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1、第一章向量代数习 题1.11.试证向量加法的结合律，即对任意向量a,Z,c成立(a+b)+c=a+(b+c).证明：作 向 量 而=a,就=方,丽=，(如下图)，则(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+CD=AD,a+(b+c)=AB+(BC+CD)=AB+BT)=AD,故(a+Z )+c=a+(8+c).2.设a,b,c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 a+Z +c=O.证 明：必 要 性，设a,b,c的 终 点 与 始 点 相 连 而 成 一 个 三 角 形AABC,则 a+5+c=AB+8C+C4=AC+C4=4 4 =0.充分性，作 向 量 通
2、=4,前：=5,而=。，由于0=4+6+0=通+丽+函=*+而=而，所 以 点4与。重 合，即三向量a,b,c的终点与始点相连构成一个三角形。3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形A 4 5 c 三边A 5,5 C,C A 的中点分别是。,E/(如下图)，并且记a=AB,b=BC,c=C A ,则 根 据 书 中 例 1.1.1,三 条 中 线 表 示 的 向 量 分 别 是所以，而+亚+而=,(c-)+1(a-c)+L s-a)=0,故由上题结论得三角形2 2 2的三中线CD,AE,5JF可以构成一个三角形。4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一
3、半。证明：如卜.图，梯形A 3 C。两腰5 G A。中点分别为E,尸，记 向 量 血=处 所=方，则 而=而向量觉 与 南 共线且同向，所以存在实数2 0,使得D C =X X B.现在而=+，而=8+&i,由于E 是5 C 的中点，所以丽=!(而+而)=1()+4+%一 切=(1 +以)0=工(1 +；1)薪.且2 2 2 2|F|=1（I+）|A B|=|（|A B|+2故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。5.试证命题1.1.2o证明：必要性，设a,Z,c共面，如果其中有两个是共线的，比如是处方，则a,b线性相关，从而a,）,c线性相关。现在设a 1,c两两不共线，则向
4、量c可以在两个向量a,5上的进行分解，即作以c为对角线，邻边平行于a,8的平行四边形，则存在实数；使得c=Aa+ib,因而a,Z,c线性相关。充分性，设a g,c线性相关，则存在不全为零的数片,&,4 3,使得外1 +右 方+。3c=0。不妨设心。0,则向量c可以表示为向量a,8的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c平行于由向量处决定的平面，故a,c共面。6.设A,8,C是不共线的三点，它们决定一平面口，则点P在n上的充要条件是存在唯一的 数 组 力 使 得OP=AOA+piOB+vOC,（*）U +u=l,其中，。是任意一点。P在A46C内的充要条件是（*）与；12 0,/2
5、0/2 0同时成立。证明：必要性，作如下示意图，连接AP并延长交直线6C于R。则 由 三 点5,R,C共 线，存 在唯一的数组 自 此 使 得 而:仁 丽+七/，并且占+七=1。由三点A,P,R共线，存 在 唯 一 的 数 组/使 得 而=4丽+4。左，并且/,+Z2=l。于 是 OP=l.OA+LOR=LOA+Lk.dB+Lk1OC,设2 =ZP/=Z2A:1,V=1*2,由 欠1冉，i，12的 唯 一 性 知 道（ZM，V）的 唯 一 性，则OP=AOA+/iOB+vOC,且 P+4+v=，i+l2k+l2k2=1 o充分性，由已知条件有OP=2OA+HOB+vOC=AOA+fiOB+(1
6、-2-)的=MOA-0C)+(。5-OC)+OC=ACA+fiCB+OC,得到CP=ACA+fiCB,因而向量。八瓦,心后共面，即尸在A,5,C决定的平面上。如果P在A45C内，则尸在线段AR内，R在线段5 c内，于是0&1，则0 4 4,/4 1。如果（*）成立且0 4丸，4，丫 =-CD=EG,因此四边形C7/GE是平行2 2四边形，CG,OE相交且交点是各线段的中点。同理5F,CG也相交于各线段的中点，散BF,CG,DE 交于一点P。山以上结论知道，对任意一点0,山尸是OE的中点，有OP=-(O iy+OE)=-(-O A +-OD+-OC+-0 B),2 2 2 2 2 2即=正+0豆
