《旋转综合问题大题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《旋转综合问题大题（重难点培优）-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.pdf（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022学 年 九 年 级 数 学 上 册 尖 子 生 同 步 培 优 题 典【人 教 版】专 题 22.6旋 转 综 合 问 题 大 题 专 练（重 难 点 培 优）姓 名：班 级：得 分：注 意 事 项：本 试 卷 试 题 共 24题，解 答 24道.答 卷 前，考 生 务 必 用 0.5毫 米 黑 色 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名、班 级 等 信 息 填 写 在 试 卷 规 定 的 位 置.一、解 答 题（本 大 题 24题.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤）1.（2020.全 国 九 年 级 专 题 练 习）在 AA B C中，
2、A B=1（）,A C=6,3。=8,。是 A B 的 中 点，将 BCD绕 点 C 旋 转 得 到 BCD，使 点 8落 在 C A 的 延 长 线 上.A（1）请 画 出 Ac。；（2）求 小 A 的 长.【答 案】（1）见 解 析；（2）V13【详 解】（1）所 求 作 aBCD如 解 图.（2）AB2=AC2+BC2.Z A C B=90.Q Q 是 A 3 的 中 点，C D=B D=5.如 解 图，过 点。作。于 点-CD=CD=BD=BD=5,BC=BC=8.:.CE=BE=4DE=A/C-CE2=后 _42=3-v AB=BC-AC=S-6=2,AE=BE-AB=4-2=2,D
3、A=y/bE2+AE2=V32+22=屈 2.（2020.全 国 九 年 级 专 题 练 习）如 图，在 四 边 形 ABCZ）中，ZABC=ZADC=5,将 BCD绕 点 C顺 时 针 旋 转 一 定 角 度 后，得 到 AACE,点 8 的 对 应 点 恰 好 与 点 A 重 合.（1）请 求 出 旋 转 角 的 度 数：（2）请 判 断 A E 与 8。的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；（3）若 A D=6,CO=9,试 求 出 四 边 形 A 8 C O 的 对 角 线 8。的 长.【答 案】（1）旋 转 角 的 度 数 为 90：（2）A E B D-理 由 见 解 析；（3）
4、BD=3应【详 解】解：（1）A C E是 由 BCD绕 点 C 顺 时 针 旋 转 得 到 的，；.AB C*AACE.:.AC=BC-/.ZBAC=Z4BC=45.ZAC5=180-45-45=90.旋 转 角 的 度 数 为 90.（2）A E B D.理 由 如 下：如 解 图，在 用 3CM中，ZBCM=90,：.ZMBC+ZBMC=90.:A B C g M C E,/./DBC=/EAC.即=XV ZBMC=ZAMN ZAMN+ZCAE=900.，ZAND=90.由 旋 转 的 性 质 可 知 CE=CD,AE=B D,旋 转 角 ZDCE=90，/./EDC=/CED=45。.
5、：.CE=CD=9.在 RM DCE 中,NDCE=90,DE=yCD2+CE2=V 81+81=972-ZADC=45,：.ZADE=ZADC+/EDC=90.在 RfAADE 中，ZADE=90,EA=AD2+DE2=而+(9扬 2=3后.BD=EA=3722.3.(2021.浙 江 七 年 级 期 中)将 三 角 板 ABC与 三 角 板 ADE摆 放 在 一 起；如 图 NACB=30,ZZME=45.ABAC=ZD=90.固 定 三 角 板 A D E,将 三 角 板 ABC绕 点 4 按 顺 时 针 方 向 旋 转，记 旋 转 角 ZC4E=z(0oz180).D(1)当 a 为
6、度 时，A B IID E,并 画 出 相 应 的 图 形；(2)在 旋 转 过 程 中，试 探 究 NC短 与 之 间 的 关 系；(3)当 AA B C旋 转 速 度 为 15。/秒 时，且 它 的 一 边 与 入)的 某 一 边 平 行(不 包 括 共 线，不 考 虑 A5/OE)时，直 接 写 出 时 间。的 所 有 值 并 画 出 相 应 的 图 形.【答 案】(1)135,作 图 见 解 析；(2)当 0。90。时，Z B A E-Z C A D=45；当 9()。+NB4E=315；(3)/的 值 可 以 为 2 秒，3 秒，5 秒，11秒，图 形 见 解 析.【分 析】(1)由
