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1、(Torsion)(Torsion)3-1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例 (Concepts and example problem of torsion)一、工程实例一、工程实例一、工程实例一、工程实例（Example problems)Example problems)(Torsion)(Torsion)(Torsion)(Torsion)MMe eMMe e 二、受力特点二、受力特点二、受力特点二、受力特点（Character of external force)Character of external force)杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、
2、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。三、变形特点三、变形特点三、变形特点三、变形特点（Character of deformation Character of deformation)杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。扭转角（扭转角（）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移任
3、意两截面绕轴线转动而发生的角位移；切应变（切应变（）：直角的改变量直角的改变量。(Torsion)(Torsion)思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变思考题：指出下面图形的切应变 2 2 切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为切应变为0 0(torsion)(torsion)(Torsion)(Torsion)3-2 扭转的内力的计算扭转的内力的计算(Calculating internal force of torsion)从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算一、外力偶矩
4、的计算 (Calculation of external moment)(Calculation of external moment)MMe e作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩作用在轴上的力偶矩(N m)(N m)P P轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率轴传递的功率(kW)(kW)nn轴的转速轴的转速轴的转速轴的转速(r/min)(r/min)n nMMe2MMe1MMe3(Torsion)(Torsion)MMe在在在在n n n n 截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左截面处假想将轴截开取左侧为研究对象侧为研究对象侧为研究对象侧为研究
5、对象二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算二、内力的计算 (Calculation of internal force)(Calculation of internal force)1 1 1 1、求内力、求内力、求内力、求内力(Calculating internal force)(Calculating internal force)截面法截面法截面法截面法 (Method of sections)(Method of sections)T TMMeMMe(Torsion)(Torsion)MexnnMeMexT TMexT T 采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手螺旋法则采用右手
6、螺旋法则,当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指当力偶矩矢的指 向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负向背离截面时扭矩为正，反之为负.2 2 2 2、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定、扭矩符号的规定(Sign convention for torque)(Sign convention for torque)3 3 3 3、扭矩图、扭矩图、扭矩图、扭矩图（Torque diagram)Torque diagram)用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标用平行于杆轴线的坐标 x x 表示横表示横表示横表示
7、横截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的截面的位置；用垂直于杆轴线的坐标坐标坐标坐标 T T 表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正表示横截面上的扭矩，正的扭矩画在的扭矩画在的扭矩画在的扭矩画在 x x 轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在 x x 轴下方轴下方轴下方轴下方.T Tx x+_ _(Torsion)(Torsion)MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n例题例题例题例题1 1 一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速
8、一传动轴如图所示，其转速一传动轴如图所示，其转速 n n=300 r/min =300 r/min，主动轮，主动轮，主动轮，主动轮A A输输输输入的功率为入的功率为入的功率为入的功率为P P1 1=500 kW=500 kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为动轮输出的功率分别为P P2 2=150 kW=150 kW、P P3 3=150 kW=150 kW 及及及及 P P4 4=200=200 kW.kW.试做扭矩图试做扭矩图试做扭矩图
9、试做扭矩图.(Torsion)(Torsion)解解解解:计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe4e4A AB BC CD DMMe1e1MMe2e2MMe3e3n n(Torsion)(Torsion)计算计算计算计算 CACA 段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面段内任横一截面 2-2 2-2 截截截截面上的扭矩面上的扭矩面上的扭矩面上的扭矩 .假设假设假设假设 T T 2 2为正值为正值为正值为正值.结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明结果为负号，说明T T 2 2 应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩应是负值扭矩由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程
10、A AB BC CD D MMe1e1MMe3e3MMe2e22 22 2同理，在同理，在同理，在同理，在 BCBC 段内段内段内段内B BC CxMe2Me3T2MMe4e4Me2x x(Torsion)(Torsion)A AB BC CD D同理，在同理，在同理，在同理，在 BCBC 段内段内段内段内在在在在 ADAD 段内段内段内段内11 133注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2M
