解析几何教程习题答案.pdf-淘文阁

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1、第一章向量代数习题 1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量 4,5,C成立(a+b)+c=a+(b+c).证明：作向量丽=。,就=，丽=c(如下图)，则(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+(BC+CD)=XB+BD=AD,故(a+b)+c=a+(+c).2.设 a,),c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 a+Z+c=O.证明：必要性，设 a,b,c的终点与始点相连而成

2、一个三角形 AA5C,则 a+b+c=Z+前+西=/+瓦=兀 5=0.充分性，作向量无=a,前=方,而=。，由于 O=a+Z+c=4豆+丽+丽=*+函=而，所以点 4 与 O 重合，即三向量 a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形 A 4 3 C 三边 AB,3C,C4的中点分别是(如下图)，并且记 a=AB,b=BC,c=CA,则根据书中例 1.1.1,三条中线表示的向量分别是

3、CD=-(c-b),A E=-(a-c),B F=-(b-a),2 2 2所以，CD+AE+BF=-(c-b)+-(a-c)+-(b-a)=O 故由上题结论得三角形 2 2 2的三中线 CD,AE,3尸可以构成一个三角形。4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。证明：如下图，梯形 4 B C 0 两腰中点分别为 E,尸，记向量瓦=。，兀 1则而=而向量力心与荏共线且同向,所以存在实数 20,使得 DC=

4、A,AB,现在户豆=8+a,正=b+4a,由于 E 是 5。的中点，所以施=(5+而)=(。+“+2 6)=(1+；1)=,(1+4)4瓦且 2 2 2 2阿卜;(1+网=；(|祠+2 网)=|(|AB|+|D C|).故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。5.试证命题 1.1.2o证明：必要性，设 a,b,c共面，如果其中有两个是共线的，比如是”,万，则 a,线性相关，从而 a,A,c线性相关。现在设 a,A,c两两不共线，则向量 c 可

5、以在两个向量。,6上的进行分解，即作以 c 为对角线，邻边平行于 a,万的平行四边形，则存在实数九使得 c=Xa+p,b,因而 a,%,c线性相关。充分性，设 a,b,c线性相关,则存在不全为零的数无”感#3,使得号 a+/b+k3c=0。不妨设心，0,则向量 c 可以表示为向量 a,方的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量 c平行于由向量 Q,方决定的平面，故 a,c 共面。6.设 A,5

6、,C是不共线的三点，它们决定-平面口，贝晾 P 在 n 上的充要条件是存在唯一的数组(九/)使得 OP=AOA+uOB+vOC,.i,(*)%+=1,其中，O 是任意一点。尸在 A 45C内的充要条件是(*)与 4 2 0,2 0比 2 0 同时成立。证明：必要性，作如下示意图，连接 A P并延长交直线 3 c 于 R。则由三点 5,R,C 共线，存在唯一的数组 A1,&使得砺=&1而+&2万，并且&+&=1。由三点 4,P,R 共线，存在唯一的

7、数组乙耳使得而=1|况+6 砺，并且 Z.+Z2=l O 于是 OP=lidA+l1dR=lxdA+lJiidB+l1k1dC,设 2=Z,/z=v=l2k2,由 kk2,ZPZ2 的唯一性知道的唯一性,则 OP=AOA+/1OB+vOC9 且 P+i=4+12kl+12k2=O充分性，由已知条件有 OP=W A+juOB+vOC=W A+piOB+(1-2-)OC=2(0 4 OC)+(。8。)+。=A,CA+nCB+,得到 CP=ACA+C B，因而向量次，而，而共面，即尸在 4,3,C 决定的平面上。如果 P

8、在 A 43C内，则 P 在线段 AR内，R在线段 5 c 内，于是 0W占，七，6 2 1，则 0 4 九,y 4 1。姆（*）成立且 0 4 丸，4，裂 4 1,贝狗丽=丸瓦+而，这说明点尸在角 NAC3内。同样可得到衣=4瓶+肥/，这说明点 P 在角 N A 4 c内。故尸在 A A 5 c内。7.在 AA5C中，点 0,E 分别在边 5 C 与 C 4上，且 3 0=gBC,CE=g c 4,A O 与 B E交于 R,试证 RD=：AD,RE=：BE.证明：作如下示意图，由三点 b,R,E共线，存在