7、 平 行 线 性 质 结 合 三 角 板 可 知 NBAE=180-NE4=135,再 根 据 周 角 即 可 求 出 ZBAB=135,即 旋 转 角。的 大 小.(2)分 类 讨 论 当 0 a900时 和 当 9 0 1 8 0 时，分 别 用。表 示 出 NC40和 N R 4 E,即 可 找 出 它 们 的 关 系.(3)分 类 讨 论 AE/5C、D E M B C、AD/BC和 AC7/0E,分 别 求 出 旋 转 角。的 大 小，即 可 得 出 答 案.【详 解】(1)如 图 即 为 所 作.；AB/DE,：.NBAE=1800-N D E A=180 45=135.A B A
8、 C=90，：.ZBAB=360-90-135=135,ZCAE=a=ZBAB=135.(2)当 0。口 90。时，如 图:根 据 图 形 可 知：ZCAD=ZCAE+ZDAE=a+45,ZBAE=ZCAE+ZBAC=a+90,/.Z A 4 E-Z C 4 D=a+9 0-t z-45=45.当 90 a 4 1 8 0 时,如 图:根 据 图 形 可 知：ZCAD=ZC A E+ZD A E a+45,ZBAE=360-ZCAE-NBAC=360 a-90=270-a,N C 4 D+4 A E=a+45+2 7 0-a=315.综 上 可 知，当 0 a=4 5；当 90aW 180 时
9、，N C4)+N B 4E=315。.(3)当 A E/B C 时，a=ZACB=30,30,.t=2秒.15D 当 DE 8 c时，a=ZCAE=180-45一 60=75,75 一 t=5 秒.15 当 AD/8C时，a=ZCAE=360-90-60-45=165,.八 速=11秒.15c综 上，可 知 r 的 值 可 以 为 2 秒，3 秒，5 秒，11秒.4.（2021山 东 济 南 市 九 年 级 一 模）已 知 A。是 等 边 AABC的 高，A C=2,点 O 为 直 线 A D 上 的 动 点（不 与 点 A 重 合），连 接 B O,将 线 段 3 0 绕 点。顺 时 针 旋
10、 转 6 0,得 到 线 段 O E，连 接 C E、BE.（1）问 题 发 现 如 图 1,当 点。在 线 段 A O上 时，线 段 A。与 C E的 数 量 关 系 为，N A C E的 度 数 是（2）问 题 探 究：如 图 2,当 点。在 线 段 A O 的 延 长 线 上 时，（1）中 结 论 是 否 还 成 立？请 说 明 理 由；（3）问 题 解 决：当 NAEC=30时，求 出 线 段 8 0 的 长.【答 案】（1）A O=CE,Z A C E=90（2）成 立，理 由 见 解 析；（3）8。=2 或 2近【分 析】（I）证 明（SAS）,则 40=C E,N B A O=N
11、 B C E,进 而 求 解；（2）和（1）的 方 法 相 同；（3）当 点。在 线 段 A O的 延 长 线 上 时，证 明 点 A、B、E i在 一 条 直 线 上，进 而 求 解；当 点 02在 线 段 D 4的 延 长 线 上 时，通 过 画 图 确 定 为 位 置，进 而 求 解.【详 解】解：（1）AOCE,/A C E=9 0。，理 由：线 段 B O 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 60。，得 到 线 段 OE,故 BO=OE,N8OE=60。，：./BOE为 等 边 三 角 形，：.ZOBE=60,BE=BO,：NO BE=60=/A 8 C=6 0=/A B O+/O 8
12、O,/.NABO=NCBE,在 4 8。和 ACBE中，NABO=NEBC AB=AC,BO=BE:.ABO乌 X C B E(SAS),.AO=CE,N B A O=N B C E,：A D 是 等 边 三 角 形 A B C的 高，故 A D也 是/5 A C 的 平 分 线,故 N B A O=30=N B C E,，Z A C=Z B C E+Z A C B=30+60=90,故 答 案 为：AO=CE,N A CE=90。；(2)成 立，理 由 如 下：连 接 BE.线 段 B 0 绕 点 0 顺 时 针 旋 转 了 60。得 E 0,二 B O E是 等 边 三 角 形，：.B O
