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1、土力学与土质学土力学与土质学第第3 3章章 土中应力计算土中应力计算基本内容：基本内容：掌握土中三种应力（掌握土中三种应力（自重应力自重应力、基底压力基底压力以及各种以及各种荷载条件下的土中荷载条件下的土中附加应力）附加应力）计算方法。计算方法。学习基本要求学习基本要求 1.掌握土中自重应力计算；掌握土中自重应力计算；2.掌握基底压力和基底附加压力分布与计算；掌握基底压力和基底附加压力分布与计算；3.掌握掌握圆形圆形面积均布荷载、面积均布荷载、矩形矩形面积均布荷载、面积均布荷载、矩矩形形 面积面积三角形三角形分布荷载以及分布荷载以及条形条形荷载等条件下的土中荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方
2、法；竖向附加应力计算方法；4.了解地基中其他应力分量的计算公式。了解地基中其他应力分量的计算公式。3.1 3.1 概述概述3.1.1 土中应力计算的目的及方法 土中应力增量将引起土的变形变形，从而使建筑物发生下沉、倾斜及水平位移等；土中应力过大时，也会导致土的强度强度破坏，甚至使土体发生滑动而失稳失稳。因此，研究土体的变形、强度变形、强度及稳定性稳定性等力学问题时，都必须掌握先掌握土中应力状态。所以计算土中应力分布是土力学的重要内容。计算土中应力分布可利用弹性力学理论，因为：土的分散性分散性影响；土的非均质性非均质性和非理想弹性非理想弹性的影响；地基土可视为半无限体半无限体。3.1 3.1 概
3、述概述3.1.2 土中一点应力状态分析土中一点应力状态分析 通过平面应力问题分析，一点的应力状态可由x，y，xy或最大、最小主应力1，3完全确定。令：平衡方程斜截面的应力：二、二、应力符号力符号规定定在用摩尔圆进行分析时，法向应力仍以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学中则规定剪应力以逆时针方向为正。3.2土中自重应力计算土中自重应力计算由于土本身的有效重力有效重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般是自土体形成之日起就产生于土中。均质土自重应力计算；成层土自重应力计算；有地下水土时自重应力计算；存在隔水层时水土自重应力计算；土中水平自重应
4、力。在深度z处平面上，土体因自身重力产生的竖向应力cz（称竖向自重应力）等于单位面积上土柱体的重力W，如下图所示。在深度z处土的自重应力为：3.2.1 均质土自重应力计算均质土自重应力计算3.23.2 土中自重应力计算土中自重应力计算从上式可知，自重应力随深度z线线性性增加，呈三角形三角形分布图形。式中：g 为土的重度，KN/m3；A 为土柱体的截面积，m2。3.2.2 成层土自重应力计算成层土自重应力计算3.23.2 土中自重应力计算土中自重应力计算式中：n为从地面到深度z处的土层数；hi为第I层土的厚度，m。地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层的厚度为hi，重度为gi，则在深度
5、z处土的自重应力计算公式为:成层土的自重应力沿深度呈折线折线分布，转折点位于值发生变化的土层界面上。3.2.3 有地下水土时自重应力计算有地下水土时自重应力计算3.23.2 土中自重应力计算土中自重应力计算 当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力浮力作用。通常认为水下的砂性土是应该考虑浮力作用的。粘性土粘性土则视其物理状态而定，一般认为，若水下的粘性土其液性指数IL 1，则土处于流动状态，土颗粒之间存在着大量自由水，可认为土体受到水浮力作用；若IL0，则土处于固体状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力，故认为土体不受水的浮力作用；若0IL1
6、，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受到水浮力作用来考虑。若地下水位以下的土受到水的浮力作用，则水下部分土的重度按有效重有效重度度g g计算，其计算方法同成层土体情况。当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应考虑其上的静水压力静水压力作用。3.2.4 存在隔水层时土的自重应力计算存在隔水层时土的自重应力计算3.23.2 土中自重应力计算土中自重应力计算 i第i层土的天然重度，对地下水位以下的土取有效重度，取i；hw地下水到隔水层的距离(m)。总之：在地下水位以下，如埋藏有不透水层,由于不透水层中不存在水的浮力，所以层面及层面以下的自重应力应按上覆
