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1、11 第一讲因式分解的常用方法和技巧 趣题引路】你知道如何分解因式-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋=)，,贝IJ原式=h+)，3+y2+y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l=(-l)(/+/+/+y+l),则原式=V4+V3+V2+V+1=(y5-1)一1 x-l x2+X+1=(x4+x3+x2+x+l)(x8-x7+x5+x3-x+1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数 学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技 巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、
2、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成 一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指 定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超 过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+/2)(X-/2):在复数域中，它的分解式是 因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外,还有换元法、待定系数法、
3、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.11 一、用换元法分解因式 换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进 行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1(1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X+3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x+l)(x+3)=X+4x+3和(X-1)(X+5)=X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X,可考虑引入辅助元y=x2+4x分解(也可设 y=F+4x+3,y=x+4x-l 等).解原式=(x
4、+l)(x+3)(A-1)(X+5)+12=(x2+4x+3)(x2+4x-5)+12 设 y=x2+4xf 贝!I原式=(y+3)(y-5)+12=r-2y-3=(y-3)(y+l)=(x2+4x+3)(x2+4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段 这里y取(x2+4X+3)和(x2+4X-1)的平均值时分解过程最为简便 例2(2001年天津初二题)分解因式(弓-1)=+(x+_ 2)(x+-2xy).解析 题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d,x+y=b.解设 xy=a,x+y=b,则，原式=(a-1)：+(b-2)(b-2a)=cr-2a+l+
5、br-2b-2cib+4a=a2+b2+l+2a-2ab-2b=(a-b+)2 注：这里用到公式a，+b2+c2+2ab+2bc+lac=(a+b+c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互 为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式 中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就不能再分不然分解式的系数会超过有理数的范围在实数域中它的分解式是在
6、复数域中11 待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用 一些字母来表示待定的系数根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系 数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3(第9届五羊杯初二题)设x3+3x2-2xy+kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k=_.解析 首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解 所得因式可设为x+a和x2+bx+cy,其中 e b,c为待定系数.解 设 x
7、3+3x2-2xy+kx-4y 可分解为(x+a)(x2+bx+cy),贝ij x3+3x2-2xy+kx-4y=x3+(a+b)x2+cxy+abx+acy 比较系数，得 a+b=3,a+b=3 消去 c,得ab=-k,消去 a,b,解得 k=-2.ab=-k a=2 ac=-4 i 点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式 初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)和的立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3
8、ab2+b3 差的立方公式：(a-b)3=a3-3crb+3ab2-b3 三数和的平方公式：(tz+b+c)=a2+b2+c2+2ab 4-lac+2bc 两数 n 次方差公式：a”-bn=(a-b)(anl+an2b+ab2+bnl)三数立方和公式：a3+b3+c=(a+b+c)3-3(a+b)(b+c)(a+c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例 4 分解因式xl5+xl4+xl3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式 a-bn=(a-+a2b+ab2+bnl),令 b=l,得 中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用
9、因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就不能再分不然分解式的系数会超过有理数的范围在实数域中它的分解式是在复数域中11 a=+an2+a+l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以 x-1 解 原it=(x15+x14+X13+-X2+X+1)-_=-x-l x-l=(土+1)(疋+1)(F+l)(x+1)(1)=(x8+l)(x4+l)(x2+l)(x+1)点评 这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常 用到.例5(昆明市初中数
10、学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解 原式=c?一 2ac 十/一 4ab+4ac 4bc+4b=c2+lac+a2-Aab一 4bc+4b2=(c2+2ac+a2)-4b(a+c)+(2b)2=(a+c-2b)2 点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例 6 分解因式(x+2y_77)，+(3x_4y+6zF_(4x_2y_z)B 解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式 a3+c5=(a+b+c)(2+b2+c2-ab-be-ca)+3abc,而(x+2y-7z)+(3x-4y+6乙)+(-4x+2y+z)=0.故原式可分解为
11、3(x+2y-7z)(3x-4y+6乙)(-4x+2y+z)四、用拆项添项法分解因式 在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要 的技巧 例7分解因式：x3-9x+8.解析 多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添 项，式中无二次项，可添加-F+F.解法1将常数项拆成一1+9,中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就