13、=B E,N O B E=60。，4 A B e是 等 边 三 角 形，：.B A=B C,ZA B C=60,：.NABC+NOBC=NOBE+NOBC,B P Z A B O Z C B E,:*ABO W X C BE(SAS),：.A O C E,N B C E=/B A O,是 等 边 A B C的 高，/B C E=/8 A O=3 0,Z B C 4=60,，ZA C E=Z B C A+Z B C E=90,：.AO=C E,N A CE=90。；(3)当 点。在 线 段 A。的 延 长 线 上 时，由(1)和(2)知：ABOIEI 是 等 边 三 角 形，Z A C E i=
14、90,；N A CEi=90,NA Ei C=30,：.Z E iA C=6 0,/8 A C=6 0,.点 A、B、E i在 一 条 直 线 上，在 RtAACEi 中,AC=2,NAE|C=30,：.A Ei=4,：.BOt=BEt=2；当 点 02在 线 段 D A的 延 长 线 上 时，；/ACE2=90,NAE2c=30,AC=2,/.CEy=2 G,:ABOWMCBE(SAS),AO2=C2=2y3,是 等 边 A4BC 的 高，AB=AC2,：.B D=,A D=6在 RtAChOB 中，8 0=1,而。2。=A O2+AD=2A/3+百=3百，二 B 02=Q o b+BD。=
15、J(3厨+俨=2万；综 上，B 0=2或 2币.5.(2020全 国 九 年 级 专 题 练 习)如 图，在 A B C 中,ABAC=12()。，以 5 c 为 边 向 AA B C外 作 等 边 8CD,把 A B D绕 点 D 顺 时 针 方 向 旋 转 60后 得 至 i j AECD.若 AB=8,A C=4.EcJ(1)试 判 断 AAD E的 形 状，并 说 明 理 由；(2)求 N W Q 的 度 数；(3)求 AO的 长.【答 案】(1)AADE是 等 边 三 角 形，理 由 见 解 析；(2)60；(3)12【详 解】解：(1)AAD E是 等 边 三 角 形.理 由 如
16、下：,/(是 由 AB。绕 点 D顺 时 针 旋 转 60。得 到 的，NECD=ZABD,ZADE=60,DE=A。,CE=A3=8./ZBAC+ZBDC=120+60=180，二 ZABD+ZACD=360-180=180./D C E=/D B A，/.ZACD+ZDC=180.C,E 三 点 共 线.:ZADE60,DEAD.AAD E是 等 边 三 角 形.(2)：AA D E是 等 边 三 角 形，/.ZBAD=ZE=60.(3)V AA D E是 等 边 三 角 形，/.AD=AE=AC+CE=AC+AB=12.6.(2020.全 国 九 年 级 专 题 练 习)如 图，在 矩
17、形 A5CD中，把 矩 形 A8CQ绕 点 C旋 转 得 到 矩 形 E E C G,且 点 落 在 边 AO上，连 接 8G交 CE于 点，.(1)如 图，求 证：AE+CH=EH.(2)如 图，连 接 F H,若 FH平 分 分 EFG,则 满 足 2 倍 关 系 的 线 段 有 几 对?写 出 这 几 对 线 段，并 说 明 理 由.图 图【答 案 X 1）见 解 析：（2）满 足 2倍 关 系 的 线 段 有 4对,分 别 是 B G和 BH,BG和 GH,D E和 CH,CH和 A E，见 解 析【详 解】(1)证 明：如 解 图，过 点 8 作 点 连 接 5E,；.NA=N B
18、M E=90.把 矩 形 ABCD绕 点 C旋 转 得 到 矩 形 FECG,CE=BC.:C E B=/C B E.：ADH BC,:.ZAEB=ZE B C.,.ZAEB=ZB E M.NA=NBME,在 A A 6 E 与 中，A E B=/LBEM,BE=BE,.A B E M B E(A A S).：.AE=EM,AB=BM.：.BM=CG.NBMH=NGCH=90。,在 ABMH 与 4G C H 中，,4BHM=NGHC,BM=CG,:.B M H G C H（AAS）,:.H M=C H.-.EH=EM+H M，：.AE+CH=E H.（2）解：满 足 2 倍 关 系 的 线
19、段 有 4 对，分 别 是 8 G 和 和 和 和 AE.理 由：由（1）得 ABMH当 AGCH,BH=G H,BG=2BH,BG=2GH.A D=A E+D E=C E=CH+EH=CH+CH+AE=2CH+AE,：.DE=2C H.FH 平 分 DEFG,:.NEFH=45,是 等 腰 直 角 三 角 形.EF=E H,:.EH=AB=CD.设 AE=x,CH-y,DE-2y,CD-x+y,CE=x+2 y.在 Rt/XOEC 中，DE2+CD2=CE2,.-（2y）2+（x+y）2=（x+2y）2,解 得 y=2x,：.CH=2AE.7.（2020 全 国 九 年 级 专 题 练 习）