7、+丽+而).410.设A(i=是正边形的顶点，O是它的中心，试证。4=0.=1n _ _Ijr证明：设。=2两,将正边形绕着中心旋转一。一方面向量。绕点0旋转了角度一n而得到一个新的向量；另一方面，正边形绕着中心旋转上后与原正边形重合，因而n向量a没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故 西 =0.1=1证 法2：由 于A(i=l,2,)是 正 边 形 的 顶 点，。是 它 的 中 心，所以OAi+OA=kOA(i=l,2,-,n),其中=，4.=&。由三角不等式得到|河+西 二 卜 网 西;卜|瓦 用+|西 口 =2|西(i=l,2,)，故 有 同 2。所以(西 +两 二)=2之西=应
8、两，由于同 +c；(2)-3a+2b+4c。解：2a-b+c=2(1,5,2)-(0,-3,4)+(-2,3,-1)=(0,16,-1).(2)3a+2b+4c=-3(1,5,2)+2(0,3,4)+4(2,3,1)=(-11,9,2).4.判断下列各组的三个向量a,A,c是否共面？能否将c表示成a,方的线性组合？若能表示，则写出表示式。(1)a=(5,2,1)1=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);(2)a=(6,4,2),=(-9,6,3),c=(-3,6,3);(3)a=(1,2,3),。=(-2,4,6),c=(1,0,5).解:(1 )设自4+心)+右c=0,即 kt(5,2,
9、1)+Jt2(-1,4,2)+k3(-1,-1,5)=0,则有5kt-k2-k5=0,0）,2（L,4一）,R（0,二 一）。根 据 上 题 的 结 论，P,R共线当且仅当1+2 l+/z 1+4 1+v0 14 1=0.展开行列式即得到电丫=一1.1+-L 11+V9.试证命题1.2.1 o证明：取定标架 O；。”,。?，设向量Q=（。1，。2，。3），）=（，方2，）3）.（1 ）Q+力=+a2e2+。3。3）+（），1 +）2 2 +力3 3）1+A11+0=（%+瓦）+（勺+b2）e2+（a3+b3）e3=（a,+4,4+%，3 +%）（2）a-b-（。通+a2e2+a3e3）-（bx
10、ex+b2e2+b3e3）=(4 一4)+(a2-b2)e2+(3-b3)e3=(%一3。2 一%，一)(3)Aa =A(atet+a2e2+4/)=+Aa2e2+Aa3e3=(2al 9Aa292a3)。习 题1.31.设a +c =0,同=3,同=l j c|=4 ,求Q 5 +c +c a。解：由a+c =0,同=3,同=l j c|=4 ,得0=(a +b +c)(Q+b +c)=同 +时 +|c+2(a b +b c +c a)=9 +1 +1 6+2(。b +b c +c a),所以a b +b c +c a=-1 3.2.已知同=3M=2,N(a,Z l)=%,求(3 a+2)(
11、-5b).6解：(3 a +2 Z)(2 4 5)=6卜一1 0时 一1 1 4 b=54-40-1 1 2 3 c o s-=1 4-3 3 7 3.63.已知+3 8与7 a 5垂直，。一4)与7一2 8垂直，求N(a,)。解：因为。+3与7。一 5垂直，。一4与7 a 2垂直，所以(a +3)(7 5)=7同L i s时+1 6a 6=0,(a -4b)(7a -2b)=7 a f+8 b f-3 0 a 6=0得到同2=时=2a方，于是c o s N(a,Z)=；1t=，故N(a,)=%.1 1 1 a b 2 34.证明：对任意向量a,b都有|a +Z|2+|a -Z|2=2 同2
12、+2时.当a与分不共线时，说明此等式的几何意义。证明：|a +Z|2+a-b =(a +b)(a +b)+(a-b)(a-b)=|a+叶+2 a 5+同?+时 一2 a b =2|2+2|Z|.当a与力不共线时，此等式的几何意义是以a与为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上把a a记 为a2）o(1)同a=，；(2)a(b b)=ab2;(3)a(a b)=a2b;(4)(a b)2=a2b2;(5)(a b)c=a(b c);(6)c =c Z，c w O n。=瓦解：(1)错误，因为左边表示向量，右边是数。(2)正确，因为b b=(3
