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1、地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 非圆形坑道的近似计算（等代圆法）非圆形坑道的近似计算（等代圆法）非圆形坑道的近似计算（等代圆法）非圆形坑道的近似计算（等代圆法）当坑道的形状不是圆形时，可采用将不同形状当坑道的形状不是圆形时，可采用将不同形状坑道变换成当量的圆形坑道的方法近似地加以分坑道变换成当量的圆形坑道的方法近似地加以分析。析。取断面外接圆半径取断面外接圆半径 h h为断面高，为断面高，b b为跨度之半为跨度之半 取圆拱半径取圆拱半径地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 取大小半径和之半取大小半径和之半以上三种方法都比较简单，
2、对于隧道工程中常用的以上三种方法都比较简单，对于隧道工程中常用的高跨比（高跨比（h/bh/b）0.80.81.251.25大体都是适用的。大体都是适用的。取高度与跨度之和的取高度与跨度之和的1/41/4，此法适用一些大跨度，此法适用一些大跨度 或高边墙的洞室。或高边墙的洞室。根据弹性理论计算分析，各种形状坑道顶点（根据弹性理论计算分析，各种形状坑道顶点（A A点）和侧壁中点（点）和侧壁中点（B B点）的切向应力可用下式表达：点）的切向应力可用下式表达：顶点：顶点：侧壁中点：侧壁中点：式中式中 mm、n n为坑道周边应力计算系数为坑道周边应力计算系数 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法
3、 弹性位移状态弹性位移状态弹性位移状态弹性位移状态 几何方程几何方程 代表径向线段的正应变代表径向线段的正应变 代表环向正应变代表环向正应变 代表剪应变（径向与环向两线段之间的直代表剪应变（径向与环向两线段之间的直 角的改变）角的改变）代表径向位移，代表径向位移，代表环向位移代表环向位移 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法首先假设只有径向位移而没有环向位移，由于这个首先假设只有径向位移而没有环向位移，由于这个径向位移，径向径向位移，径向 线段移到线段移到 ，而，而P P、A A、B B三三点的位移分别为：点的位移分别为：可见，径向线段可见，径向线段PAPA的正应变为：的正应变为：环向
4、线段环向线段PBPB的正应变为：的正应变为：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 径向线段径向线段PAPA的转角为：的转角为：环向线段环向线段PBPB的转角为：的转角为：可见剪应变为：可见剪应变为：其次，假定只有环向位移而没有径向位移，由于这其次，假定只有环向位移而没有径向位移，由于这个环向位移，径向线段个环向位移，径向线段PAPA移到移到 ，环向线段移，环向线段移PBPB到到 ，而三点，而三点P P、A A、B B的位移分别为：的位移分别为：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法可见，径向线段可见，径向线段PAPA的正应变为：的正应变为：环向线段环向线段PBPB的正应变为：的正
5、应变为：径向线段径向线段PAPA的转角为：的转角为：环向线段环向线段PBPB的转角为：的转角为：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 可见剪应变为：可见剪应变为：因此，如果沿径向和环向都有位移，则因此，如果沿径向和环向都有位移，则 这就是极坐标中的几何方程这就是极坐标中的几何方程地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 的情况的情况 在平面应变问题中，物理方程（应力在平面应变问题中，物理方程（应力-应变方应变方程）为：程）为：几何方程为：几何方程为：，由前述知由前述知,时，时，带入上式有：带入上式有：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 上式所求得的径向位移为上式所求得的径