20、如 图，正 方 形 ABC。和 正 方 形 CFG的 边 长 分 别 为。和 力，正 方 形 CEFG绕 点。旋 转.连 接（1）猜 想 BE与。G 的 关 系，并 证 明 你 的 结 论;（2）用 含 的 式 子 表 示 OE2+3G2.【答 案】（1）B E D G,B E D G,见 解 析；（2）DE2+BG2 2a2+2b2【详 解】解：（1）BE=D G,B E D G.证 明：如 解 图，连 接 3 0 E G,且 8 E 与 O G的 交 点 为 与 跳 的 交 点 为 N.,/四 边 形 A 8C O和 四 边 形 CEFG为 正 方 形，BC=DC,CG=CE,/B C D
21、=N E C G,:.Z B C E=Z D C G.:.ABCEADCGISAS）.：.BE=D G/C B E=ZCDG.ZC BE+N BN C+/B C D=180,Z D N E+Z C D G+ZDM B=180,NBNC=4 D N E,N C B E+N 8N C=90。，ZD M B=/B C D=90.即 BE_LDG.(2)：B E L D G,在 RtBD M 和 RtM EG 中，BD2=D M2+B M2,E G2=M E2+M G2,BD2+EG2 D M2+B M2+M E2+M G2-：.BD2+EG2=BG2+DE2-：.AB2+AD2+EC2+CG2=BG
22、2+Z）2.：.DE2+BG2=2+2b2-8.（2020 全 国 九 年 级 专 题 练 习）（1）如 图，已 知 正 方 形 和 N 分 别 是 边 5C,C。上 的 点，且 BM=C N,连 接 AM和 8 N,交 于 点 P.猜 想 AM与 的 位 置 关 系，并 证 明 你 的 结 论；（2）如 图，将 图 中 的/MPB绕 点 B逆 时 针 旋 转 90得 到 A P B.延 长 A产 交 AP于 点 E，试 判 断 四 边 形 8PE P的 形 状，并 说 明 理 由.,4 1）匚 B M C图 A 1）X B M（：图【答 案】（1）AM 1 B N,见 解 析；（2）四 边
23、形 8PE户 是 正 方 形,【详 解】解：（1）AM 1 B N.证 明：.四 边 形 A3CQ是 正 方 形，AB=BC,ZABM=/B C N=90.又 r B M=C N,:A ABM、BCN（SAS）.:B A M=/C B N.ZCBN+ZABN=90,ZABN+/B A M=90.见 解 析:.ZAPB=90.A M B N.（2）四 边 形 B P E P 是 正 方 形.理 由：由（1）知/AP3=90，由 旋 转 的 性 质 知 BP=BP,ZAPB=N B P E=Z A P B=90,四 边 形 3 P E P 是 正 方 形.9.（2021 重 庆 九 年 级 期 末
24、）在 菱 形 A 3 C Q 中，45=4,Z A B C=60,E 是 对 角 线 A C 上 一 点，F 是 线 段 B C 延 长 线 上 一 点，且 b=A E,连 接 BE、EF.（1）如 图 1,若 E 是 线 段 A C 的 中 点，求 E F 的 长；（2）如 图 2,若 E 是 线 段 A C 延 长 线 上 的 任 意 一 点，求 证：B E=E F.（3）如 图 3,若 E 是 线 段 A C 延 长 线 上 的 一 点，CE=A C,将 菱 形 A 8 C O 绕 着 点 3 顺 时 针 旋 转 a。（0360）,请 直 接 写 出 在 旋 转 过 程 中 D E 的
25、最 大 值.【答 案】（1）2y/3;（2）见 解 析；（3）46 1+2币【分 析】（1）根 据 菱 形 的 性 质 证 明 AABC是 等 边 三 角 形，ZeC4=60,AB=2,求 出 BE,由 等 边 三 角 形 的 性 质 和 已 知 条 件 得 出 CE=CF,由 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 的 外 角 性 质 得 出 NC8E=/F,即 可 得 出 BE=E尸；（2）作 7/交 A 8 的 延 长 线 于 H,证 明 ABZ/E/XEb,得 至 l j 8E=EF；（3）以 8。为 半 径，8 为 圆 心 画 弧，连 接 B。，设 AC、B D 交 于 O,