9、化使得丽=而+（1-口面，由三点 A,R,O共线，存在/使得 CR=lCA+（l-l）CD,由于 BD=3BC,CE=g c A,有丽=而，丽=痴，因而而=无而+（I-A）=/瓦+（1/）而.由于 2 1 4 1向量 C4,CB不共线，所以左=（1 一。/=（1一左），解此方程组得友=7,，=亍。由一 4 一 3 _此得 CR=CB+CE,7 7 4 3 4 4 ER=CR-CE=-C B+-C E-C E=-（C B-C E）=-E B.同理得到万斤=L万 5。故得 RO=1 AD,RE=-B E.7 7 78.用向

10、量法证明 AABC的三条中线交于一点 P,并且对任意一点。有 OP=(OA+OB+OC).证明：设。,E,尸分别是边 AB,8C,CA的中点，则交于一点 P,连接 CP,CD o 由 A,P,E三点共线，存在人使而=无丽+(1 4)丽=,无瓦+(1 幻丽，2由 8,P/三点共线，存在/使舁后+(1 1)通=工/而+(1 1)而，于是得 21 1 2 1 1 一-k=l-l,-l=l-k,解得 k=l=-。从而有 CP=C8+C4,然而 2 2 3 3 3_ _ _ _ _ 2 _ _丽=一而

11、+出，故而=函，即 C,P,O三点共线，A 4 5 c的三条中线交于一点 2 2 3P。任取一点 0,由丽=1 而+1 诬，得 I J O P-O C=-(d B-O C)+-(d A-O C),3 3 3 3于是丽=；(而+而+反).9.用向量法证明四面体 A5CO的对棱中点连线交于点 P,且对任意一点。有 OP=1(9A+OB+OC+OD).证明：设四面体 A5CO的棱的中点分别是棱 3C,CD,O B的中点分别是 E,J F,G,如下图。则对棱中点连线为 5

12、 2,C G,0 E。ADDrC则容易知道迹=白 3*=/巧，C D=-C D=E G,因此四边形 CDGE是平行 2 2四边形，CG,OE相交且交点是各线段的中点。同理 3 尸,CG也相交于各线段的中点，故 5F,C G,O E 交于一点 P。由以上结论知道，对任意一点 0,由 P 是 D E的中点，有 0=-(0+0)=-(-0+-0 1)+-0+-0 8),2 2 2 2 2 2即而=；(丽+。石+丽+OD).10.设 A,.(i=l,2,是正边形的顶点，0 是它的中心

13、，试证力西=0.1=1n _ _ 2jr证明：设 a=E 两，将正边形绕着中心旋转上。一方面向量 a绕点 0 旋转了角度至 n而得到一个新的向量 T；另一方面，正边形绕着中心旋转一后与原正边形重合，因而 n向量 a 没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故为西=0.i=l证法 2：由于 A(i=l,2,)是正边形的顶点，0 是它的中心，所以 OAi+O A=kOA(i=l,2,-,n),其中凡=4 退=4。由三

14、角不等式得到|西+西=阳|西|可|+|西口=2|西二|(i=l,2,)，故有阳 2。所以(西+可)=2力西=A力西，由于|川 2,所以力阂=0.=1=1 i=l i=l11.试证：三点 A,3,C 共线的充要条件是存在不全为零的实数;使得AOA+p,OB+vOC=0 且；l+v=O其中，o 是任意取定的一点。证明：必要性，如果三点 4,3,C 中至少有两点重合，比如 4,5 重合，则而豆=0,所以结论成立。如果 A,8,C互不重合，由例 1.1.1知道

15、三点 A,B,C共线的充要条件是存在数左使得儿函+(1-4)。石一近=0,令 4=%,=1 左中=一 1,则;出不全为零，有 AOA+(1OB+vOC=0,4+v=A+(l-A)1=0。充分性，设；I西+砺+v反=0且;l+M+v=0,贝 I J4丽+如一(丸+)诙=0,A(OA-OC)+ju(OB-OC)=ACA+pCB=0,由于 4,产不全为零，以及点。的任意性，可知;不全为零，否则 v 也为零。所以不妨设 2*0,则丽=-4 T 而，因而三点 4,3,C共线。习题 1.21.给定