13、)错误，因 为 左 边 向 量 与。共线，而右边向量-A与力共线。(4)错误，因为(a=a2b2cosN(a,b)Wa22 (5)错误，因为左边向量(。力)。与c共线，而右边向量a(c)与。共线。(6)错误，因为 c a=c,cwO=c(a 力)=0=c 与 a-b 垂直。6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。证明：设三角形A48C的两条边A5 3 c的垂直平分线交于一点。，D,E,F为A3,5C,C4边的中点，以。为始点，为终点的向量记为。也c,d,e j。1 1 1 则d=(+),e=(5+c),/=(c+a),AB=b aBC=c b,CA=a-c.2 2 2由
14、于OD,OE是4 4 3。的垂直平分线，所 以彳月 d=L(/-a 2)=o,BC e=-(c2-Z2)=0,a2=c2=b2,由 此 得 到2 2CA/=(。2-，2)=0,说明。尸 是。4的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点,2且交点到三顶点的距离相等。7.证明：设，生。不共面，如果向量r满足r a-O,r b=,r c=0,则，=0。证明：因 为 不 共 面，所以可设r=X Q+y+“。则r r=r(xa+yb+zc)=xr a+yr b+zr c=故r=0。8.用几何方法证明：若a”的，M血也，也;，。都是实数，则有Ja；+；+c；+J a；+；+c；+.+a；+b；+c：2 J
15、（.+.2-）2 +（4 -卜 b“）2+（q +c2 H-+“）2 等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是 ：q =。2 ：&：。2 =。：”：C且。1，。2,，汕1；。1，。2,，。分别向方。证明：设在直角坐标系下，向量6=3”）/=1,2,则由三角不等式得|。1+。2 同+，并 且 等 号 成 立 的 条 件 是 向 量%=（a”b”q）,i=1,2,/同向，将坐标代入就有Ja：+b；+c：+yja；+b；+。；+小a：+b：+c：N +勺 +aj +（仇+与+A j +（q +q +c J.等 号 成 立 的 充 分 必 要 条 件 是%:4 :q =。2 ：。2 ：。2 =%
16、：）：C且 i，曲，*；4，当，；G,，2,c”分 力 ll同于。习 题 1.41.设储 表示向量。在与向量b。0 垂直的平面上的投影，则有axb=a x b。证明：由于他 表示向量a 在与向量）。（）垂直的平面上的投影（如下图），则山a/构成的平行四边形的面积与a,b 构成的矩形的面积相等，a x 仇a x b 的方向相同，因而,axb=a x b。2.证明：(axb)2=a2b2-(a b)证明：(axb)2=a2b2 sin2 Z(a,b),a2b2-(a b)2=a2b2-a2b2 cos2 N(a,b)=a2b2 sin2 N(a,b),故(a x )？=a2b2-(a b)2。3.
17、证明：若a x)=c x d,axe=Zxd,则a-d 与万-c 共线。证明：(a-d)x(b-c)=a x b-a x c-d x b +d xc=a x b -c x d -axe+bxd=0,故a-d与。-c共线。4.证明：(a b)x(a+b)=2(axb),并说明其几何意义。证明：(a-)x(a+Z )=axa+axD xa-Z xA =O +ax)+axZ-O=2(axb).以a,b为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于a,b为邻边的平行四边形的面积的2倍。5.在直角坐标系中，已知a=(2,3,-1),6=(1,-2,3),求与a,b都垂直，且满足如下条件之一的向量c
18、：(1)c为单位向量；(2)c 7 =1 0,其中d=(2,l-7)。解：因为向量c与a,b都垂直，所以可设c=而axb=gl e2 e32 3-11-2 3=(7,-7,_7),|ax引=7石。(I)因 为c为单位向量,所以卜|=1,即 网ax同=1,区|=1 1 axb 773,故C =1(1,一1,-1)O(2)由 rf=(2,l-7),c d=10,得 2(14-7+49)=10,2=,于 是28c 1(1,一1,-1)。46.用向量法证明：(1)三角形的正弦定理 一 二 _=_L；sin A sin B sin C(2)三角形面积的海伦(H e r o n)公式，式中p=*,A为三角
19、形的面积，其中2a,b,c为三角形三边的长。证明：(1)设角A,仅C对应边表示的向量为a,c,由向量外积的模的几何意义知道 axb =bxc =cxa于是同闷 sin C=Md sin A=|c|a|sinB，,a故-sin Ab _ csin B sinC(2)A2=-|a x 6|2=-(a V-(a b)2)=(a2b2-a2b2 cos2 Z(a,6)4 4 4=A(4a2 b2 (a2+b2 c2)2)=(2ab+a?+b?c2)(2ab a2 b2+c2)=(a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)16 16=p(p-a)(