7、土层的水土总重水土总重计。折线图遇地下水时折线往回收折线往回收；遇不透水层时有一突跃值突跃值。3.2.5 土中水平自重应力计算土中水平自重应力计算3.23.2 土中自重应力计算土中自重应力计算为泊松比，K0也叫侧压系数，（0.330.72），通过实验测定。假定在自重作用下，没有侧向变形和剪切变形。根据弹性力学理论和土体侧限条件，则水平自重应力cx，cy有：水平自重应力：水平自重应力：竖向自重应力：竖向自重应力：静止土压力系数：静止土压力系数：例题：例1：计算如图所示水下地基中的自重应力分布。例2：某工程地基如上图所示，若地下水位从地表下1.5m迅速降到4.5m，假设降水后土的重度不变，试计算降
8、水前后粉质粘土层中土的竖向应力分布图。3.3 基底压力计算建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压基底压力力（地基反力）。也就是作用于基础底面土层单位面积的压力，单位为kPa。基底压力分布及其影响因素影响因素：相对刚度、地基土的性质、基础大小、形状和埋深、作用在基础上的荷载大小、分布和性质等。荷荷载和和土性土性的影响的影响 当荷载较小时，基底压力分布形状如图a，接近于弹性理论解；荷载增大后，基底压力呈马鞍鞍形形(图b)；荷载再增大时，边缘塑性破坏区逐渐扩大，所增加的荷载必须靠基底中部力的增大来平衡，基底压力图形可变为抛物抛物线型型(图d)以至倒倒钟形形分布(图c)。刚性基础放在砂土地基表面时
9、，由于砂颗粒之间无粘结力，其基底压力分布更易发展成图d所示的抛物线形；而在粘性土地基表面上的刚性基础，其基底压力分布易成图b所示的马鞍形。根据弹性理论中圣维南原理，在总荷载保持定值的前提下，地表下一定深度处，基底压力分布对土中应力分布的影响并不显著，而只决定于荷载合力的大小和作用点位置。因此，除了在基础设计中，对于面积较大的片筏基础、箱形基础等需要考虑基底压力的分布形状的影响外，对于具有一定刚度以及尺寸较小的柱下单独基础和墙下条形基础等，其基底压力可近似地按直线分布的图形计算，即可以采用材料力学计算方法进行简化计算。3.3 基底压力计算 3.3.2 基底压力简化计算基底压力简化计算3.33.3
10、 基底压力计算基底压力计算式中p 作用任基础上的竖向力设计值(kN)；G基础自重设计值及其上回填土重标准值的总重(kN)；G=GAd,G 其中为基础及回填土之平均重度，一般取20kN/m3，但在地下水位以下部分应扣去浮力，即取10kN/m3；d 基础埋深，必须从设计地面或室内外平均设计地面算起(m)；A基底面积(m2)，对矩形基础Alb，l和b分别为其的长和宽。对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，取单位长度进行基底平均压力设计值p(kPa)计算，A改为b(m)，而F及G则为基础截面内的相应值(kN/m)。基底压力分布是很复杂的，一般并非线形分布。当基础有一定刚度且基底尺寸较小时，工程上常将基
11、底压力假定为线形分布，应用材料力学理论进行简化计算。（1）轴心荷载下的基底压力计算 3.3.2 基底压力简化计算基底压力简化计算3.33.3 基底压力计算基底压力计算式中:pmax，pmin 分别为基础底面边缘的最大、最小压力设计值(kPa)；R竖向荷载的合力，(kN)；M 作用于基础底面形心的力矩设计值(kN.m)W基础底面的抵抗矩,(m3)（2）偏心荷载下的基底压力计算 3.3.2 基底压力简化计算基底压力简化计算3.33.3 基底压力计算基底压力计算 当el/6时，基底压力分布图呈梯形图(b)；当e=l/6时，则呈三角形图(c)；当el/6时，按计算结果，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负
12、值，即p min0图(c)（2）偏心荷载下的基底压力计算3.33.3 基底压力计算基底压力计算3.3.3 基底附加压力计算 一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才能引起地基的附加应力和变形。基底附加压力基底附加压力是基础底面处地基土在初始应力基础上增加增加的压力。该处的初始应力为基础底面处土的自重应力cd，现有压力为基底压力p，所以基底附加压力p0等于基底压力p与自重应力cd的差，即：3.43.4 土中附加压力土中附加压力土中的附加应力土中的附加应力是由建筑物荷载所引起的应力增量，（即土在初始应力基础上增加增加的应力）。假设地基土是均匀均匀、连续连
13、续、各向同性各向同性的半无限空间线形弹性体线形弹性体，一般采用将基底附加压力当作作用在弹性半无限体表面上的局部荷载，用弹性理论求解的方法计算。竖向集中力作用；任意分布荷载作用下；均布矩形荷载作用；矩形面积三角形分布荷载作用；圆形面积均布荷载作用；条形荷载作用；3.4.1 竖向集中力作用土中附加应力计算竖向集中力作用土中附加应力计算3.43.4 土中附加压力土中附加压力在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面作用一竖向集中力P时，半无限体内任意点M的应力可由布西奈斯克布西奈斯克解计算，如下图所示。工程中常用的竖向正应力sz及地表上距集中力为r处的竖向位移w（沉降）可表示成如下形式：PK土的竖向附加应
