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1、0 趣题引路】如图15-1,用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律，拼成若干个图案.（1）第四个图案中有白色地面砖 _ 块.第n个图案中有白色地而砖 _ 块.第一个图案有白砖数6,第二个图案有白砖数10,第三个图案有白砖数14,第四个图案有白砖数18,6=4x14-2；10=4x2+2；14=4x3+2；18=4x4+2；一般地，第“个图案有白色地砖（4“+2）块.知识拓展】1.多边形的基本知识主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多 边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和左理是解有关多边形问题的基础.2.多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解
2、决，将多边形问题转化为三角形问题来解决是 解多边形问题的基本策略，从凸“边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成（一2）个三角形，凸“边 形一共可引出匕”条对角线.3.多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外 角和的“不变“来制约內角和的“变“，把内角问题转化为外角问题来处理，这也是解多边形相关问题的常用 技巧.4.多边形的内角和为（一2）180。：外角和为360；正多边形的每个内角为,每个外角为迸2.n n 一、多边形的内角与外角 例1（2003年全国联赛题）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）个.A.0 B.1 C.3 D.5 解析由于
3、任何凸多边形的所有外角之和都是360,故外角中钝角的个数不超过3个.又因为内角与 外角互补，因此，内角中锐角最多不能超过3个.实际上，容易构造出内角中有三个锐角的凸10边形.故 选C.点评 把内角问题转化为外角问题考虑.第十五讲多边形的有关问丿 图 15-1 0 例2 个凸边形，除了一个内角外，其余(nl)个角之和为2002,求的值.解析本题实际上是求多边形内角和的延伸，要注意为自然数且每个内角不大于180。这两个隐含条 件.解 设除去的这个内角是X度，贝IJS 2)x180。一屮=2002。，那么(n-2)x180=2002+x显然2002 +屮应是180啲倍数，故x=158,这时求得”=1
4、4 二、多边形的边 例3(2002年全国竞赛题)若人人含几是一个正九边形，儿出=心AiA5=b.则/Ms等于()解析 此题以正九边形为背景，考察观察能力和构造能力.不必画出完整图形，只需画岀有用的局部图 形.解 如图152,延长AAz AS,相交于点连纟吉A2A4,则A2A4/AA且/42人4=八1旳=/九因为正 九边形的每-个内角为吟竺”，所以SM WJ-2)譽540 故 丹局和刊2人4均为正三角形.所以A2P=A2A4=A A3=b.Al A5=A P=A A2+A2 P=a+b选 D 例4(1999年全国联赛题)设有一个边长为1的正三角形，记作川如图15-3(1).将川的每条边三等 分，
5、在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2,如图15-3(2)：将A,的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作缶如图15-3(3)：再将如的每条边三等分，并重 复上述过程，所得到的图形记作/U那么，乐的周长是 _ 解析 从基本图形入手讣算.寻找规律.解 从內开始，每进行一次操作，所得到的图形的周长是原来图形周长的上倍.所以,3 出的周长是-x3=4:3川的周长是卜4斗；凡的周长是=A.a2+b2 B.Ja2+ab+b2 C.*（“+）D a+b（1）（2）（3）图 15-3 第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的
6、边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为()3 3 9 三、多边形的对角线问题 例5(1)11-算凸十边形所有对角线的条数，以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.(2)在凸十边形每个顶点处任意标上一个自然数，在(1)中的三角形，若三个顶点所标三数之和为奇数，则该三角形称为奇三角形；若三数之和为偶数，则称偶三角形，试判断：奇三角形个数是奇数还是偶数，并证明你的结论.解析(1)共有条对角线，因为边与对角线共有45条，每