20、p-b)(p-c)xc)da (6xc)a)d=(bxc)x(axd),同理(c,a,d)b+(a,b,d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b (a,d,b)c=(axd)x(bxc)所以(仇c,d)+(c,a,d)A+3,),d)c+(8M,c)d=(bxc)x(axd)+(axd)x(bxc)=Q。8.证明:若a与8不共线，则QX(axZ0与力x(a x)不共线。证明：因为与b不共线，所以axbwO.由于0*(a乂5)乂 、3乂6)=*(乂8)(0 )一 4乂(0X)b(axb)=-ax(axb)(ax5)=(ax)xa b(axb)=(axb)(axb)(axb)=
21、(axb)2(axb)W 0,因而ax(ax 力)与 bx(ax力)不共线。9.已知a,万都是非零实数，向量。，8。的混合积(a,九。)=的，如果向量，满足r a=a,r b=夕/c=0,求此向量r。解：由条件得到r(例 一 砒)=0,而且rc =O,因此可设r=Q amxc,现在两边分别与。作内积，则有a =r a=Aa(J3 a-ab)xc=-a(abc)=-aa/JA,A=.-f 故r=(二-a)xc ap pa10.设e”，与不共面，证明：任一向量。可以表示成a=-(a,e2,3)。1 +3，0，)0+(，e”02)。证明：因为。1件2，。3不共面，所以任一向量。可以表示成。=工。1+
22、y。2+2。3。两边分别与向量62X63,03X01,01X02作内枳，得到(=4/c=%,那么有r=-(abxc+/3cxa+yaxb)。(a,b,c)证明：因为a,砥c不共面，所以ax方乃xc,cxa不共面，从而可设r=x(bxc)+y(cxa)+z(axb),两边分别与a也c作内积，则有a-a r=xa(bxc),fi=b r=yb(cxa),/=c r=zc(axZ),于是r=-(abxc+cxa+yaxb)(a,b,c)第 二 章 直线与平面习题2.11.求通过两点4(2,3,4)和6(5,2,-1)的直线方程。解：直线的方向向量为4 5=(3,-1,-5),所以直线的方程为三2=二
23、3=二3 1 52.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。过 点(-1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；(2)过点(3,1-2)和z轴；(3)过点(2,0,-1)和(一 1,3,4),平行于u 轴;(4)过点(一1,一5,4),平行于平面3x-2y+5=0。解：(1)平面的方位向量为%=(-1,-3,4),匕=(4,-1,-5),所以平面的参数方程x=-1 丸 +4/,=0,其中A B C D wO。设此 平 面 与 三 坐 标 轴 分 别 交 于 叫,%，求 三 角 形 知”知2，用3的面积和四面体O M|M 2 M 3的体积。解：由于ABCDHO,所以平面的
24、三个截距分别为一2,-2,-2。因此四面体ABCOM.M2M3 的体积为 V =()()()=-pLp.1 2 3 6 A B C 6 ABC三角形想，M 2，知3的面积S=JMMZX M K*1而 而1 M x 而 拓=（,-2,O）X（2,O,-2）=）2（J _ J _ _ L）,2 1 J A B A C B C CA A B所以s =D2 y/A2+B2+C22 ABC6.设平面II:Ax+珍+Cz+D =O与连接两点和 加 2（电，%*2）的线段相交于点M,且=证明k _ 4%1+肛+以+。AX2+By2+Cz2+D证明：因为,所以由定比分点的坐标公式得到点M的坐标x.+kx,x=
25、-V =1+ky+机 Zi+奴2l+k -l+k将它们代入平面方程中得A-七+B&+C 廿 忆+0 =0,整理即得1+儿 l+k 1+fck _ AXj+Byx 4-Cz,+DAX2+By2+Cz2+D习题2.21.求经过点（一 2,1,3）,并且通过两平面2%一7丁 +4 2-3=0与3%一5了 +42+11=0的交线的平面方程。解：经过交线的平面束方程为4（2工一77+4 2-3）+4（3工一57+42+11）=0,其中4，%不全为零。所求平面经过点（一 2,1,3）,将它代入上式得到4一6%=0,可以取4 =6,%=1,因此平面的方程为15x 47y+28z-7=0.2 .判断下列各对平