16、直角坐标系，设尸(x,y,z),求 P 分别关于 xOy平面，x 轴与原点的对称点的坐标。解：在直角坐标系下，点 P(x,y,z)关于 xOy乎面，x 轴与原点的对称点的坐标分别是 2.设平行四边形 4 B C 0的对角线交于点 P,设万法=9 万瓦丽=：瓦.在仿射标架 A;而，而下，求点 P,M,N 的坐标以及向量赤的坐标。解：作如下示意图，因为 P 是。B 中点，所以衣=,荏+而.2 2AM=DM+AD=-D B+A b=-(A

17、B-AD)+AD=-A B+-A D.5 5 5 5丽=|衣=，（彳万+而）.故在仿射标架 A;Z瓦 A万下点 P,M,N 的坐标分别.4 1、4 4、5 5、为弓,5),!，?，(%*),=MD+DC+CN=-B D+A B-A C5 6=4(A-AjB)+A fi-(A+AZ)=Afi+AD,5 6 30 30所以向量 w v 在仿射标架 A；彳瓦叫下的坐标为啥,今 3.设。=(1,5,2),=(0,3,4),。=(一 2,3,1),求下列向量的坐标：(1)2a b+c；(2)-3a+2b+4c解(1)2 a-b+c=2

18、(1,5,2)-(0,-3,4)+(-2,3,-1)=(0,16,-1).(2)-3a+2b+4c=-3(1,5,2)+2(0,-3,4)+4(-2,3,-1)=(-11,-9,-2).4.判断下列各组的三个向量 a,A,c是否共面？能否将 c 表示成 a,5 的线性组合？若能表示，则写出表示式。a=(5,2,1),Z=(一 1,4,2),c=(-1,-1,5);(2)a-(6,4,2),=(-9,6,3),c=(-3,6,3);(3)a(1,2,3),6=(-2,-4,6),c=(1,0,5).解：(1)设占 4+(2)+左 3。=

19、0,即号(5,2,1)+&(-1,4,2)+43(1,一 1,5)=0,则有 5ki-k2 k3=0,2%+4七一号=0,该方程组只有零解占=&=仁=0,所以三向量不共面。k、+2k 2+5A：=0.(2)设 kla+k2b+k3c=0,即&(6,4,2)+七(一 9,6,3)+上 3(3,6,3)=0,则有6k-9k2-3 卜 3=0,4kl+6k2+6k3=0,2kl+3k2+3k 3=0.该方程组等价于 3k2 一 43=0,2kl+3k2+3k 3=0.由此得到 1 2k、=一一 k,k2=一一心，只要砥不为零，

20、匕,也就不为零，所以三向量共面。取七=1，则自=,七=2,所以 c=！a+2 即 c 可表示成 a,b的线性组合。2 3 2 3(3)设 k+k2b+k3c=即 kx(1,2,-3)+k2(-2,-4,6)+k3(1,0,5)=0,则有占-2A2+右=。，（,“2%一软 2=0,该方程组等价 kt 于 2k2）=0,方程组有非零解（2,1,0）,限 k=0-3%+6k z+5&=0.3三向量共面。由于勺只能为零，故 c 不能表示成的线性组合。5.在 AA5C中，设 O,E是边 5。的三

21、等分点，试用彳万和衣表出而与亚。6.设在一平面 n 上取一个仿射标架。；4*2，口上三点耳.（七,以）1=1,2,3,共线当占 J,1且仅当 x2 y2 1=0.X3%1证明：三点（天，必）,=1,2,3,共线当且仅当月月 A R,即玉二土=2二左.展与一片 y3 f开得 X J2+*2%+*3%一*1%-X3y2-*2%=-再 Jl 1x2 y2 1=0 展开行列式得 xry2+x2y3+x3j,-xxy3-x3y2-x2yl=0.故命题成 y3 1立。7.在 A 43C中，设