11、e2MMe4e4T T1 1T T3 3作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图作出扭矩图4780 Nm4780 Nm9560 Nm9560 Nm6370 N6370 Nmm+_ _从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩从图可见，最大扭矩在在在在 CACA段内段内段内段内.(Torsion)(Torsion)3-33-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 (Torsion of thinwalled cylindrical Vessels)(Torsion of thinwalled cylindrical Vessels)1.1.1.1.实验前实验前实验前实验前
12、1 1）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；）画纵向线，圆周线；2 2）施加一对外力偶）施加一对外力偶）施加一对外力偶）施加一对外力偶.一、应力分析一、应力分析一、应力分析一、应力分析（Analysis of stress)Analysis of stress)薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚（r r0 0圆筒的圆筒的圆筒的圆筒的平均半径）平均半径）平均半径）平均半径）dxxMeMe2.2.2.2.实验后实验后实验后实验后 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间圆筒表面的各圆周线的形状
13、、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.(Torsion)(Torsion)3 3 3 3、推论、推论、推论、推论（Inference)Inference)1)1)横截面上无正应力，只横截面上无正应力，只横截
14、面上无正应力，只横截面上无正应力，只有切应力；有切应力；有切应力；有切应力；2)2)切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与切应力方向垂直半径或与圆周相切圆周相切圆周相切圆周相切.dxt t 圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，圆周各点处切应力的方向于圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化各点处切应力的数值无变化.MMe eMMe e
15、ABDC(Torsion)(Torsion)此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式此式为薄壁筒扭转时横截面上切应力的计算公式.4 4 4 4、推导公式、推导公式、推导公式、推导公式(Derivation of formula)(Derivation of formula)薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致
16、指向与扭矩的转向一致指向与扭矩的转向一致.T T (Torsion)(Torsion)x xd dy yd dz zd dx xy yz z二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)(Shearing Stress Theorem)1 1、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上、在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于只有切应力，其方向于 y y 轴平行轴平行轴平行轴平行.可知，两侧面的内力元素可知，
17、两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 d dy y d dz z 大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成 一个力偶。一个力偶。一个力偶。一个力偶。由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程其矩为其矩为其矩为其矩为(d dy y d dz z)d)dx x(Torsion)(Torsion)x xy yd dy yd dz zz zd dx x2、要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上、下两平面上必有大小在单元体的上
18、、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得数量相等而转向相反，从而可得(d dy y d dz z)d)dx x(Torsion)(Torsion)3 3、切应力互等定理、切应力互等定理、切应力互等定理、切应力互等定理 （Shearing Stress Theore
19、m)Shearing Stress Theorem)单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在，且大小相等，都应力同时存在，且大小相等，都应力同时存在，且大小相等，都应力同时存在，且大小相等，都指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线指相（或背离）该两平面的交线.纯剪切单元体：纯剪切单元体：纯剪切单元体：纯剪切单元体：（Element in pure shear)Element in pure shear)单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上
20、只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.x xy yd dy yd dz zz zd dx x(Torsion)(Torsion)MMe eMMe el式中，式中，式中，式中，r r 为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径为薄壁圆筒的外半径三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律（Hookes law for shear)Hookes law for shear)由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到由图所示的几何关系得到
21、 薄壁圆筒的扭转试验发现，薄壁圆筒的扭转试验发现，薄壁圆筒的扭转试验发现，薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶当外力偶当外力偶当外力偶 MMe e 在某一范围内时，在某一范围内时，在某一范围内时，在某一范围内时，扭转角扭转角扭转角扭转角与与与与MMe e （在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于（在数值上等于 T T ）成正比。成正比。成正比。成正比。TO (Torsion)(Torsion)弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E E，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量，剪切弹性模量G G与泊松比与泊松比与泊松比与泊松比 的关的关的关的关系系系系从从从从 T T 与与与与 之间的线性关系，可推