26、得 到 当 D、B、E 共 线 时，O E 最 大，即 为 O E,利 用 勾 股 定 理 求 出 8E,加 上 2。即 可 得 到 结 果.【详 解】解：（1）四 边 形 A8CD是 菱 形，：.AB=BC,：NA8C=60。，.ABC是 等 边 三 角 形，：.ZBCA=6Q,是 线 段 A C 的 中 点,A BE1.AC,AE=CE=AB=2,/C 8 E=N A诋 30。，AE=CE,2:B E=d 42 _?2=2 6,VCF=AE,：.CE=CF,：.Z F=Z C E F=ZBCA=30f2.Z C B E=Z F=30,:B E=E F=2 A(2)如 图，作 EH 8 C
27、交 A 8 的 延 长 线 于 从 A B C是 等 边 三 角 形，/A H E是 等 边 三 角 形，:BH=CE,在 H E flU E C F 中，BH=CE/BH E=/E C F,HE=CF:.BHEQ/XECF(SAS),(3)如 图，以 8。为 半 径，B 为 圆 心 画 弧，当 D、B、E 共 线 时，D E最 大,即 为。连 接 8。，设 AC、B D交 于-0,则 DE=DB+BE,B D=2 B O=4 6 OE=OC+CE,C O=AO=AB=2f1VCE=AC=2,：.OE=4,在 ABOE 中，8E=，8。2+O：2=2百，D E的 最 大 值 为 DE=4a+2
28、.10.(2021北 京 九 年 级 二 模)在 等 腰 三 角 形 ABC中，AB=A C，N8AC=。(0。60。).点 P 是 AABC内 一 动 点，连 接 AP,B P,将 aAPB绕 点 A 逆 时 针 旋 转。，使 A B 边 与 A C 重 合，得 到 A C C,射 线 BP与 CQ或 CQ延 长 线 交 于 点 M(点 A/与 点。不 重 合).(1)依 题 意 补 全 图 1和 图 2；由 作 图 知，N B A P与/C 4 D 的 数 量 关 系 为；(2)探 究 Z A D M 与 N A 的 数 量 关 系 为；(3)如 图 1,若。P 平 分 N A Q C,用
29、 等 式 表 示 线 段 3M,A P,。之 间 的 数 量 关 系，并 证 明.B C B C图 1 图 2【答 案】(1)相 等；(2)或/A O M+NAPM=180；(3)M C=A E+B D,证 明 见 解 析【分 析】(1)按 要 求 作 图 即 可；(2)AAPB绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到 A4OC可 得 N 4)C=N 4 P 8,即 可 得 到 答 案；(3)由 旋 转 的 性 质 可 知 AABP丝 ACD 由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 NAP8=NAC,AP=AD,B P=C D,由 角 平 分 线 的 定 义 及 等 腰 三 角 形 的 性
30、质 得 出 NB4)=NAOM=a,ZAPM=ZM.ffiW OP=OA,0M=。，则 可 得出 结 论.【详 解】解:(1)依 题 意 补 全 图 1和 图 2；由 作 图 知，NBA P 与 N C A O 的 数 量 关 系 为 相 等;图 1故 答 案 为：相 等;(2)ZADM=ZAPM ZADM+ZAPM=180.当 M 在 线 段 C Q 延 长 线 上 时，如 上 图 1,.将 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到 ZVlDC,，ZADC=ZAPB,：.ZADMZAPM,当 M 在 线 段 C O 上 时，如 上 图 2,:将 4P3绕 点 A 顺 时 针 旋 转 得 到 A
31、CC,ZADC=ZAPB,：ZAPB+ZAPM=SO0,：.ZADM+ZAPM=SO0,故 答 案 为：NAZ)M=N4PM 或/A)M+/APM=18O。；(3)如 图，线 段 MC,AE,8 0 之 间 的 数 量 关 系 是：MC=AE+BD.证 明：.将 APB绕 点 A 逆 时 针 旋 转 a,使 A8 边 与 A C 重 合，得 到 AAQC,二 乌 ACC.ZAPB=ZADC,AP=AD,BP=CD,，ZADM=ZAPM.TOE 平 分 乙 4OCJ ZADP=ZPDC.9：AP=AD,：.ZAPD=ZADP.：.ZAPD=ZPDC.：.AP/CM.：.ZPAD=ZADM=a,Z