7、条属于8个三角形的边，贝IJ三 角形个数为兰竺=120个.3(2)奇三角形个数是偶数.因为凸十边形每个顶点属于40个三角形，也就是说凸十边形每个顶点所写 的数在总和中计算了 40次，那么总和应为十顶点所标数和的40倍，则一左是偶数，偶三角顶点之和必为 偶数.故奇三角形个数必为偶数.四、多边形的证明问题 例6已知凸六边形的周长等于20,各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形.求 证：这样的六边形有无穷多个.解析由n边形024)的不稳定性知，若存在一个这样的六边形，则必有无穷多个.故下面寻找是否存 在六个正整数，“2,，“6(不妨设满足(1)q+a2+a=20：(2)Sc,+a2
8、a3,a2+a 3 a49a3+a4 a5,ax+a5 ab 如果这样的六边形存在，则以q，绻为边长的六边形即符合要求.实际上，对任选三个整数 at a.ak ab,必有+at 12.5,而x为整数，取x=13.400 r 所以，甲、乙走了 =104min后走到一条边上.50 中考真题欣赏 例4(吉林省妆口图15-5,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地而，请观察下列图形并解答 有关问题.(1)在第”个图中，每一横行共有 _ 块瓷砖，每一竖列共有 _ 块瓷砖(均用 含”的代数式表示).(2)设铺地而用瓷砖的总数为y,请写出y与中“的函数关系式(不要求写自变量n的取值范带I).(3)按上述铺
9、设方案，铺一块这样的矩形地而共用了 506块瓷砖，求此时“值.(4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中共需花多少元钱购买瓷砖？(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情况？请通过计算说明，为什么？解(1加+3,+2(2)尸(卄3)(卄2)(3)当 y=506 时，5+3)5+2)=506,解得“1=20,”2=25(舍去).白色砖数：n(/?+1)=20 x(204-1)=420.黑色砖数：506-420=86(4)共需钱数：86x4+420 x3=1604(元)(5)如+1)=5+2)5+3)+1),化简得沪一3一6=0,解得辽逅因“的值不是整数，2 一不存在黑、白瓷砖块数相等的
10、情形.解析 n:1 白砖：1x2 2 3 /?2x3 3x4 zi(n+1)4 x 5-2 x 3 5 x 6-3 x 4 (n+2)(/1+3)-n(n+1)黑砖:3x4-lx2 第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为0 竞赛样题展示 例1(2004年江苏省初中竞赛题)在一个多边形中，除了两个内角外，苴内角之和为2002,则这个
11、多 边形的边数为()A.12 B.12 或 13 C.14 D.14 或 15 解析 设这个多边形为”(”为正整数)边形，由题意2002(-2)x 180 2002+360%,.11 13 n Pn+2.另一方而，设对于”+1对点有另一种连法：考虑图中以人为端点的线段，若以为端点的线段的条数大于1,则一泄可以找到一个?匕2,使得 对于任意的都不在所画的线段中，这时，Bi+i,Bi+2,瓦+1，只能与连结，不妨设A+iBi+i,血+必+2,An+iBn+1都已连结，此时图中的线段数为几+i，我们做如下操作:去掉连结AnBi+l,得到新的连结图，而新的连结图满足要求且线段总数不变，将此操作一直进
12、行下去，直到与连结的线段只有一条All+lBll+l为上最后图中，与点相关的线段只剩两条，即 A,.+lBn+i,去掉这两条线段，则剩余几+2条线段，而图形恰是“对点的连结图，所以 由此我们得到 Pn+l=P“+2,而 Pl=l，P?=3,所以 Pn=1+2X(M-1)=2/7-1.(3)当”=2003 时，户200尸4005(条).过关检测】第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以
13、我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为 ()第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为0 A级 1.一个凸边形共有54条对角线，则它的内角和是（）A.1080 B.1440。C 1800 D 1620。2.（1999年全国初中联赛试题）一个凸边形的内角和小于1999,那么的最大值是（）AIl B12 C13 D14 3.