22、 P,?,R 分别是直线 AB,3C,CA上的点，并且 AP=AJPB,BQ=pQCCR=vRA.证明 P,Q,R共线当且仅当 44V=-1.证明：作如下示意图，Q由于 P,Q,R分别是直线 A 3,3C,C 4上的定比分点，所以;建仿 _ _ 0射标架卜;彳瓦/,由于 AP=APB=A,(AB-AP),AP=PB=-A B；AR AC-RC=AC-vA R,AR=AC:1+vBQiQC=BC+CQ,QC=-BC,1+4AQ=AC+CQ=AC+-CB=AC+-(A B-A C)=-AB+-A C。1+ju 1+M l+1+

23、所以 P,2,R 在仿射标架 A；N瓦恁下的坐标分别为尸(/，(。(一，”-卜刈。,一)。根据上题的结论，尸,2,R 共线当且仅当 1+2 1+1+1+v二-1=0.展开行列式即得到沏 v=-l.1+1+0-11+v9.试证命题 1.2.1 o证明：取定标架。*”出,4，设向量 Q=31，。2，。3)，=(4，2，3).(1)a+b=(a1el+a2e2+a3e3)+(biei+b2e2+b3e3)=(ax+&)G+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3=(a+4，勺+%，+3)(2)a b=(aiei+a2

25、)。6解：(34+28)(24 5/)=6同 2 10网 2 114 b=5 4-4 0-1 1 2 3cos-=14-3373.63.已知 a+36与 7。一 5b垂直，a 4b与 7 a-2 b垂直，求 N 3,6)。解：因为 a+3b与 7 5b垂直，。一 4b与 7 a 26垂直，所以(a+3b)(7d-5/)=7|2-15|Z|2+16 6=0,|2+|-Z|2=2,+2时.当 a 与力不共线时，说明此等式的几何意义。证明：+好+|a-b=(a+b)(a+b)+(a-b)(a-b)=|-+|Z|+2a Z+|a|+|i|-2a b=2a+2

26、|Z|2.当 a j b 不共线时，此等式的几何意义是以 a 与 8 为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上把 a a 记为 a2）.(1)aa=a2;(2)a(b b)=ab2;(3)a(a b)=a2b;(4)(a b)2=a2b2;(5)(a b)c=a(b c);(6)c Q=c),c w O n a解(1)错误，因为左边表示向量，右边是数。(2)正确，因为=从。(3)错误，因为左边向量力

27、)与。共线，而右边向量 a?。与力共线。(4)错误，因为(。力)2=4 2力 2。0/3,)工“2 2。(5)错误，因为左边向量(。加。与 c共线，而右边向量 a(Ac)与 a 共线。(6)错误，因为 c a=c b,c工 O=c(a5)=0=c与 a 力垂直。6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。证明：设三角形 A 4 5 C 的两条边的垂直平分线交于一点 O,D,E,F 为 4&5 C,C A 边的中点,以。为始点,为 B

28、,5,C,0,E/终点的向量记为。，为 c,d,ej。1 1 1 _ _ _则 d=(a+),e=S+c),/=(c+a),A B=b a,BC=c b,CA=a c.2 2 2由于。D,OE 是 A 3,3 C 的垂直平分线，所以 AB d=-(b2-a2)=0,BC e=-(c2-b2)=0,a2=c2=b2,由此得到 2 2瓦/=c2)=o,说明。尸是 C 4 的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点,2且交点到三顶点的距离相等。7.证明：设,),c不共面，如果向量，满足 r a

29、-O,r b=,r c=0,则 r=0。证明：因为 Q,，C 不共面，所以可设，=xa+y+zc。则 r r=r(x 研 y)+zc)=x ra+yr b+zr。=0,故 r=0。8.用几何方法证明：若 a y 4，皿；，；。，。?，。都是实数，则有&；+6+c；+M+b；+c：+M+b：+c；N+。2-ba)2+(4+52-卜 b)2+(C+C2 H-C)2 等号成立的充分必要条件是 a,:bt:ct=a2:b2:c2=-=an:bn:cn且“1，2，”；仇,，2，)”；，1,，2,C“分别向万。证明：设在直角坐标系