32、APM=ZM.又 由（2）知，ZADM=ZAPM=a,：.OP=OAf OM=OD,：.OP+OM=OM+OD,：.PM=AD=APf：.BM=BP+PM.：.BM=CD+AP.11.（2021河 北 秦 皇 岛 市 九 年 级 一 模）如 图，C、D、三 点 在 线 段 A 3 上，且 AC=C E=EO=DB=1,将 线 段 4 C 绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转。度（0vavl80）,点 A 的 对 应 点 为 点 4.同 时 将 线 段。8 绕 点。按 逆 时 针 方 向 旋 转 夕 度（0/360）,点 3 的 对 应 点 为 点 耳，连 接 A Q 和 8c.（1）若
33、夕=。（如 图 1）,4。和 与 C 的 交 点 为 尸.求 证：ZkAC。=g。C.求 证：/C D 为 等 腰 三 角 形.（2）若 尸=2。，当 4。二 4。时，a=.【答 案】（1）见 解 析；见 解 析；（2）120。【分 析】(1)由 旋 转 的 性 质，得 到 N 4 C O=N g D C,然 后 根 据 SAS即 可 证 明 结 论 成 立;由 知 ZAiDC=ZB,CD,再 根 据 等 角 对 等 边 即 可 得 到 结 论 成 立；(2)由 题 意，由 三 g D C,则 N A C O=N 4 0 C,然 后 解 关 于 a 的 方 程 即 可.【详 解】(1)证 明：
34、；/?=a 即 ZACA,=ZBDB,：ZACA,+N A C O=NBDB、+NB】D C=180NA&D=NBQC;A C=B Q,CD=D C：./XA.CD=/B,DC.；ZACD 三 BQC,：.N A D C=N B C。，FC=FD,尸 为 等 腰 三 角 形.(2)根 据 题 意，若 力=2 a,当 AC。三 5。时，如 图,二 180。a=4 180,（3 2a,二 18（）。一 a=2a 180。a=120。，故 答 案 为：120。.12.（2021山 东 济 南 市 九 年 级 二 模）（1）如 图 1,在 中，A B=A C，。是 直 线 3 C 上 的 一 点，将
35、线 段 4）绕 点 A 逆 时 针 旋 转 90至 A E，连 接 C E，求 证：AABD三 AACE；（2）如 图 2,在 图 I的 条 件 下，延 长 O E，A C 交 于 点 G,B F L A B 交 D E 于 点 F,求 证 网=6 4；（3）如 图 3,A 是 BQC 内 一 点，Z A B C=Z A D B=45，Z B A C=90，直 接 写 出 MC的 面 积 为.【答 案】（1）见 解 析；（2）见 解 析；（3）6【分 析】（1）由 已 知 条 件 根 据 SAS可 以 证 得 ABOM AACE；（2）过 点。作 DK_L）C 交 尸 B 的 延 长 线 于
36、K,则 由 已 知 和（1）的 结 论 可 以 证 得 ECGH OFK,从 而 得 到 DF=EG,进 一 步 得 至 I FG=EG+EF=DE=0 AE.（3）过 点 4 作 A E L W 交 8力 于 E,连 接 CE,与（1）（2）同 理 可 得 AAfiDg/VlCE,由 此 可 得 CE=BD=26,NCED=NCEB=90,从 而 可 以 得 到 3QC的 面 积.【详 解】（1）证 明：如 图 1,Z B A C=Z D A E=90,/.Z D A B=ZEAC,在 ABD和 AA C E 中,AD=AE/DAB=ZEAC,AB=ACA：.AABOM ACE(MS).V
37、DK LCD,BF LA B,：./BDK=ZABK=9Q。,：AB=AC,ZBAC=90,：.ZABC=ZACB=45,KF AC,：.ZDBK=/K=45。,：.DK=DB,：AABD*A C E,：.ZABD=ZACE=35,DB=EC=DK,：.NECG=45,；/E C G=/K，：BF L A B,C A I ABA G/B F，/G=AD FK，NECG=NK在 AECG 和 4D K F 中，N G=ZDFK,CE=KD：.AECG=AD KF(AAS),DF=EG，DE=O A E，；DF+EF=&E，EG+EF=A E，即 FG=0 A E.(3)如 图 3 中，过 点 A
38、 作 AE_LAO交 8。于 E,连 接 CE,V ZADB=45,ZDAE=90,.A O E与 AA 8C都 是 等 腰 直 角 三 角 形,：ZBAC=ZDAE=90,：.ZDAB=ZEAC,在 然 和 M C E中，AD=AE NDAB=NEAC,AB=AC.A3。二 ACE(SAS),CE=BD=2 6,:ZAEC=ZADB=45,：./CED=/CEB=90。，S、BDC=；BD CE=；X 2 6 X 2拒=6.13.（2021河 南 郑 州 外 国 语 中 学 八 年 级 期 中）某 校 学 习 小 组 在 探 究 学 习 过 程 中，将 两 块 完 全 相 同 的 且 含 6