22、出之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出之间的线性关系，可推出 与与与与 间间间间的线性关系的线性关系的线性关系的线性关系.该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的该式称为材料的剪切胡克律剪切胡克律剪切胡克律剪切胡克律.(Hookes law for shear)(Hookes law for shear)G G 剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量(torsion)(torsion)O O (Torsion)(Torsion)变变形形几几何何关关系系物物理理关关系系静静力力关关系系 观察变形观察变形 提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律
23、建立公式建立公式deformationgeometricrelation Distribution regularity of deformationDistribution regularity of stressEstablish the formulaExamine the deformationthen propose the hypothesis physicalrelationstaticrelation3-43-4 圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析圆杆扭转的应力分析 强度条件强度条件强度条件强度条件（Analyzing stress of circular
24、bars&Analyzing stress of circular bars&strength condition)strength condition)(Torsion)(Torsion)1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象(Deformation phenomenon)(Deformation phenomenon)1)1)轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；轴向线仍为直线，且长度不变；2)2)横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；横截面仍为平面且与轴线垂直；一、变形几何关系一、
25、变形几何关系一、变形几何关系一、变形几何关系(Geometrical(Geometrical Relationship of Deformation)Relationship of Deformation)3)3)径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴径向线保持为直线，只是绕轴线旋转线旋转线旋转线旋转.2 2 2 2、平面假设、平面假设、平面假设、平面假设（Plane assumption)Plane assumption)变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面变形前为平面的横截面 ，变形，变形，变形，变形后仍保持为平面。后仍保持为
26、平面。后仍保持为平面。后仍保持为平面。(Torsion)(Torsion)a aabbd dx xO O1O O23 3 3 3、几何关系、几何关系、几何关系、几何关系（Geometrical relationship)Geometrical relationship)倾角倾角倾角倾角 是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一是横截面圆周上任一点点点点A A 处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变,d,d 是是是是 b-bb-b截面相对于截面相对于截面相对于截面相对于a-a a-a 截面象刚性截面象刚性截面象刚性截面象刚性平面一样绕杆平面一样绕杆平面一样绕杆平面一样绕杆的的的的
27、轴轴轴轴线线线线转动的转动的转动的转动的一个角度一个角度一个角度一个角度.经过半径经过半径经过半径经过半径 O O2 2D D 上任一点上任一点上任一点上任一点G G的的的的纵向线纵向线纵向线纵向线EGEG 也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度也倾斜了一个角度 ，它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点它也就是横截面半径上任一点E E处的切应变处的切应变处的切应变处的切应变TTd d ADG DGE E(Torsion)(Torsion)同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力 均相同均相同均相同均相同
28、，且其值与，且其值与，且其值与，且其值与 成正比，成正比，成正比，成正比，与半径垂直与半径垂直与半径垂直与半径垂直.(torsion)(torsion)二二、物理关系物理关系物理关系物理关系(Physical Relationship(Physical Relationship)由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律由剪切胡克定律a aabATTd dx xDb DO O1O O2GG (Torsion)(Torsion)r rO Od dA Ad dA A T T三、静力关系三、静力关系三、静力关系三、静力关系(Static Relationship(Static Relationshi
29、p）1 1 1 1、公式的建立、公式的建立、公式的建立、公式的建立（Establish the formula)Establish the formula)结论结论结论结论 代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到代入物理关系中得到式中：式中：式中：式中：T T 横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩横截面上的扭矩 求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离求应力的点到圆心的距离I IP P 为横截面对圆心的为横截面对圆心的为横截面对圆心的为横截面对圆心的 极惯性矩极惯性矩极惯性矩极惯性矩(Torsion)(Torsion)WWt t 称作抗扭截面系数
30、，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为 mmmm3 3 或或或或 mm3 3.2 2、的计算的计算的计算的计算（Calculation of Calculation of maxmax)(Maximum Shear-Stress(Maximum Shear-Stress Formula)Formula)r rO OT Td dA Ad dA A maxmax(Torsion)(Torsion)（1 1）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面）实心圆截面(Solid circular section)(Solid circular section)dO3 3