30、下，向量%=(%,.,q),i=1,2,.则由三角不等式得 1%+4+%141ali+|4|+,，并且等号成立的条件是向量,=(4，4,4)/=1,2,，同向，将坐标代入就有 J a；+*+c；+M+b；+c；+.+亚+d+。；之 J(l+2*-b a j+(4+、2-*)2+(。1+。2-C)2 等号成立的充分必要条件是外：4：C=勺：与：。2=%：2：且“1，。2，“；1，与，.，)；0 1，0”分别同 F。习题 1.41.设。表示向量。在与向量力。垂直的平面上的投影，则有

31、a x)=ax)。证明：由于优表示向量。在与向量小工 0 垂直的平面上的投影(如下图)，则由力构成的平行四边形的面积与构成的矩形的面积相等，a x Z s a x b的方向相同，因而,a x b=afx b。2 证明:(a x b)2=a2b2(a b)2 o证明：(a x)2=a2b2 sin2 N(a,b),a2b2-(a b)2=a2b2-a2b2 co 3 Z(ayb)=a2b2 sin2 N(a,A)，故(a x力产=a2b2 一(a b)2 o3.证明：若 a x b=c

32、x d,a x c=x d j!i j a-d 与万一 c 共线。证明：(a-d)x S-c)=a x b-a x c-d x 5+d x c=a x Z-c x d-a x c+Zxd=O,故 a d 与 c 共线。4.证明：3-b)x(a+b)=23x/),并说明其几何意义。证明：3-Z)x(a+Z)=axa+axZ-xa-Zxb=0+axZ+a x)-0=2(xZ).以 a g 为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于 a,b 为邻边的平行四边形的面积的 2 倍。5.在直

33、角坐标系中，已知”=(2,3,-1),6=(1,-2,3),求与 a,b 都垂直，且满足如下条件之一的向量 c：(1)c 为单位向量；(2)c d=1 0,其中 d=(2,l-7).解：因为向量 c 与 a,b都垂直，所以可设 c=A a x 6,而 ei C2a x b=2 3-1=(7,-7,-7),axb=7y3.1-2 3(1)因为 c 为单位向量，所以|c|=l,即神 x*l,|4|=品=志，故 C=(1,1,1)。忑(2)由 t Z=(2,l-7),c d=10,得 2(1 4-7+49)=10,2=,于

34、是 286.用向量法证明:b(1)三角形的正弦定理一色 sin A sin 3 sinC(2)三角形面积的海伦(Heron)公式，式中=幺等色，A 为三角形的面积，其中。，c 为三角形三边的长。证明：(1)设角 A,C 对应边表示的向量为。，8 c,由向量外积的模的几何意义知道|ax/|=|ftxc|=|c x a|,于是同上 sinC=|fe|c|sin A=|c|a|sinB 2 2 2a故一 bsin A sin j?sinC(2)A2=a x b f=-

35、(a2b2-(a b)2)=-(a2b2-a V c o s2 Z(a,Z)4 4 41,，a+b 1,-c,1,1,=(a2b2-a2b2()2)=(a2b2 一一(a2+b2-c2)2)4 lab 4 4=(4 a2b2-(a2+b2-c2)2)=(2ab-a2+b2-c2)(2 a b-a2-b2+c2)=(a+b)2-c2)(c2-(a 6)2)=(+b+c)(a+b c)(c+a-b)(c-a+b)16 16=p(p-a)(p-b)(p-c)o7.证明为 8 切恒等式乂 3 乂 0)+力*(。乂 0)+0又 3 乂力)=0 o证明：由双重外积公式 ax(

36、bxc)-bx(cxa)+cx(axb)=(a c)b(a b)c+(b a)c(b c)a+(c b)a-(c a)b=0 o8.设 a w 0,0尸=x，求满足方程 a xx=b 的点 P 的轨迹。解：由外积的定义及外积模的几何意义，点尸的轨迹在与力垂直的平面上，且与过点。平行于 a 的直线的距离为的直线，而且 a,x,6保持右手系。习题 1.51.证明：(ax8)c=(xc)a=(cxa)。证明：如果 a,。,c 共面，则(ax)c=(xc)a=(cxa)力=0。如果不