39、0。角 的 直 角 三 角 板 A B C 和 A F E 按 如 图 1所 示 位 置 放 置，且 RtZXABC的 较 短 直 角 边 A 3 为 4,现 将 RjAfF绕 A 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 夕（090）,如 图 2,A E 与 8 c 交 于 点 M,A C 与 E F 交 于 点 N，B C与 E F 交 于 点 P.（1）初 步 探 究：勤 思 小 组 的 同 学 提 出：当 旋 转 角。=时，AAMC是 等 腰 三 角 形：（2）深 入 探 究：教 学 小 组 的 同 学 提 出 在 旋 转 过 程 中.如 果 连 接 A P，C E,那 么 A P 所 在
40、的 直 线 是 线 段 C E 的 垂 直 平 分 线，请 帮 他 们 证 明；（3）再 探 究：在 旋 转 过 程 中，当 旋 转 角 a=30时，求 AA6 c 与 ZXA所 重 叠 的 面 积；（4）拓 展 延 伸：旋 转 过 程 中，V C P N 是 否 能 成 为 直 角 三 角 形？若 能，直 接 写 出 旋 转 角 c 的 度 数；若 不 能，说 明 理 由.【答 案】（1）60；（2）见 解 析：473：（4）能，a=30或。=60【分 析】（1）分 两 种 情 况，根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 定 理 即 可 得 到 结 论；（2）由 题 意 可 知，AB=AF,
41、NB=NF,ZE=ZC,AE=AC,根 据 折 叠 的 性 质 得 到 根 据 全 等三 角 形 的 性 质 得 到 AM=AM PE=PC,由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 即 可 得 到 结 论；(3)根 据 已 知 条 件 得 到 AA8M是 直 角 三 角 形，求 得 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 和 三 角 形 的 面 积 公 式 即 可 得 到 结 论；(4)当 NCNP=90。时，依 据 对 顶 角 相 等 可 求 得 N4NF=90。，然 后 依 据/尸=60。可 求 得/用 N 的 度 数，由 旋 转 的 定 义 可 求 得/a 的 度 数；当/C PN=
42、90。时.由/C=3 0。，NCPN=90。，可 求 得 N C N P的 度 数，然 后 依 据 对 顶 角 相 等 可 得 到/A N尸 的 度 数，然 后 由/尸=60。，依 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 可 求 得 N R 1N的 度 数，于 是 可 得 到/a 的 度 数.【详 解】解：(1)当 4 W=C M,即 NC4M=NC=30。时，ZkAMC是 等 腰 三 角 形；VZBAC=90,.,.a=90o-30=60,当 A C=C M,即 时，AAMC是 等 腰 三 角 形，V ZC=30,：.ZCAM=ZAMC=15,：ZBAC=90,o=15。，综 上 所 述，当
43、 旋 转 角 a=60。或 15。时，AM C是 等 腰 三 角 形，故 答 案 为:60。或 15；(2)由 题 意 可 知，AB=AF,NB=NF,ZE=ZC,AE=AC,:现 将 R s A E F绕 A 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转 a(r a 9 0。)，:.NBAM=NFAN,在 8 M 与 F N 中，NB=ZF AB=AF,ZBAM=ZFANm IXAFN(ASA),：.AM=AN,：AE=AC,:.EM=CN,V Z E=Z C,ZMPE=ZNPC,:.MPEQ4NPC(A4S),：.PE=PC,点 尸 在 C E 的 垂 直 平 分 线 匕：AE=AC,.点 A 在
44、C E 的 垂 直 平 分 线 上，：.A P所 在 的 直 线 是 线 段 C E的 垂 直 平 分 线；(3)Va=30,/B=60,，N4M8=90。，.ABM是 直 角 三 角 形，VAB=4,：.BM=AB-sin300=2,AM=ABcos300=2y/3，SM,W=-A M-M B=-x 2 x 2=2y/3,2 2AE=AC-ABtan60=4-y/3，AM-2/3:.E M=2 B：/8AE=a=/E=30,ZEMP=ZAMB=90,：./XAMBAEMP(ASA),由(2)可 知 A A B M 2 ZiAFN,MFN S/Mp SMI3M-2 6/.SAEI-A F-A
