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1、资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。习题三1. 计算积分,其中C为从原点到点1+i的直线段.解 设直线段的方程为,则. 故 2. 计算积分, 其中积分路径C为(1) 从点0到点1+i的直线段;(2) 沿抛物线y=x2, 从点0到点1+i的弧段.解 (1)设. (2)设. 3. 计算积分, 其中积分路径C为(1) 从点-i到点i的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周, 从点-i到点i;(3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周, 从点-i到点i.解 (1)设. (2)设. 从到(3) 设. 从到6. 计算积分,其中为.解 在所围的区域内解析从而故7. 计算积分,其
2、中积分路径为( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 解: ( 1) 在所围的区域内, 只有一个奇点.( 2) 在所围的区域内包含三个奇点.故( 3) 在所围的区域内包含一个奇点,故( 4) 在所围的区域内包含两个奇点,故10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 计算积分,其中为(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的
3、正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周解: (1) 内包含了奇点(2) 内包含了奇点,19. 验证下列函数为调和函数.解(1) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设, 从而有,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. ,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数,都是调和函数,但不是解析函数证明: ,从而是调和函数. ,从而是调和函数.但 不满足C-R方程,从而不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数(1) (2)解 (1)因为 因此 令y=0,上式变为从而(2) 用线积分法, 取( x0,y0) 为(1,0), 有由, 得C=023.设,其中各不相同, 闭路C不经过,证明积分等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明: 不妨设闭路C内的零点的个数为k, 其零点分别为24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析, 且, 则其中G为C所围内部区域.证明: 在D内任取一点Z, 并取充分大的R, 作圆CR: , 将C与Z包含在内则f(z)在以C及为边界的区域内解析, 依柯西积分公式, 有因为 在上解析, 且因此, 当Z在C外部时, 有即设Z在C内, 则f(z)=0, 即故有: