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1、n 第四讲分式运算的方法和技巧 趣题引路】如何计算丄+丄+7?通分？行不通！注意丄J一二丄 1x2 2x3/?(/?+1)1x2 1 2 2x3 2 3 n(n+1)=.这叫做裂项，因此原式=(1-丄)+(丄-丄)+(丄一丄)=1 一丄=上一从这里可以看出，分 n”+1 2 23 n n+n+n+式的运算还有很多学问呢本讲我们专门研究这一问题.知识拓展】分式的运算以分式的概念、分式的基本性质、运算法则为基础，其中分式的加减运算是雄点，解决这一难 点的关键是根据题目的特点恰当地通分，并以整式变形、因式分解为工具进行运算，通分一般有以下技巧:(1)等式中含有整式，其分母可看作1.(2)当分子的次数
2、高于或等于分母次数时，可将其分离为整式与真分式之和.(3)先约分，后通分，可简化汁算.(4)合理搭配，分组通分，化整为零(5)拆项相消后通分.(6)分步通分，逐步计算(7)换元通分法.一.分步通分法 解析 如一次性通分，最简公分母为1 一妙 可以预见计算量将非常大，注意到后两个分母：(l+x)(l-x)=1-,因此采取各个“击破“法，后两个先通分.4 2 2 解原式 1+X 1+x 1 一 JV 4 4=-+-7 1+x4 1 一兀 4 8=T7?点评:解题中既要看到局部特征，又要有全局考虑 二.裂项通分法 例1计算片 2 1+X2 11 例2(“五羊杯 竞赛题)计算:F+yz 十 _旷 十
3、才+夫了 X2+(y-z)x-yz x2+(z+x)y+zx x2-(x-y)z-xy 解析各分母相距甚远，似乎无从下手考虑将每一分式拆成几个分式之和，化繁为简.解 原式=x(x一 Z)+z(x+y)十 y(y+兀)一x(y+z)十 z(z+y)y(z x)小(x+y)(x _ z)(y+z)(y+x)(z _ x)(z+y)亠+厶)+(亠一亠+(厶一亠)=0 x+y x-z y+z y+x z x z+y 点评：裂项需要很强的变形技巧：因式分解的熟练，添项减项的意识数学技巧需要积累!三.先约分再通分 例3(江西竞赛题)计算：-1 x+l 2(F+1)X3+2x+2x+l x3-2x2+2x-
4、1-l*解析 注意到第一个分母可以分解成(X3+X2)+(A2+2X+1)=(X+1)(A24-X+1),与分子有公因式，可以约分,这样就轻松了.古(x 1)(A+X+1)(兀+1)(入亠x+1)2(x*+1)x 1 x+2(f+1)八工(X+1)(/+X+1)+(X-1)(F-X+1)-(X+l)(x-1)=77T+口 一(X+l)(x-1)四、换元通分法 例4化简.一二厂+以一+1一 丁.U 一 J)(A-z)(y-x)(y-z)(z-x)(z 一 y)解析三个分母有关联，均与兀、y、z的差有关，若设法将分母换成单项式，计算量就小多了，换元试一 试.角翠设 y_z=b,zx=c,贝ija+
5、b+c=0.所以(E+.(宀+(F.(x _ y)(x _ z)(y-x)(y-z)(z-x)(z-y)b2 c2 a2 a3+by+c5(“+b f-3ab(a+/?)+c3 c+3abc+c5=-+-+-=-=-=-=3-ac-ab be ubc-abc-abc 点评：根据分式的特点选取道当的方法.往往事半功倍.五.部分分式法 例5分式 6：一12 一 1()可取的最小值为()X+2x+2 A.4 B.5 C.6 D.不存在 解析当分式的分子为常数时，分母越大，分式值越小、将原式写成一个整式和另一个分式的和即可判断.成几个分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的
6、变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 原式=S-12工+12)-2=&一=6-M x+2x+2+2x+2(x+ir+1 因U卄非负，所以当(宀戶。时，丙而有最大值，原式有最小值6-27选A.例6如果 二丄求乩B的值 3f+14x-24 入+6 4-3x 解析 两分式相等，若分母相等，则分子相等.解由条件得 llx _ A(4-3X)+B(A+6)3X2+14A-24(X+6)(4-3X)即 l
7、lx=-(4A-3Ar+Bx+6B)化简得 1 lx=(3A-BU+(-4A-6B).从而 3AB=11,4A 6B=0 解得A=3,B=2 好题妙解】佳题新题品味 a 4 2 例1(2003年山东荷泽中考题)已知“+丄=5,则匕+=_.a cr 解析 采取部分分式法，原式=Q+1+丄=(“+丄)21=521=24 cr a 例2(2003年江苏南通)先化简代数式：匚二-U一，然后请你自取一组心“的值代 cr 一 b-a+b J(a-b)(a+by 入求值(所取“、b的值要保证原代数式有意义哟).解析有两个途径：先算括号里的式，利用分配律计算原式化简为a+b,取“=1,b=2,原式=3.例3(
8、江苏17届初二竞赛)已知1-1=1,则上少一匕的值等于 _.a b 一 lab 一 b 成几个分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 解析 容易看岀 工0,利用分式的基本性质，分子分母都除以心 将-=1整体代入 a h 丄+1丄 解原式=甘=笔=0.中考真题欣赏 x+2 v=4(河南省中考题)已知 2 是方程组 方法提示：x3)