26、面的相关位置。（1）%一2+7-2 =0与3%+丁-2 5 1 二 0；4（2）3x+9y-6z+2=（2 x +6y-4z+=0；解：（1）平面的法向量分别是（1,一2,1）,（3/,一2）,它们不共线，所以两平面相交。（2）两平面的系数之比的关系为3=2=虫=刍，所以两平面重合。2 6-4 43（3）第二个平面的方程化为x+2y-z+4=0,所以两平面的系数之比的关系为1 2 1-1-=-=-，所以两平面平行。1 2 1 43.将下列直线的普通方程化为标准方程。产一2=0,1=0,4y 4-3z+1=0;z+2=0.解:(1)方程可写成3x=j-2,4(j-2)=-3(z+3),所以标准方
27、程为7一23（2）标准方程为x y-1 z+2T-oxz+3o4.求通过点N（l,4,2）且与两平面口 :6X+2J+2Z4-3=0,II2:3X-5J-2Z-1=0均平行的直线方程。解：直线的方向向量v=（x,y,z）与已知两平面均平行，所以6X+2y+2 Z=0,得到 X：y:Z=1:3 到-6),3X-5K-2Z=0于是直线的方程为x-1 j-4 z+2=3 =6 5.判断下列各对直线的位置。八、x+1 y-1 z-2 x y-6 z+5(1)-=-=-,=-=-3 3 1-1 2 3(2)x+y+z=0,Jx+z+l=0,j+z+1=0,x+j+1=0.r 4-1 V 1 7 2解：（
28、1）直线号 =5=3/经过点方向向量是匕=（3,3,1）,直线5=寸=审经过点加式。6T）方向向量是乙=12 3）。1 5-7混合积(加 也2，匕#2)=3 3 1=一106。0,所以两直线异面。-1 2 3直线F+y+z=O x+z+i=,方程可分别化为j +z+l=O,x+j +l=O.x-1 y+1 z0-1手=,=：.经过的点分别是M2(-l,0,0).方 向 向 量 分 别 是 1 1 10 1 05=(0,1,-1),匕=(-1,1,1)混合积(“幽2，匕，匕)=0 1-1=l，o,且匕 匕=，所-1 1 1以两直线异面且互相垂直。fx=z+2与平面x-2 y-7 =0的交点。j
29、=1-3z解：将直线方程代人平面方程得到z+2-2(l 3z)-7=0,所 以z=l，故交点为(3-2,1)7.求通过直线4:3 x-4 y +5z-10=0.2x+2；3z-4 一 0且与直线4：*=2y=3z平行的平面方程。解：通过直线乙的平面方程可设为2(3x 4y+5z 10)+/z(2x+2j 3z 4)=0,由 于 平 面 与 直 线 右平 行，所 以6(34+2/)+3(-44+24)+2(54 3/)=0,即44+3/=0,故平面方程为 x 20y+272 14=0。X 1 V 4-1 7-38.在直角坐标系中，求 直 线=二 二=二 在平面n：x+2y 6=0上的垂2-14直
30、投影直线的方程。解：垂直投影直线在过直线I且垂直于平面口：*+2-6=0的平面口 中，平面口|的方程为X1 y+1 z 32-14=-8x+4 j +5z-3=0,1 2 0所以垂直投影直线方程是x+2j 6=0,8x 4j-5z+3=0.f 2x v 2z+1=09.在仿射坐标系中，求过直线 且在y轴和z轴上有相同的非零x+j+4z 2=0截距的平面方程。解：通过直线/的平面方程可设为/i(2x y-2z+l)+(x+y+4z 2)=0,由于平面在y轴和z轴上有相同的非零截距，所以一4+=一24+4 ,即；1=3/,故平面方程为7x-2y-2z+1=0.10.在A43C中，设P,Q,R分别是
31、直线上的点，并 且 衣=丸 而，BQ=fiQC,CR=vRA.证明三线AQ,BR,CP共点的充要条件是加V =1。证 明：取 仿 射 标 架A;4瓦/,则 点A,B,C,P,Q,R的 坐 标 分 别 是4(0,0),C(0,l),P(-,0),0(-).直线 4。,6旦。尸 的方1+2 1+/Z 1+jU 1+v程 分 别 为 三=上，=-,=上!.三 线42,5R,C P共 点 的 充 要 条 件 是1/1+v-1 2-(1+2)的交点在直线CP上。的交点为(-,一幺一)，将该点的坐 1+4+/1+/+/ZV标代人直线CP的方程中化简得到zu=lo11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依