6、向位移为r r处坑道开挖后的相处坑道开挖后的相对径向位移，它包含着坑道开挖前该处存在的径对径向位移，它包含着坑道开挖前该处存在的径向位移向位移 ，则，则r r处因坑道开挖所引起的径向释放位处因坑道开挖所引起的径向释放位移移 。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 坑道开挖前坑道开挖前 则则 当当r=ar=a时，坑道周边处的径向释放位移时，坑道周边处的径向释放位移 为：为：的情况的情况 将吉尔西解中将吉尔西解中 、的表达式的表达式，即，即地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 代入代入式中，同时减去坑道开挖前式中，同时减去坑道开挖前r r处的径向位移处的径向位移值，即可得到坑道开挖
7、后值，即可得到坑道开挖后r r处的径向释放位移处的径向释放位移 当当r=ar=a时，可得到坑道周边径向位移时，可得到坑道周边径向位移 为：为：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 由上分析可知，由上分析可知，值随值随 值的不同而发生变化。当值的不同而发生变化。当 时，坑道断面是均匀缩小的；随着时，坑道断面是均匀缩小的；随着 值的减值的减小，坑道上下顶点继续向坑道内挤入，而水平直径小，坑道上下顶点继续向坑道内挤入，而水平直径处向内挤入少些，变成扁平的断面形状。在多数情处向内挤入少些，变成扁平的断面形状。在多数情况下，坑道顶的垂直位移（沉陷）均大于坑道侧壁况下，坑道顶的垂直位移（沉陷）均大
8、于坑道侧壁（水平直径处）位移。（水平直径处）位移。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 二、坑道开挖后形成的塑性区的二次应力及位移二、坑道开挖后形成的塑性区的二次应力及位移二、坑道开挖后形成的塑性区的二次应力及位移二、坑道开挖后形成的塑性区的二次应力及位移 状态状态状态状态 塑性：塑性：塑性：塑性：是指围岩在应力超过一定值后产生塑是指围岩在应力超过一定值后产生塑 性变形的性质。此时应力即使不增性变形的性质。此时应力即使不增 加，变形仍将继续。加，变形仍将继续。当围岩内应力超过围岩的强度后，对于脆性当围岩内应力超过围岩的强度后，对于脆性 围岩，在坑道周边产生脆性破坏，如岩爆、剥离围岩，在
9、坑道周边产生脆性破坏，如岩爆、剥离等。而对于塑性围岩，则在坑道周边产生径向塑性等。而对于塑性围岩，则在坑道周边产生径向塑性位移位移,形成塑性松动区。形成塑性松动区。应力释放分两种方式，一部分变成向内的径应力释放分两种方式，一部分变成向内的径向位移而消失；另一部分向外应力传至邻近的围岩向位移而消失；另一部分向外应力传至邻近的围岩体，使其应力增高。体，使其应力增高。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 当增高后的围岩应力超过围岩的抗压强度后，当增高后的围岩应力超过围岩的抗压强度后，围岩将继续产生塑性变形，而同时塑性松动区不断围岩将继续产生塑性变形，而同时塑性松动区不断向外扩大。向外扩大。塑
10、性区内的岩体没有失稳，尚有一定的承载能塑性区内的岩体没有失稳，尚有一定的承载能力，它可阻止塑性位移的发展。最后当塑性围岩应力，它可阻止塑性位移的发展。最后当塑性围岩应力小于围岩极限抗压强度时，其塑性松动区停止发力小于围岩极限抗压强度时，其塑性松动区停止发展，形成弹塑性应力平衡状态，在坑道周围形成了展，形成弹塑性应力平衡状态，在坑道周围形成了塑性区（卡斯特纳塑性区）和弹性区。在弹塑性区塑性区（卡斯特纳塑性区）和弹性区。在弹塑性区的交界面上，其应力既满足弹性应力条件又满足塑的交界面上，其应力既满足弹性应力条件又满足塑性应力条件，且位移是相容的。性应力条件，且位移是相容的。地地下下结结构构设设计计原
11、原理理与与方方法法 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 形成塑性变形的塑性判据形成塑性变形的塑性判据形成塑性变形的塑性判据形成塑性变形的塑性判据 对于岩土材料的弹塑性分析求解，多数假定产对于岩土材料的弹塑性分析求解，多数假定产生塑性条件的应力圆包络线是一条直线，即采用摩生塑性条件的应力圆包络线是一条直线，即采用摩尔尔-库仑（库仑（Mohr-CoulombMohr-Coulomb）屈服准则，用下式表示：屈服准则，用下式表示：它取决于围岩的单轴抗压强度它取决于围岩的单轴抗压强度 和内摩擦角和内摩擦角 设塑性区内的径向力设塑性区内的径向力 ，切