31、 3 3、极惯性矩和、极惯性矩和、极惯性矩和、极惯性矩和抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算抗扭截面系数的计算dODdd（2 2）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面）空心圆截面 (Hollow circular section)(Hollow circular section)其中其中(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题2 2 图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径图示空心圆轴外径D D=100mm=100mm，内径，内径，内径，内径d d=80mm=80mm，MM1 1=6kN=6kNmm，MM2 2=4kN=4kNmm，材料的剪切弹性模量，材料的
32、剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量，材料的剪切弹性模量 G G=80GPa.=80GPa.(1)(1)画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；画轴的扭矩图；(2)(2)求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll(Torsion)(Torsion)（1 1）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图）画轴的扭矩图M1M2ABCllBCBC段段段段1M2CT1T T1 1+MM2 2=0=02M2CM1BT2T T2 2+MM2 2-MM1 1=0=0T T2 2=2kN=2kNmm ABAB段段段段（
33、+）（-）T T1 1=-4kN=-4kNmm最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在最大扭矩发生在BCBC段段段段T Tmaxmax=4kN=4kNmm(torsion)(torsion)4kNm2kNm+_(Torsion)(Torsion)T（2 2）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，）求轴的最大切应力，并指出其位置并指出其位置并指出其位置并指出其位置 max最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径，且垂直于半径，且垂直于半径，且垂直于半径.M1M2ABCll max(Tors
34、ion)(Torsion)1 1 1 1、数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)四、强度条件四、强度条件四、强度条件四、强度条件 (Strength Condition)(Strength Condition)2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用（Application of strength condition)Application of strength condition)强度校核强度校核强度校核强度校核（Check the intensity)Check
35、the intensity)设计截面设计截面设计截面设计截面（Determine the required Determine the required dimensions)dimensions)确定许可核载荷确定许可核载荷确定许可核载荷确定许可核载荷(Determine the allowable load)(Determine the allowable load)(Torsion)(Torsion)ABC解解解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图MAMBMC22 kNkNmm14 kNkNmm+_分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴
36、的强度例题例题例题例题3 3 图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，图示阶梯圆轴，ABABABAB段的直径段的直径段的直径段的直径d d d d1 1 1 1=120=120=120=120mmmm，BC BC BC BC 段的直径段的直径段的直径段的直径 d d d d2 2 2 2=100=100=100=100mmmm.扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为MMA A=22 kNm=22 kNm，MMB B=36 kNm =36 kNm，MMC C =14 kNm.=14 kNm.已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力已知材料的许用切应力 =80 MP
37、a=80 MPa，试，试，试，试校核该轴校核该轴校核该轴校核该轴的强度的强度的强度的强度.因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求因此，该轴满足强度要求.(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题4 4 实心圆轴实心圆轴实心圆轴实心圆轴和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴和空心圆轴（图（图（图（图a a、b b）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩）材料、扭转力偶矩 m m 和长度和长度和长度和长度 l l 均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径若空心圆轴的内外径若空心圆
38、轴的内外径若空心圆轴的内外径之比为之比为之比为之比为 =0.8=0.8，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比比及两轴的重量比比及两轴的重量比比及两轴的重量比.ll(a)(b)分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为分析：设实心圆截面直径为d d1 1，空心圆，空心圆，空心圆，空心圆截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为截面的内、外径分别为 d d2 2、D D2 2;又扭转又扭转又扭转又扭转力偶矩相等，则
39、两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为为为为 T T.已知：已知：已知：已知：dd2D2(Torsion)(Torsion)因此因此因此因此解得解得解得解得两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比积之比积之比积之比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最
40、大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.(Torsion)(Torsion)1 1 1 1、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角、圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的来度量的来度量的 3-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件(Torsional deformation of circular bars&stiffness condition）一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形一、扭转变形(Torsional deformation)To