32、次分割成4：4,u:4,4：丫，其中4,4均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。证明：由于a二4=1,由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于点。/2 v1 2.证 明如果直线AjX+Bxy+CyZ+)=0,A2X 4-B2y+C2z+D2=0与直线2A3X+B3J+C3Z+D3=0,A4X+B4y+C4z+D4=0交于一点，那么AA2A424A=0 o证明：由于两直线4，4交于一点,所以方程组AjX+Bxy+CjZ+i=0,Aix+B2J+C2Z+P2=0,4A,n.n n Y M（XO,3X+83y+C3z+2=0,A4X+B4y+C4z+4=0,则齐次方程组4Aj
33、X+By+Cxz+D1w=0,4 x+82y+C?z+=0,/J I 2 有解（了。,典/。,1），由齐次线性方程组有A3X+Biy+C3z 4-Dw=0,A4X+B4y+C4z+D4W=0,解的条件得到A,4&人4修生叫B,G仅。2。2。3 4G D4=o。r 1 V +1 71 3.在直角坐标系中，给定点41,0,3)和 2(，2,5),直线:=21 3设各为在/上的垂足，求 弧 知2 以及M，M；的坐标。解：为 向 量 而 为 =(-1,2,2)在直线/的方向向量y=(2,1,3)的方向上的分量，故 叫_ MVM2 u _ 6M-V14,过点M|(l,0,3)作与直线，垂直的平面n1，它
34、的方程为2(x-l)+y+3(z-3)=0,过点2(，2,5)作与直线/垂直的平面口？，它的方程为2x+y-2 +3(z-5)=0,将直线的参数方程工=1+2,丁 =-1+*=3分别代人口1，口2方程中，得所以14.求与三直线0:j-x =0z-1=0，,2,J J4-X=0:1+1 =0 小“y =0都相交的直线所产生的曲面z=0的方程。解：与三直线都相交的直线设为/，交点可设为尸(加,机，1),0(,一1),/?(4,0,0)，由于三点共线，所以丝二七=1-,即有机=4。直线/的方程即，x=k,m -k my=kz,消去左得到直线/构成的曲面方程)=x z.y,z _ x z1 5.证明：
35、包 含 直 线。C ,且 平 行 于 直 线1 2：Q C 的平面方程为j =0-X-2V-Z +1 =0,若 是/“4之间的距离，证明白=吃1+1+1吃。a b c d a b c证明：包含直线乜+5=1 y Z/1：方c 的平面方程可设为；l x +(5 +：l)=O,它的法向量x =0 _ Z _1为(M与 马,它又与直线，2：,了 一 展=平行，此直线的方向向量是匕=S，O,c),所以b c 八(a,O,c)(九幺，幺)=0,得到。丸+/=0,于是平面方程为主一土一刍+1 =0。b c a b c直线。的方向向量是匕=(0,九一c),经过点P(0,0,c)。直线右经过点。(0,0,c)
36、，(PQ,V.,V2)所以两直线的距离为2d=L L2 J,0 0 2c(P Q,vt,v2)=0 b -c =-l a b c，Vj x v2=(0,Z,-c)x(a,0,c)=(b c,-a c,-a b)a 0 c因此，故4 =4+M l。4d 4(a b c)d a b c 习题2.31.在直角坐标系下，求下列直线方程。(1)过点(一 1,2,9)且垂直于平面3 x +2 j-z-5 =0；(2)过点M0(2,4,-l)且与三坐标轴夹角相等。解：(1)直线的方向向量是平面的法向量v=(3,2,-1),所以直线的方程为x+1 y-2 z-9 i=2=r(2)设直线的方向向量是v=(x,y
37、,z),由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以|v(l,O,O)|=|v(0,1,0)|=,(0,0,1)|,于是 x|=|y|=|z。因此直线有 4 条,方程为x-2 _ j-4 _ z+l x-2 _ j-4 _ z+li-i T i-i Tx-2 _ y-4 _ z+1 x 2 _ j-4 _ z+1一 _ r i-i2.在直角坐标系中，求平面-z +c=0与xOy面的夹角。解：平 面ax+Ay-z+c=0的 法 向 量 为 =(。也一 1)，xQy面 的 法 向 量 为=(0,0,1),所以夹角的余弦为cos。=/1,夹角为yja2+b2+1八1 一 16=arccos,-或乃一arcco
38、s,.J/+/+1 yja2+b2+13.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点M(x,y,z)到两平面的距离之比为4 0。如果两平面平行，则选直角坐标系使得其中一个平面为xOy面，另一个平面的方程为z-d =0,d 0,于是&|z|=|z-4，当4=1时，得z=乙。当时，得(lA)z=d.2如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面xOy和xOz，则两平面的方程可设为 y+cz=0,y cz=0,c 0,于是、+cz|=cz|,即(1 千 A)y 一(lA)cz=0.4.证明：空间中满足条件|x|+|y|+|z|0)的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a的八面