12、不能再分不然分解式的系数会超过有理数的范围在实数域中它的分解式是在复数域中11 原式=/3_9大_+9=疋_1_9(尤_1)=(1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x,原式=X3-X-3X+3=(X3-X)-8(x-l)=x(x+l)(x-1)-8(x-1)=(x-l)(x:+x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X+8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x+l)(x-1)-8(x-l)(x2+x+l)=(X-1)(X2+X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3-x2+x2-9x+8=X2(X-1)+(X-8)(X-1)=(x-l)(x2+
13、x-8)点评 一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性 最强的一种 例8己知x2+x+l=O,试求X8+x4+1的值.解析 设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8=(x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成 2x4-%4.解 原式=8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2=(x2+x+IX%2-x+1)因为疋+1=0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式 因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a)=0,则/(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例 9
14、分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析 设f(x)=x4+2x3-9x2-2x+3,可知/(1)=0,/(-1)=0,因此/有因式(x+l)(x-l),用 综合除法可求另外因式.解 依题意知y(l)=/(-l)=0,故/(x)有因式x-1,x+1,作综合除法：12-9-28 1 1 3-6-8 13-6-80 1 2 8 12-80 中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就不能再分不然分解式的系数会超
15、过有理数的范围在实数域中它的分解式是在复数域中11 因此 f(x)=(x-l)(x+l)(x2+2x-8),则原式=(x-1)(A-+l)(x一 2)(A-+4)好题妙解】佳题新题品味 例1(2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式xrnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取 的整数为.解析 该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而 6=lx(6)=(1)x6=2x(3)=(2)x3,因而 m 可能的值为一5,5,1,1.点评本题训练逆向思维及枚举法.例2(2003年江苏初中竞赛)若a,b,c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A.a2-b2-c2-2bcQ B.a2-
16、b2-c2-2bc=Q C.a2-b2-c2-2bc0 D.a2-b2-c2-2bc0 解析 因a-b1-c2-2bc=a2-(b2+c2+2bc)=a2-(b+c)1=(a+b+c)(a-b-c)而在三角形中，ab+c,即abcQ,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边 中考真题欣赏 例1(武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab=_.解析 将a2+b2-2ab作一组恰为(-b)2与1构成平方差，应填(ab+1)(ab1).例2(北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析 第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是 m3-2nr 一4m+3=m2(m-
17、2)-4(m-2)=(m2 一4)(m-2)=(m2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3(1999年北京中考题)多项式x2+axy+by1-5x+y+6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就不能再分不然分解式的系数会超过有理数的范围在实数域中它的分解式是在复数域中11 解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+y-3）展开比较系数得号
18、;解得 a=l,b=2,因此 a+b=3.竞赛样题展示 例1（江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax3+bx2+l的一个因式，则b的值为（）A.-2 B.-l C.O D.2 解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=2,选A.(23-1)(33 1)(43-1)-(1003-1)(23+1(33+1J43+1)-(1003+1)a3-1 _(a 1)3+a+l)_ fl-1(a+1)3+1(a+2)(a2 4-ti+l)a+2 故呼式=(2-1X3-1)(99-山00，-1)収 玖(23+1)(3+1X4+1)-(100-1)1X2X3X(1OO3-1)3367 小(
19、23+1)x99x100 x101 5050 例3设多项式与多项式F+x-a有非常数公因式，贝仏=_.解析 0或6.因为（兀3-X-d）-（F+x-d）=x（x+l）（x-2）,所以，X-X-d 与 F+兀-4 的公因式必为 X、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x或x+1时，7=0；当公因式为X2时，a=6.例4（2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！解 30、16、34.设直角三角形的三边长分别为4、b、c.由题设得a2+b2c2且a+b+c=80.将 c=SQ-ab 代入a2+b2=c2,整
20、理得 640080a 80b+ab=3200,即（80。）（80）=3200.因为05、b2,b3,c6,令M=abc,N=ab+bc+ca,则 M,N 的大小关系是()A.MN B.Mb B.a=b C.a56,ay(x+y)55 x 1 x56 a880,故茁=5 或 11.若x=5,由 知11;若”=11,知 y=5,此时 8 满足，故/+/=53 4-111=14 -B级 1.A*2.C 3.A,4.999 提示:设千禧数V 为厂则?=1000*4-999(*为自然数)，.?+1=1000(*4-1),(4-1)(2-z+1)=1000(fcl/为奇数，可设戈十1=8 皿(皿为自伏数)
21、，./nCx-x+l)=125(4 4-1),T 面证明5阳-小.若5匕显然肴5卞/-”1,若5、叭设#=5r+p(lwpw4),当p“时，/十1=5+1;当卩二2时,箔44=5n,+3；Sp=3Bt2-jr+l=5n3+2；Sp=4 B,a2-x+1=5n4 i-3.综上所述,5卅弋+1./.M“000I,为使为最小，应取l;“999.经验证得999是“千樓数”，故最小的“千 禧数”是999 5.-3提示;用持定系数法，6.0提示;作差法.因为 d+0+=(aJ+A2)1-2a2frJ+(aa+2a6+61)a-2(aa+a/i+fr1)2=(a2+61)2-(a2+aft+62)2+a1+
22、2a6+62)2-(a2+ab+62)2 2G762=(2a2+2A2+a)(-ab)+(2a2 十3必+262)(a&)-2o智=ab(-2a1-2bz-ab+2o3+3+263-2o5)=Q 7.殺 1997=a，则原式=a(a 4-1)(a+2)(a+3)4 1=(a 4 3a 41)，.8.a=1995?X19962+19951-1 4-1996?+1=(1995 x 1996)2+1996 x(1994+1996)+1=(1995 x 1996+1)2.中恒等变形的一种重要方法它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用因式分解的方法很多技巧性强认真学好因式因式分解与整式乘法的区别是前者是把一个多项式变成个整式的积后者是把个整式的积变成一个多项式因式分解初中数域内可分解为其中每个因式就不能再分不然分解式的系数会超过有理数的范围在实数域中它的分解式是在复数域中