9、=(x y)(x 2+xy+y2)解析解方程组，求出X、y的值，分式乘法中的分子分母都是多项式，要分解因式，约分化简后，再代入 数值求解.x _2xy+y*+xy+y*y（兀+Ay+y*y x-y y 原式=旦+丄 _2/+丄-2=11 30 19 一2 3 3 5 3 15,从而达到求和的目的.解析 本题是中考的新题型，旨在考査学生的探究能力和逆向思维能力，以及归纳推理能力.通过观察不难发现，每一项分式的分母都是两个奇数的乘积，而且每一个数都比前一项的数多2因为第 的解 求代数式=77 解由方程$x+2y=4 x _ y=_5 15 15 例2(大连市中考题)阅读下列材料.丄1 1 1x3
10、2l 3)1 1+-_ 丄 5x7 2k57 1-1,3x5 213 5 丿.+!+!1x3 3x5 5x7 17x19 2k 3丿 2U 5；2（5 7）2（17 19 丿 卜 2.21 19丿 19 解答问题：在和式+11111+-+17_Aj 通过利用 1x3环+召+中 第项为 法则，将和式中的各分数转化为两个实数之差，使得除首末两项外的中间各项可,上述求和的想法是:成几个分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分
11、子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 3项为肖，如此类推第5项应为召：再观察第一个数总比项数的2倍少1,即加一 1 5 为项数)，而第二个数总比项数的两倍多1,即加+1,故第n项为 丄 由分式的减法知吕-磊=耐故上述求和的想法是通过分式(数)的减法的运用，使得 中间项两两消去.达到求和的目的.竞赛样题展示 例1(2003年“信利杯”竞赛题)已知x=l+,那丄+J-丄二 _.x+2 2-4 x-2 解析 第一、三项先通分，原式二二一,代入A=1+V3,可得其值为一邑.f 一4 2 例2(天津市初二数学竞赛初赛试题)计算：a b 1 1/+31
12、十 a3+a2b+ab2+b 一 a2h+ah2 一 Z?3 a2 一 b1 a2+b2 a4 一 b4 a2+h2(a-)(+/?)(/+戻)/一戻=0 点评分组通分，降低难度.(a+b+by+c5)例3(“五羊杯”初中数学竞赛试题)若正数b、c都增至3倍，则-的值增至 be+ca+ab 多少倍？(3“+3+3胡(3“)+(对+(3C)T(a+b+c)(a3+b3+c3)解析 s/八e增加至3倍：-乙。一=9-一-,所以原式的 3b 3c+3c3+3a-3b be+ca+ab 值增至9倍.过关检测】答案 1 9x11 分式(数)的减法：两两相消.解析原打丙話肝百佶于 趕 a2+3b2 成几个
13、分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 1._ 已知丄+x=2,贝lJx5+l=.2.分式有意义,X的取值范围是（）疋一 2只一3 A.XH3 B XH1 C XH3 或XH-1 D XH3 且XH-1 3已知x2-6v2=-xy,x0,y 0 则分式+的值为（）x-y A.0 B 1 C-5 D 5 i o o2 丁 t 4.
14、（浙江省初二数学竞赛决赛）化简：S=r+二；1+x l+.r 1+x4 1+Z B级 1.已知有理数心b、ca+b+c=0,必=8,那么丄+丄+丄的值是（）a b c A.正数 B.零 C.负数 D.不能确泄 2 已知“、b 满足=记 M=J+N=+a 1+b 1+a 1+b A.MN B M=N C M vN 3-若对于“七以外的一切数雄一Wr去均成立，则山的值是，A.8 C.16 D.-16 4.比较两数籍豔 与 5678901235 J 6789012347 的大小.则M、N的关系为（D.不确定 成几个分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的
15、熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 5.化简：卜+二*1-1 2 1 1 Q X H-r X+3 X X A 1-A-i i 9 X2+-4-2X-+3 _ A X X(y x)(z x)|(z y)(x y)丨(x z)(z)(x+z-2y)(x+y-2z)(x+y-2z)(y+z-2x)(y+z-2x)(x+z-2y)7.求最大的正整数小使得沪+100能被农+10整除.6.讣算:成几个分式之和化繁为简解原
16、式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组11 第四讲分式运算的方法和技巧 1.2提示:取特殊值戈=1即可.2.D 3.D提示：因(z+3y)(a;-2y)=0,/.戈左2儿代入即可.21 1 _ 1 1*1 _严匸口提示；添上二和逐项通分.1.C 2.B 3.D.护一西78901234 画5678901235+1 7=6789012345 J678901
17、2347=772*內为巴、巴上1 所p-5678901234 5678901235 囚刀 2 眄以舒诙2345 6789012347*A 7,8W提示4器川-10 100-醍为整数.(a-A)(6-c)(c-a)(J-6)(A-e)(e-a)(A-6)(6-c)(b-c)(e-aj(c-a)(o-fc)gc(c a)十a6(o-6)十6c(6-c)(a-0)(6 c)(c a 成几个分式之和化繁为简解原式一十兀一十亠厶亠一亠厶一亠小点评裂项需要很强的变形技巧因式分解的熟练添项减 可以约分这样就轻松了古兀入亠原式工一因卄非负所以当宀戶时丙而有最大值原式有最小值选例如果二丄求乩的值入 分式的基本性质分子分母都除以心将整体代入丄丄解原式甘笔中考真题欣赏的解求代数式河南省中考题已知是方程组