39、体的内部。证明：条件用+|y|+|z|0)等价于八个不等式：x y 土n 0)，这些点对于平面土x yz=a(a0)来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八个平面x y z=a(a 0)构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a的八面体的内部。5.在仿射坐标系中，设/2(*2，%心)都不在平面Yl:Ax+By+Cz+D=0上，且证明：M i与 知2在平面n的同侧的充分必要条件是F1=Axx+Byx+CZI+0 与 巴=Ax2+By2+Cz2+D同号。证明：(1)而 而 与平面口：4*+力+。7+。=0平行的充要条件是FX-F2=Axt+Byl+Czt+D-(A x2+By2+Cz2+D)
40、=A(xl-x2)+B(yt-y2)+C(zt-z2)=0即居=Axt+Byt+CZ+O H 0 与q+C4+H 0 同号。(2)如果 法 而 与平面口:Ax+By+Cz+D=Q不平行，则设直线MiM2与平面相交于点M,且 诟7=A而 心。因而M i与 知2在平面n的同侧的充分必要条件是A o。因为k=一 4+孙 +CZ1+=_ L0 ,AX2 4-By2+Cz2+O 尸2所 以 居=Axj+3y+fZ1+。与入=Ax2+3,2+Cz2+D 同号。6.在直角坐标系中，求与平面4工+协+。+。=0平行且与它的距离为的平面方程。解：设点到平面Ax+8y+Cz+&=0的距离为d，贝Ud Ax+By+
41、Cz+DYIA2+B2+C2 因而所求平面的方程为Ax+By+Cz+D+dylA2+B2+C2=0.7.求点.(3,-1,2)到直线，2*-y+z T =0,的距离。x+j-z +l=0解：直线方程的标准形式为尸 上F哼所以 直 线 经 过 点M(0,1,0),方 向 向 量 为u=(0,l,l),则-MM.xvl J22,MM.xv=(-2,3,3)，点 Af,(3,-1,2)到直线的距离为d=一二=竿=旧.H V 28.求下列各对直线之间的距离。,、x+1 v-1 z+5 x v-6 z+5(1)-=-=-.=-=-；-1 3 2 3-9-6,八 x y+2 z-1 x-1 j-3 z+1
42、(2)-=-=-,-=-=-；2-2-1 4 2-1(口)x+j-z+l=0,fx-2 j+3z-6=0,x+j=0,2 x-j+3z-6=0.解：(I)两直线分别经过点,M2(0,6,-5),方 向 向 量 分 别 是v,=(-1,3,2),V2=(3,-9,-6),因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线的距离，所 以 监MzXV=(10,-2,8),它们的距离为d=M lM2xvl(2)两 直 线 分 别 经 过 点Af,(0,-2,l),A/2(l,3,-l),方 向 向 量 分 别 是匕=(2,-2,-1),V2=(4,2,-1),M M =(1,5,-2),v,xv2=(
43、4,-2,12),(而 而,”乙)=而 而(匕x匕)=一3 0,所以它们异面，它们的距离为_|(峪”2，%#2)|_ 30 _ 工一 k x v2|-7164-前，(3)两直线方程的标准形式可写为；=4 =芋，；=4 =平，两直线分别经过点时1(，()/)，知2(0,0,-2),方向向量分别是匕=(1,1,0),匕=(1,-1,-1)，%,%不平行，MXM2=(0,0,-3),v,xv2=(1,1,0),=(v,Xv2)=0,所以它们相交，它们的距离为0。9.求下列各对直线的公垂线的方程。,(11)、x-l1 =y=z 与匕 一 =y=z；-3 3 2 1-2卜 +y1=0,与尸 z+i=o,
44、z=0 2j+z-2=0.解：(1)两直线的方向向量是匕=(1,一3,3),匕=(2,1,-2),所以公垂线的方向向量为v=v x=(3,8,7)公 垂 线 在 过 直 线=*且与向量v=(3,8,7)平行的平面上，平面法向量是nx=(3,8,7)x(1,-3,3)=(45,-2,-17),所以该平面方程是45(x-1)-2y-17z=0。公垂线又在过直线土X=2券=今；且与向量v=(3,8,7)平行的平面上，平面法向量是n2=(3,8,7)x(2,1,-2)=(-23,20,-13),所以该平面方程是23x-20y+13z=0，因此公垂线的方程是45x-2j-17z-45=0,23 1-20