12、向应力为，切向应力为 ，则，则有：有：又又 则则 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法将将x x代入有：代入有：或或令令 则则 由图知由图知 ，代入，代入式有：式有：则则式可写成：式可写成：式即为假定坑道周围出现塑性区后，其岩性没式即为假定坑道周围出现塑性区后，其岩性没有变化（即有变化（即c c、值不变）时，判别坑道周围是否出值不变）时，判别坑道周围是否出现塑性区的依据（塑性判据）。现塑性区的依据（塑性判据）。实际上围岩在开挖后由于爆破、应力重分布等影响实际上围岩在开挖后由于爆破、应力重分布等影响已被破坏，其已被破坏，其c c、值皆有变化。
13、值皆有变化。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法设围岩的残余粘结力为设围岩的残余粘结力为 ，残余内摩擦角为，残余内摩擦角为 ，则则式变为：式变为：或或式中式中 ，确定塑性区内的应力确定塑性区内的应力确定塑性区内的应力确定塑性区内的应力 极坐标中的应力平衡微分方程极坐标中的应力平衡微分方程极坐标中的应力平衡微分方程极坐标中的应力平衡微分方程 取出微分体取出微分体PACBPACB，沿，沿r r方向的正应力成为径方向的正应力成为径向正应力向正应力()()，沿，沿 方向的正应力称环向正应力或方向的正应力称环向正应力或切向正应力（切向正应力（），剪应力用），剪应力用 及及 代表。代表。径向及环向
14、的体力分量分别用径向及环向的体力分量分别用 及及 代表。取微代表。取微分体的厚度等于分体的厚度等于1 1，由于，由于 是微小的，可以把是微小的，可以把取为取为 ，把，把 取为取为1 1。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 将微分体所受各力投影到微分体中心的径向轴将微分体所受各力投影到微分体中心的径向轴上，列出径向的平衡方程得：上，列出径向的平衡方程得：对形心取矩：对形心取矩：略去微量得：略去微量得：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 将单元体所有的各力投影到微分体中心的切向轴将单元体所有的各力投影到微分体中心的切向轴上，列出切向
15、的平衡方程得：上，列出切向的平衡方程得：用用 代替代替 ，简化后除以，简化后除以 ，再略去微量得：，再略去微量得：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 塑性区内的应力状态塑性区内的应力状态塑性区内的应力状态塑性区内的应力状态 塑性区内围岩岩性（即塑性区内围岩岩性（即c c、）不变的情况不变的情况 当当 ，且不考虑体力时，且不考虑体力时，式可变为：式可变为：则塑性区内的应力平衡微分方程为：则塑性区内的应力平衡微分方程为：或或 将塑性判据将塑性判据式（即式（即 ）代入）代入地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法整理得：整理得：积分后得：积分后得：引进边界条件：当引进边界条件：当r=a
16、r=a时，时，=0 0，求出积分常数，求出积分常数c c代入上式并整理得：代入上式并整理得：即得：即得：则：则：地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法将将 代入塑性判据式（即代入塑性判据式（即 ）所以塑性区内的应力为：所以塑性区内的应力为：在坑道周边（在坑道周边（r=ar=a）处的应力为：处的应力为：=0=0，=它与它与弹性状态时应力弹性状态时应力 =0=0，=比较要小。这说明比较要小。这说明塑性区围岩因松弛而产生了应力释放。塑性区围岩因松弛而产生了应力释放。地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 地地下下结结构构设设计计原原理理与与方方法法 坑道周边处切向应力由坑道周边处切向应力由 下降到下降到 ，同时应，同时应力向围岩内部转移，在弹塑性交界处形成了一个高力向围岩内部转移，在弹塑性交界处形成了一个高应力的岩石承载环。为维持坑道的稳定而所需要的应力的岩石承载环。为维持坑道的稳定而所需要的支护抗力大为降低。支护抗力大为降低。塑性区内围岩岩性的变化（即塑性区内围岩岩性的变化（即 、）的变）的变化情况化情况 塑性区内围岩应力计算公式：塑性区内围岩应力计算公式：