du解 因 为 在 A 片 不 du _ du=2 y+x=-dy dx所 以 D=阚-飘+融+。=d；)Q L+(2 x+丫)公+C=6+E(2x+y)dy+C=-2.+C2 2f(z)=x2-y2+xy+i
42、(-+-+2xy+C)令 y=0,上 式 变 为/(X)=X2-i(y+C)从 而 2?/(Z)=?-i-+iCdu _ 2xy du _ x2-y2(2)5X U2+y2)2 Sy(x2+y2)2用 线 积 分 法，取(xO,yO)为(1,0),有 y/(z)2x+yX5 了 丁 1+。)由/=。，得 c=o-123.设 P(Z)=(Z-q)(Z-2)Q-4),其 中 呐=12、)各 不 相 同,闭 路 C不 通 过，4，4,证 明 积 分 i2兀 f 3 P z等 于 位 于 C 内 的 p(z)的 零 点 的 个 数.证 明：不 妨 设 闭 路 C 内 P(z)的 零 点 的 个 数 为
43、 k,其 零 点 分 别 24.试 证 明 下 述 定 理(无 界 区 域 的 柯 西 积 分 公 式)：设 f(z)在 闭 路 C 及 其 外 部 区 域 D 内 解 析，且 粤 Z)=A X 8,则 _!_空 2 卜/+A，Z D，2兀 ijj-z A,zwG.其 中 G 为 C 所 围 内 部 区 域.证 明：在 D 内 任 取 一 点 Z,并 取 充 分 大 的 R,作 圆 CR:l z l=E,将 C 与 Z 包 含 在 内 则 f(z)在 以 C 及。为 边 界 的 区 域 内 解 析，依 柯 西 积 分 公 式，有/42.下 列 复 数 项 级 数 是 否 收 敛,是 绝 对 收
44、 敛 还 是 条 件 收 敛？因 为 N 二 丁 在。R上 解 析，且 程,二 7 二!史 G 二=期 7）=1?所 以，当 Z 在 C 外 部 时，有/(z)=A _”2711 严“=i nin=l(2)(”=l(4)00;y Mln(cosi n yi=0 乙 吸 解 1即 2疝 白 人=/(z)+Ac q-z l+i 2 T=i n己 1+(1)，2 a ia n n设 Z 在 C 内,则 f（z）=O,即 因 为 发 散，所 以 学 斗 n=n=j 发 散 故 有：茄 1/7=A00 Z“=1l+5i2 哼）发 散“=1 乙 习 题 四 又 因 为 则（号）=理+”01.复 级 数 包
45、，与 工，都 发 散，则 n=l n=l所 以 乙 等）发 散 n=l 乙 级 数&娟 和/也 发 散 这 个 n=l”1命 题 是 否 成 立?为 什 么？答.不 一 定.反 例：（学 2三 L1 小 1 弋 学 2（二 1十 71友 份 散 面 但 濠）空/收 敛 n=l=1 匚=”发 散，又 因 为 n=l n=1in 7 1 7 1.8 Q G ZTTE 8 COS+1 S in 8=Z*o s-+isin-)收=i=i n=i n n n敛,所 以 不 绝 对 收 敛.oo*n o o 1，篇 n=l n=n n8 o o 9，I、i k Z rZ a i)=2 发 散”=1 n=因
46、 为.白 以 也 可 一 心+与 收 敛.n=l M=1 所 以 级 数 不 绝 对 收 敛.又 因 为 当 n=2 k 时，级 数 化 为（一 1）*收 敛 J In 2 k当 n=2 k+l 时，级 数 化 为 宁（T）,也 收 敛 l n（2k+l）所 以 原 级 数 条 件 收 敛（5）（cosi 一 e+e-n l（e 1（1乙 一 二=港.一；-=2（弓）+口（五）=0/=o/乙 乙，】=o/乙“=o/e其 中 力 9”发 散,（户 收 敛”=0 2=0 幺。所 以 原 级 数 发 散.3.证 明：若 R e&）N 0,且 f1al i和 力,：n=l n=l收 敛,则 级 数%,
47、2绝 对 收 敛.n=l证 明：设 a.=%+i y”,a：=（x+i y,产=片 一 才+2xnyn i因 为 以“和 命 收 敛 n=l n=l所 以 fx,，S（x,f）2,之 X J,收 n=l w=l n=l H=I敛 又 因 为 Re3“）N0,所 以 Z 2 0且.七=lim x：=0 f e e/I-0 0当 n 充 分 大 时，dx.所 以 反 片 收 敛 n=IM J=x：+y；=2x；-（x；-y；）而 收 敛，区-娟 收 敛 n=l n=l所 以 为 d 收 敛，从 而 级 数 n=lf%2 绝 对 收 敛.=14.讨 论 级 数 名 厂）的 敛 散 性 n=0解 因
48、为 部 分 和 s,=t-，=*一,所 以，=0当 即 1当 那 修，s“一 0,当 相，s”不 存 在.当 z=e 冶 而 0 时（即|z|=l,zwl）,c o s n 9 和 s i n n 9 都 没 有 极 限,所 以 也 不 收 敛.当 M 时，5.-8.故 当 z=1和|z|1时，E 3 向-Z）收=0敛.5.基 级 数 G C-2）“能 否 在 z=0n=0处 收 敛 而 在 Z二 3 处 发 散.解：设 1如%=夕，则 当|z-2|一 时，级 数 收 敛，卜-2|5 时 发 散.若 在 Z=0处 收 敛,则 卜 2若 在 z二 3 处 发 散，贝 哈 1显 然 矛 盾，所 以
49、 幕 级 数 c.(z-2)不 能 在 z=0处 收 敛 而=0在 Z二 3 处 发 散 6.下 列 说 法 是 否 正 确?为 什 么？每 一 个 幕 级 数 在 它 的 收 敛 圆 周 上 处 处 收 敛.(2)每 一 个 塞 级 数 的 和 函 数 在 它 的 收 敛 圆 内 可 能 有 奇 点.答：(1)不 正 确，因 为 幕 级 数 在 它 的 收 敛 圆 周 上 可 能 收 敛,也 可 能 发 散.(2)不 正 确，因 为 收 敛 的 基 级 数 的 和 函 数 在 收 敛 圆 周 内 是 解 析 的.7.若 的 收 敛 半 径 为 R,求 n=0的 收 敛 半 径。M=0 0解：
50、因 为 所 以 R=R 网 8.证 明：若 基 级 数 犷 的 系=0数 满 足 史 师=夕，则 当。P+8 时，R=-P(2)当 展。时，RF(3)当 P=+时，R=。证 明：考 虑 正 项 级 数|z,1|=|al”=()z|+|a2z2|+.+|az,1|+.由 于 照 也 7J=!吧 廊.而=PM|,若 o。+8,由 正 项 级 数 的 根 值 判 别 法 知，当。i时，即 I法 工 时,P斗,刈 收 敛。当。时，即”=0|z|时,W z T不 能 趋 于 零，阳 耐 i级 数 发 散.故 收 敛 半 径 P.当 0=0时，0上|1,级 数 收 敛 且 R=+8 若。=+%对 也。0,