45、E=-x 4 x 4=8 G,2 2.ABC与 F E 币:唇 的 面 积=SAAEFS 姐 V S M=8 G 2x26=4 6：(4)如 答 题 图 1所 示：当/CNP=90。时.A答 题 图 1：NCNP=90,NANF=90。，又：NAFN=60。,J Z FAN=180o-60-90o=30,/.Z a=3 0；如 答 题 图 2 所 示：当 N C P 2 9 0。时.答 题 图 2V ZC=30,NCPN=90。,；NCNP=6。.N A N/=60 X V Z F=6 0,：.ZFAN=60.Za=60.综 上 所 述，Na=30。或 60。.14.（2021北 京 九 年
46、级 一 模）在 AABC中，AB=AC,NB4C=a（0a60）,点 E 是 AABC内 一 动 点，连 接 A E,C E,将 AAEC绕 点 A 顺 时 针 旋 转 a,使 A C 边 与 A 8 重 合，得 到 A A D B,延 长 C E 与 射 线 B）交 于 点 M（点 M 与 点。不 重 合）.（1）依 题 意 补 全 图 1；（2）探 究 Z A D M 与 Z A E M 的 数 量 关 系 为；（3）如 图 2,若 O E 平 分 N A D 8,用 等 式 表 示 线 段 MC,AE,5。之 间 的 数 量 关 系，并 证 明.【答 案】（1）图 见 解 析；（2）Z
47、A D M=Z A E M；（3）M C=A E+B D.证 明 见 解 析.【分 析】（1）依 据 题 中 语 句 根 据 旋 转 的 性 质 作 出 图 形 即 可；（2）根 据 旋 转 前 后 对 应 角 相 等，再 利 用 邻 补 角 和 等 角 的 补 角 相 等 即 可 得 出 结 论；（3）根 据 角 平 分 线 和 旋 转 的 性 质 可 证 AE/BM,再 利 用（2）中 的 结 论 和 平 行 线 的 性 质 进 一 步 证 明 ZDAE,N D M E=N M D A,根 据 等 角 对 等 边 可 得 4V=NE,MV=W,利 用 线 段 的 和 差 可 得 结 论.【
48、详 解】解：（1）补 全 图 如 下：图 1（2）AAEC绕 点、A 顺 时 针 旋 转。，使 A C 边 与 A B 重:介,:.NAEC=NADB,：ZAEC+ZAEM=180,ZADB+ZADM=1 80,ZA D M=ZA E Mf故 答 案 为：Z A D M 二 Z A E M；（3）M C=A E+B D，证 明 如 下：绕 点 4 顺 时 针 旋 转 a,使 A C 边 与 A B 重 合,:EC=BD,AE=AD,ZAD E=ZAE D.又,.,Q E平 分 NAOB,，ZA D E=ZB D Ef：.ZAE D=ZBD E,:.AE/BD,:4 M DA=4DAE,NDME
49、=NM EA,二 由（2）得/MEA=NM 4,:M E A=/D A E,/D M E=/M D A,：.AN=NE,MN=DN,：.ME=AD,M C=M E+E C=A D+B D=A E+B D.15.（2021全 国 八 年 级 专 题 练 习）在 A 4 8 C中 AB=A C,点 P 在 平 面 内，连 接 4尸 并 将 线 段 A P绕 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 与/8 4 C 相 等 的 角 度，得 到 线 段 A。，连 接 8 Q（发 现 问 题）如 图 1,如 果 点 P 是 8 c 边 上 任 意 一 点，则 线 段 3 Q 和 线 段 P C 的 数 量 关
50、 系 是；（探 究 猜 想）如 图 2,如 果 点 P 为 平 面 内 任 意 一 点.前 面 发 现 的 结 论 是 否 仍 然 成 立？若 成 立，请 给 予 证 明：若 不 成 立，请 说 明 理 由.请 仅 以 图 2 所 示 的 位 置 关 系 加 以 证 明（或 说 明）：（二）拓 展 应 用（拓 展 应 用）如 图 3,在 A A BC中，AC=2,ZACB=90P,ZABC30P,P 是 线 段 B C上 的 任 意 一 点 连 接 AP,将 线 段 A P 绕 点 A 顺 时 针 方 向 旋 转 60。，得 到 线 段 4。，连 接 C Q,请 直 接 写 出 线 段 C Q