45、y+13z=0.(2)两直线方程的标准形式可为-x-l -y _z x-_l y _z_ _-_2_ ，1 -1 0 2-12所以公垂线的方向向量为v=(l,l,0)x(2,l,2)=(2,2,l)。公垂线在过直线-=4 =益 且与向量了=(-2,-2,1)平行的平面上，平面法向量是%=(l,-l,0)x(-2,-2,l)=(-1,-1,-4),所以该平面方程是x+j +4 z-l=0o公 垂 线 又 在 过 直 线=2=三2,且与向量口 =(-2,-2,1)平行的平面上，平面法 向 量 是n2=(2,-l,2)x(-2,-2,l)=(3,-6,-6),所 以 该 平 面 方 程 是(x-l)
46、-2 j-2(z-2)=0,因此公垂线的方程是x+j +4z 1=0,x-2j-2z+3=0.1 0 .求下列各对直线的夹角。(1)x-l y-3 z+4 X-1=J=z-1-1 1 2 -2 4-3 fx+j4-z-l=0,(3x+y+l=0,(2)x+y+2z+1=0,y+3z+2=0.解：(1)两直线的方向向量是=(-1,1,2)/2=(-2,4,-3),所以夹角满足=0,因此夹角为生。2(2)两直线的方向向量是匕=(1,1,0),%=(1,-3,1)，所以夹角满足v,v2 _ 2 _ 722Vr v2 V2V1T 11因此夹角为6=arccos 立2 或夕=%一 arccos 走2.1
47、1 111 1 .求下列直线与平面的夹角。(1)/:L;=*,n：x-2 y +4 z-l=0；(2)Z:o。1k 0 1 0现在从两直线上分别任取一点(f,h,a),(s,T ts,-a),则它们的中点(x,y,z)满足x=l AyJ(.),z=O,这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。13.设在直角坐标系中，平面口|与口2的方程分别为2x-y+2z-3=0 和 3x+2y-6z-1=0求由口1与口？构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点P(l,2,-3)o解：角平分面上的点(x,y,z)到两平面的距离相等，所以|2.y +2 z-3|=|3x+2
48、6 z-l|,由 于 该 二 面 角 内 有 点 叫中)，且3 72 1-2+2(-3)-3=-9 0,所以 P(l,2,-3)在 口1的负侧，在口？的正侧，因此角平分面上的点在口 的负侧，在口？的正侧，或在口|的正侧,在口？的负侧，所以角平分面上的点满足7(2%-丁 +27-3)=-3(3%+2y6 2-1),整理得到 23x y-4 z-24=0.14.证明：两 异 面 直 线 右的公垂线段的长度就是6，4之间的距离。证明：以公垂线为z轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xQy面，两异面直线在xOy面上的投影直线的角平分线为x轴和y轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方程可设为乙：式=
49、上=匕q与4：二=W 其中2a是两直线的距离即公垂线段1 1 k 0 2 1 -k 0的长度，4 0。现在从两直线上分别任取一点P(t,kt,a),Q(s,-ks,-a)，两点距离为|图=t-s)2+kt+s)2+(2a)2 2a,即公垂线段的长度是最小的，因此两异面直线4，右的公垂线段的长度就是L，右之间的距离。第 三 章 常见曲面习题3.11.证明：如果M+/+c Z-d。，那么由方程X1+y1+z2+2ax+2by+2cz+d=0给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得(x+a)2+(y+b)2+(z+c)2=a2+b2+c2-d ,由 a?+5?+c?-d 0,得
50、到方程表示球心是(-a,-九-c),半径为da的球面。2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为一+y2+z2+ax+刀+cz+d=0,得到9+3Q+d=0,0。所以动点(x,y,z)满足Jr?+y2+(z-a)2 =/2(*2+,2+a +a)2),化简有(l-k2)x2+(l-k2)y2+(l-k2)z2-2a(l+k2)z+(1-k2)a2=0,当it=1时，轨迹为平面z=0。1 +1当0 0。所以动点(x,j,z)满足yjx2+y2+(