37、共面,贝”(axb)c=|(Zxc)a=|(cxa)向，a也 c,A,c,a,c,a,符合相同的右手或左手规贝 ij,因而(ax力)c,(xc)a,(exa)b 有相同的符号，故(ax)c=(xc)a=(cxa)方。2.证明：a,b,c不共面当且仅当 ax0,)xc,cxa不共面。证明：fe(ax&)x(Zxc)(cxa)=(axb)cb-(axb)bc(exa)=(axb)c6(cxa)=(axb)cb(cxa)=(axb)c2,所以(ax)c=0=(ax)xSxc)(cxa)=0。故 a,b,c不共面当且仅当 ax8

38、xc,cxa不共面。3.在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为 4(1,2,0),(一 1,3,4),C(-l,-2-3),D(0-1,3),求它的体积。解：因为-2 1 4(AB,AC,AD)=-2-4-3=59,-1-3 3所以四面体 A B C D 的体积匕 BC“=1|(Afi,AC,AD)|=y.4.证明 Lagrange恒等式 a c a d(axb)(cxj)=。b c b a证明:(axb)(cxd)=a bx(cxd)=a(5d)c-(b c)da c a d=(a c)(b d)-(a d)(b c)=。b

39、 c b a5.证明：(a+,+c,c+a)=2(a,8,c)。证明：因为(a,b,d+e)=(axb)(d+e)=(axb)d+(x力)e=(a,优 d)+(,仇 e)，所以(a+5,5+c,c+a)=(a+6,5+c,c)+(a+仇力+c,a)=(a+仇儿 c)+(a+),c，c)+(a,6+c,a)+S,)+c,a)=(a+，。)+(仇)+c,a)=(a9b,c)+(b9b9c)+(b9b9a)+(b9c9a)=2(。也 c)。6.证明:(a,b,cxd)+(b,c,axd)+(c,a,bxd)=0。证明：左边=(a x)x c d+S x c)x a d+(cxa)x

40、Zd=(a c)b(b c)a+(b a)c-(c a)b+(c b)a(a b)c d=Q d=0=右边。7.证明:对任意四个向量 a,b,c,d 有(b,c,d)a+(c,a,d)b4-(a也 d)c+(b,a,c)d=0。证明:因为(b,c,d)a+(b,a,c)d=(b,c,d)a+(c,b,a)d=(bxc)da+(cxb)a)d=(ftxc)d a-(b x c a)d=(b x c)x(a x d),同理(c,%d)b+(a,b,d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b-(a,d,b)c=(a x d)x(b x c)所以 S,c,d)

41、a+(c，a,d迫+(a,%,d)c+(仇 a,c)d=(ftxc)x(a x J)+(ax J)x(ftx c)=0 o8.证明：若。与 b 不共线，则 a x(a x b)与 x(x)不共线。证明：因为。与办不共线，所以 a x力工 0.由于 0*(0乂)*(“*。)=4*3 乂 5)(4 乂)步一口乂 3 乂力)b(axb)=-a x(a x)b(axb)=(axb)xa b(axb)=(axb)(axb)(axb)二(a x)2(axb)/0,因而 a x(a x b)与。x(a x力)不共线。9.已知 a,尸都是非零实数，向量

42、。，。的混合积 3,5,。)=加，如果向量，满足 r a=a/b=/?,r c=0,求此向量 r o解：由条件得到 r(/?a a)=0,而且 r c=0,因此可设 r=4(尸 a a m xc,现在两边分别与 a 作内积，则有 a=r a=Aa(/3a-a b)xc=-a a p k，2=,t t r=(-b-a)x c ap p a1 0.设 1,62，%不共面，证明：任一向量。口 J以表示成&=+(，,3，1)。2+(，1,2)%)。(C述 2述 3)证明：因为 e,0，与不共面，所以任一向量。可

43、以表示成。=XC+y g+263。两边分别 j向量 0 2 x 63,4 x e”e】x a2作内积，得到 a,e2,ei)=x(ex,e2,ei),(a,ei,ei)=y(eve2,e3),a,eve2)=z(eve1,ei)因而=-(a,e2,e,ki+(a,e3,ei)e2+(a,ei,e2)e.).匕必勺)11.设 a,A,c不共面，设向量 r 满足 r a=a,r 方=/?,r c=7,那么有 r=-(abxc+/3cxa+ya xb)o(a,b,c)证明：因为 a,A,c不共面，所以 a x九方 x c,c x a不共面，从