14、（第12届 希望杯邀请赛试题）凸边形中有且仅有两个内角为饨角，则的最大值是（）A.4 B.5 C 6 D 7 4.（美国中小学数学课程标准）如图，用硬纸片剪一个长为16cm.宽为12cm的长方形，再沿对角线 把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 _ cm,周 长最小的是 _ cm 5._ 如图，ABCD是凸四边形，AB=2.BC=4,CD=1.则线段AD的取值范围是 _ 6.如图，五边形 ABCDE 中.AB=AE.BC+DE=CD,ZABC+ZAED=S0Q.连接 AD 求证：AD平分ZCDE.1.一个凸（n4）边形的每个外角的度数均为相等的奇数，则
15、这样的凸多边形共有（）A.4种B.6种C.3种D.2种 第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为0 2.一个凸边形最小内角为95。，其他内角依次增加10。，则“等于（）A.6 B.12 C.4 D 10 3.如图所示，CD/AF,ZCDE=ZBAF,AB丄BC.ZC=124%ZE=80%求ZF 的大小.4.若凸4+2边形人出人”2
16、5 为自然数）的每个内角都是30啲整数倍，且ZAI=ZA2=ZAS=90%求所有可能的值 5.平而上给岀4点，其中任意3点不共线，这4点组成4个三角形请判断：这4个三角形中最多有几 个锐角三角形？证明你的结论.6.已知一个凸n边形各内角度数均相等，且度数是奇数间这样的多边形有几种？证明你的结论.第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化
17、为0 第十五讲多边形的有关问题 A级 1 D 2.C 3.B提示:n边形外角中最多有3个角为牠角，即内角中最多有3个不是锐角，得*3+2=5.4.72,56 5提示：设 A/=xt 则 7-（4+2）7+4+2,得 Jv*vl3 6提示：延长CB至F,使RF=DE,连接4C、4F,则ABFw 佔久4DC,推得乙&CF=乙ACQ=60乙DAC=ZC4F=6O,从而LADC=60,Z.CDE=540-2 x 120 -180 =120.B级 1.B 2.A 3134。连结AC,由于CD/AF.则乙DCA+乙以尸=：180。而乙H=90,则乙BCA十Z.D1C二90。因此,乙 BCD+乙 S4F=1
18、80+90 =270,厶 BAF=厶 CDE=2706-124 =146.所以乙F=（6-2）x 180 -2 x 146 -124 -90 -80。=134.4 1除了乙仆2、乙坷外还有角，不妨设ZAW9O。贝1J此多边形外角和大于360。,这与凸多边 形外角和等于360。矛盾！因此乙4=120。或15O（=4,5,-,4a+2）.设乙人，厶4“中有&个 120。个 150（*,：为非负整数）那么 A+:=4a-13=4n-A-l.因此，（4n+2）、-2 180 =3 x90+*120。+（4几 150,4n=4-jt,Jk=0,n=l.J 5.设平面上4点为/4、B、C、D,则它们的位置
19、只有两种悄况：0在ABC内与。在厶肋C外.假设4个三 角形都是锐角三角形（1）当D在ZUBC内时，显然不满足假设;（2）当。在厶佔C外时，由假设知乙ABC+乙BCD+Z.CD4+厶4x90 =360%而四边形内角和是360。,矛麻故假设不成立.6由于各内角相等侧各外角也相等，且每个外角是型度而内角度数是奇数，那么型是奇数而360 几 n=23 x5,所以几可能为223 x32 x5,25 x3t2J x3 x5,23 x32 x5.这时分别算得每个内角度数为 135175。、171。.165。、177。、179。,均符合条件所以满足条件的多边形有6种.第四个图案有白砖数一般地第个图案有白色地砖块知识拓展图多边形的基本知识主要是指多边形的边内外角对角线凸多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来解决将多边形问题转化为三角形问题来解决是解多边形问题的基本策着多边形的边数变化而变化的但外角和却总是不变的所以我们常以外角和的不变来制约內角和的变把内角问题转化为