14、力系数，是r/z的函数，可由表3.3查得。3.4.2 任意分布荷载作用下土中附加应力计算任意分布荷载作用下土中附加应力计算3.43.4 土中附加压力土中附加压力对实际工程中普遍存在的分布荷载作用时的土中应力计算，如下方法处理：当基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则时，可以把分布荷载分割为许多集中力集中力，然后用布西奈斯克公式和叠加原理叠加原理计算土中应力。当基础底面的形状及分布荷载都是有规律时，则可以通过积分求解积分求解得相应的土中应力。3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算均布矩形荷载作用土中附加应力计算3.43.4 土中附加压力土中附加压力在地基表面作用一分布于矩形面积(lb)上的
15、均布荷载p，计算矩形面积中点下深度z处M点的竖向应力z值，可从下式解得：可用角点法角点法计算矩形均布荷载任意点下的附加应力。3.4.3 均布矩形荷载作用土中附加应力计算均布矩形荷载作用土中附加应力计算3.43.4 土中附加压力土中附加压力矩形面积均布荷载作用下土中任意点下的附加应力计算可利用下式和叠加原理求解，此法称为角点法角点法。3.4.4 矩形面积三角形分布荷载作用矩形面积三角形分布荷载作用3.43.4 土中附加压力土中附加压力 当地基表面作用矩形面积(lb)三角形分布荷载时，为计算荷载为零的角点下的竖向应力值sz1，可将坐标原点取在荷载为零的角点上，相应的竖向应力值sz可用下式计算：（1
16、）荷载强度为零的角点下 sz=Kt1 pt（2）荷载强度最大的角点下 sz=Kt2 pt（3）任意点下的附加应力 亦可按角点法计算。应力系数at是n=l/b和m=z/b的函数，注意注意这里b值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长。3.4.5 圆形面积均布荷载作用圆形面积均布荷载作用3.43.4 土中附加压力土中附加压力（2）周边下土的附加应力计算公式：为了计算圆形面积上作用均布荷载p时土中任一点M(r,z)的竖向正应力，可采用原点设在圆心O的极坐标(如下图)，由公式在圆面积范围内积分求得：（1）圆心下土的附加应力计算公式：式中，m=z/r0，K0、Kr分别为附加应力系数，查表3
17、.11可得。3.4.6 条形荷载作用土中附加应力计算条形荷载作用土中附加应力计算3.43.4 土中附加压力土中附加压力（2）三角形分布条形荷载作用条形分布荷载下土中应力状计算属于平面应变问题，对路堤、堤坝以及长宽比lb10的条形基础均可视作平面应变问题进行处理。（1）均布条形荷载作用下 3.4.7 地基土的非均匀性对附加应力的影响地基土的非均匀性对附加应力的影响3.43.4 土中附加压力土中附加压力在柔性荷载作用下，将土体视为均质各向同性弹性土体时土中附加应力的计算与土的性质无关。但是，地基土往往是由软硬不一的多种土层所组成，其变形特性在竖直方向差异较大，应属于双层地基的应力分布问题。有两种情
18、况：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层即薄压缩层情况；即E1E2时，则土中附加应力分布将发生应力集中应力集中的现象。另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的土层即硬壳层情况，即E1E2，则土中附加应力将发生扩散现象扩散现象。(a)应力集中(b)应力扩散本章小结本章小结介绍了土的自重应力计算、各种荷载条件下的土中附 加 应 力 计 算 及 其 分 布 规 律 等。土中应力指土体在自身重力、建（构）筑物荷载及其他因素作用下附加应力。土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏，甚至使土体发生滑动失稳，引起土体变形，使建筑物发生沉降、倾斜以及水需平位移。注注意意：土是三相体，具有各向异性和非线性。为简便起见，但仍采用弹性理论公式，将地基土视作均匀的、连续的、各向同性的半无限体，满足实际工程的要求。土中自重应力的计算可归纳为，而土中附加应力的计算可归纳为公式介绍了。巩固与提高巩固与提高 问题：问题：1.地基中自重应力的分布有什么特点？2.为什么自重应力和附加应力的计算方法不同？3.影响基底压力分布的因素有哪些？4.目前根据什么假设计算地基中的附加应力？这些假设是否合理可行？作业作业P59 思考题：3.2；3.3；3.5；3.6；3.8。习题：3.1；3.2；3.3；3.5；3.6。