44、而可设 r=x(Axc)+y(cxa)+z(axA),两边分别与 a,A,c作内积，则有 a=a r=xa(bxc),3=b r=yb(cxa),y=c r=zc(a x b),于是 r=-(abxc+ficxa+y a x b)。(a,b,c)第二章直线与平面习题 2.11.求通过两点 4(2,3,4)利 3(5,2,-1)的直线方程。解：直线的方向向量为 Z5=(3 下 1,5),所以直线的方程为专 2=上彳=32.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数

45、方程。过点(-1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；(2)过点(3,1-2)和 z轴；(3)过点(2,0,-1)和(一 1,3,4),平行于 y 轴;(4)过点(一 1,一 5,4),平行于平面 3 x-2 y+5=0。解(1)平面的方位向量为匕=(1,3 4),%=(4,所以平面的参数方程 x=-1-2+4/,y=2-3 2-/,z=4 2-5/.平面的普通方程为 x+1 y-2 Z-1-3 4=0,即 19x+Uy+13z-3=0.4-1-5(2)平面的方位向量为 v,=(3,1,-2),V2

46、=(0,0,1),所以平面的参数方程 x=3+32,j=l+2,因为过 z轴，所以也可选经过的点为(0,0,0),那么参数方程也可以 z=-2-2A+/.x=32,写为 y=丸，z=-22+平面的普通方程为 x y z3 1-2=0,即 x-3 y=0.0 0 1(3)平面的方位向量为匕=(一 3,3,5),%=(0/,0)，所以平面的参数方程 x=2 34,y=32+,z=1+52.平面的普通方程为 x-2 y z+1-3 3 5=0,即 5x+3 z-7=0.0 1 0(4)

47、平面的方位向量平行于平面 3 x-2 y+5=0,方位向量(X,Y,Z)满足 3 X-2 F=0,因此可以选为匕=(2,3,0),乙=(0,0,1)。所以平面的参数方程 x=1+24,-j=5+3A,z=4+.平面的普通方程为 x+1 y+5 z-42 3 0=0,即 3 x-2 y-7=0.0 0 13.在直角坐标系中，求通过点(1,0,-2)并与平面 III:2%+)-7-2=0和口 2：*7-7-3=0均垂直的平面方程。解：平面口|,口 2的法向量分别是所求

48、平面与口”口 2均垂直，所以它的法向量“与均垂直，因此=X 2=(2,1,-1)x(1,-1,-1)=(-2,1,-3),平面的方程为一 2(x 1)+y 3(z+2)=0,即 2x y+3z+6=0.4.在直角坐标系中，求经过点 M,(3,-l,4),Af2(l,0,-3),垂直于平面 2x+5y+z+l=0 的平面方程。解：设平面的法向量为，则它与而防垂直，它又与平面 2x+5y+z+l=0 的法向量(2,5,1),故=(一 2,1,-7)x(2,5,l)=12(3,-l,

49、l).所以所求平面的方程为 3(x 3)-(丁+1)-仁-4)=0,即 3%-了-7-6=0.5.在直角坐标系中，设平面口的方程为 Ax+8y+Cz+O=0,其中设此平面与三坐标轴分别交于 MX,M2,MS,求三角形的面积和四面体 0MlM2M3的体积。解：由于 A 5C 0W O,所以平面的三个截距分别为 2,2,2。因此四面体 A B C1 2 3 6 A B C 61ABe三角形的面积 S=/而 M x 诟局,而 M.M,x Af.Af,=,0)x(

50、,0,)=D1-，-，-1 2 1 3 A B A C BC CA AB所以 s=D2 ylA2+B2+C22 ABC6.设平面 n:A r+5 y+Cz+0=O与连接两点用（/，必/1）和 Af2（x2,j2,z2）的线段相交于点 M,且证明 AXj+By i+Czx+DAX2+By2+Cz2+D证明：因为所以由定比分点的坐标公式得到点 M 的坐标 x=%+z=红隼，将它们代入平面方程中得 1+A 1+左 1+AA 土士 a+B 必+砥+c羽+3+。=o 整理即得 1+k 1+k 1+kk _

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