41、rsional deformation)其中其中其中其中 d d 代表相距为代表相距为代表相距为代表相距为 d dx x 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角.长为长为长为长为 l l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算可按下式计算可按下式计算(Torsion)(Torsion)称作许可称作许可称作许可称作许可单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角(Allowable angle of twist per unit
42、 length)(Allowable angle of twist per unit length)3 3 3 3、刚度条件、刚度条件、刚度条件、刚度条件（Stiffness condition)Stiffness condition)2 2 2 2、单位长度扭转角、单位长度扭转角、单位长度扭转角、单位长度扭转角(Angle of twist per unit length)(Angle of twist per unit length)扭转角扭转角扭转角扭转角GIGIP P 称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度 (torsion)(torsion)(Torsion)(Torsio
43、n)例题例题例题例题5 5 图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径图示等直杆，已知直径d d=40mm=40mm，a a=400mm=400mm，材料的，材料的，材料的，材料的剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量剪切弹性模量G G=80GPa=80GPa，DBDB=1=1.试求：试求：试求：试求：（1 1）ADAD杆的最大切应力；杆的最大切应力；杆的最大切应力；杆的最大切应力；（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACA.a aa a2 2a aMM2 2MM3 3MMA AB BC CD+M2M3M解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外
44、力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MM DBDB=CBCB+DCDC=1=1T Tmaxmax=3=3MMe e(Torsion)(Torsion)（1 1）ADAD杆的最大杆的最大杆的最大杆的最大切切切切应力应力应力应力（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMM2 2MM3 3MMA AB BC CD+M2M3M(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题6 6 某汽车的主传动轴是用某汽车的主传动轴是用某汽车的主传动轴是用某汽车的主传动轴是用 40 40 号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，钢管外号钢的电焊钢管制成，
45、钢管外径径径径D D=76mm=76mm，壁厚，壁厚，壁厚，壁厚t t=2.5mm=2.5mm，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩，轴传递的转矩MM=1.98kNm,=1.98kNm,材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力材料的许用剪应力 =100MPa=100MPa，剪变模量为剪变模量为剪变模量为剪变模量为 G G=80GPa =80GPa，轴的轴的轴的轴的许可许可许可许可扭角扭角扭角扭角 =2 =2 /mm。试校核轴的试校核轴的试校核轴的试校核轴的强度和刚度。强度和刚度。强度和刚度。强度和刚度。DdtMM(Torsion)(Torsion)解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴
46、的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比轴的内，外径之比由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件由刚度条件由刚度条件DdtMM(Torsion)(Torsion)将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使将空心轴改为同一材料的实心轴，仍使 maxmax=96.1MPa=96.1MPad d=47.2mm=47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为实心轴的直径为两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴
47、材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比两轴材料、长度均相同，故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.其截面面积为其截面面积为其截面面积为其截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题7 7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面
48、杆两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆ABAB，在截面，在截面，在截面，在截面C C处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶处受一个扭转力偶矩矩矩矩MM 的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度 GIGIP P，试求杆两，试求杆两，试求杆两，试求杆两端的支反力偶矩端的支反力偶矩端的支反力偶矩端的支反力偶矩.CMabABl(Torsion)(Torsion)解解解解：去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩去掉约束，代之以支反力偶矩这是一次超静定问题，这是
49、一次超静定问题，这是一次超静定问题，这是一次超静定问题，须建立一个须建立一个须建立一个须建立一个补充方程补充方程补充方程补充方程.ACBMMAMBC C截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端截面相对于两固定端A A和和和和B B的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等的相对扭转角相等.杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是CMabABl(Torsion)(Torsion)CMabABl（1 1 1 1）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程）变形几何方程（2 2 2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补
50、充方程）由物理关系建立补充方程解得解得解得解得ACBMMAMB ACAC=BCBC(Torsion)(Torsion)例题例题例题例题8 8 图图图图 示一长为示一长为示一长为示一长为 l l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度抗扭刚度 GGa aI IPa Pa、