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1、北京市 Earlybird 4.3 等腰三角形与直角三角形 易错清单 1.运用等腰(等边)三角形的判定与性质、勾股定理解决有关计算与证明问题,需注意分类讨论思想的渗入.【例 1】一直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边的长为().【解析】本题未明确这两条边是直角边还是斜边,因此两条边中的较长边 4 既可以是直角边,也可以是斜边,所以求第三边的长必须分类讨论,即 4 是斜边或直角边的两种情况,然后利用勾股定理求解.【答案】D 2.两类特殊三角形的组合运用.【例 2】(2014 山东威海)如图,有一直角三角形纸片 ABC,边 BC=6,AB=10,ACB=90,将该直角三角形纸片沿 DE折
2、叠,使点 A与点 C 重合,则四边形 DBCE 的周长为.【解 析】先由 折叠 的性 质 得 AE=CE,AD=CD,DCE=A,进 而得 出,B=BCD,求 得=5,DE为 ABC 的中位线,得到 DE的长,再在 Rt ABC 中,由勾股定理得到 AC=8,即可得四边形 DBCE 的周长.【答案】沿 DE折叠,使点 A与点 C 重合,AE=CE,AD=CD,DCE=A.BCD=90-DCE.又 B=90-A,B=BCD.BD=CD=AD=AB=5.DE为 ABC 的中位线.北京市 Earlybird BC=6,AB=10,ACB=90,四边形 DBCE 的周长为 BD+DE+CE+BC=5+
3、3+4+6=18.【误区纠错】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用.本题中得到 ED是 ABC 的中位线关键.3.勾股定理在折叠问题中的运用.【例 3】(2014 湖北孝感)如图,已知矩形 ABCD,把矩形沿直线 AC折叠,点 B 落在点 E 处,连接 DE,BE,若 ABE 是等边三角形,则=.【解析】过 E 作 EM AB 于点 M,交 DC 于点 N,根据矩形的性质得出 DC=AB,DC AB,ABC=90,设 AB=AE=BE=2a,则 BC=a,即 MN=a,求出 EN,根据三角形面积公式求出两个三角形的面积,即可得出答案.【答案】过 E作 EM AB于点 M,交 DC于点 N
4、,四边形 ABCD 是矩形,DC=AB,DC AB,ABC=90.MN=BC.EN DC.延 AC折叠 B 和 E 重合,AEB 是等边三角形,EAC=BAC=30.斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird【误区纠错】本题考查了勾股定理,折叠的性质,矩形的性质,等边三角形的性质的应用,解此题的关键是求出
5、两个三角形的面积.名师点拨 1.掌握等腰三角形、直角三角形的概念并能做出判断.2.会利用等腰(等边)三角形的性质和判定定理证明相关问题.3.会利用直角三角形的性质与判定解决有关直角三角形的相关问题.4.会利用 HL及其他方法来证明直角三角形全等.提分策略 1.等腰三角形的多解问题.因为等腰三角形的边有腰与底之分,角有底角和顶角之分,等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况.故当题中条件给出不明确时,要分类讨论进行解题,才能避免漏解情况.【例 1】若等腰三角形的一个内角为 50,则它的顶角为.【解析】(1)若这个内角恰好是顶角,则顶角是 50;(2)若这个内角是底角,则顶角=180-2 50
6、=80.【答案】50或 80【例 2】等腰三角形的周长为 16,其一边长为 6,则另两边为.【解析】当腰是 6 时,则另两边是 4,6,且 4+66,满足三边关系定理;当底边是 6 时,另两边长是 5,5,5+56,满足三边关系定理.故该等腰三角形的另两边为:6,4 或 5,5.斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 E
7、arlybird【答案】6,4 或 5,5 2.等腰三角形的性质与判定的运用.(1)通常用 利用线段的垂直平分线进行等线段转换,进而进行角度转换;等边对等角说明两个角相等.(2)要证明一个三角形是等腰三角形,必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有 通过等角对等边得两边相等;通过三角形全等得两边相等;利用垂直平分线的性质得两边相等.(3)等边三角形是特殊的等腰三角形,其中隐含着三边相等和三个角都等于 60的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等.【例 3】如图,在四边形 ABCD 中,AD BC,E是 AB的中点,连接 DE并延长交 CB的延长线于点 F,点 G在边 BC上
8、,且 GDF=ADF.(1)求证:ADE BFE;(2)连接 EG,判断 EG与 DF的位置关系,并说明理由.【解析】先通过平行条件得到两对内错角相等,结合线段中点得到的线段相等,可证明两个三角形全等;由角相等的条件可证明 DFG 是等腰三角形,再结合点 E是 DF的中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明结论.【答案】(1)AD BC,ADE=BFE,DAE=FBE.E是 AB的中点,AE=BE.ADE BFE.(2)EG与 DF的位置关系是 EG DF.GDF=ADF,ADE=BFE,GDF=BFE.GD=GF.由(1),得 DE=EF,EG DF.3.定义、命题、定理、反证法等知识的
9、区别与联系.只有对一件事情作出判定的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird 对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【例 4】在
10、下列命题中,其逆命题是真命题的是.(只填写序号)同旁内角互补,两直线平行;如果两个角是直角,那么它们相等;如果两个实数相等,那么它们的平方相等;如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.【解析】的逆命题:两直线平行,同旁内角互补,正确;的逆命题:相等的两个角是直角,错误;的逆命题:如果两个数的平方相等,那么这两个数也相等,错误,如:22=(-2)2,但 2-2;的逆命题:如果一个三角形是直角三角形,则它的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2,但未说明C 为直角的对边,故错误.【答案】专项训练 一、选择题 1.(2014 江苏镇江外国语学校模拟)在
11、 ABC 中,C=90,AC,BC 的长分别是方程x2-7x+12=0 的两根,ABC 内一点 P 到三边的距离都相等,则 PC为().(第 2 题)2.(2014 山东济南二模)如图,在 Rt ABC 中,BAC=90,D,E 分别是 AB,BC的中点,F 在CA的延长线上,FDA=B,AC=6,AB=8,则四边形 AEDF 的周长为().A.22 B.20 C.18 D.16 二、填空题 3.(2014 江 苏 大 丰 模 拟)已 知 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 等 于 腰 的 一 半,则 底 角 为 度.4.(2013 内 蒙 古赤 峰一 模)等腰 三角 形 的腰长 为 2,
12、腰 上的 高为 1,则 它 的底 角等斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird 于.5.(2013 江苏通州兴仁中学一模)如图,在 Rt ABC 中,C=90,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将 BCD 沿 BD折叠,使点 C 落在 AB边的点 C,那么 ADC 的面积是.(第 5 题)三、解
13、答题 6.(2014 辽宁鞍山 5 校联考)如图,AOB和 COD均为等腰直角三角形,AOB=COD=90,D在 AB上.(1)求证:AOC BOD;(2)若 AD=1,BD=2,求 CD的长.(第 6 题)7.(2014 安徽马鞍山实验学校模拟)如图,点 D 为等腰直角 ABC内一点,CAD=CBD=15.(1)求证:AD=BD;(2)E 为 AD 延长线上的一点,且 CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当 BD=2 时,AC的长为.(直接填出结果,不要求写过程)(第 7 题)斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿
14、折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird 参考答案与解析 3.15 或 75 解析 等腰三角形分钝角和锐角三角形两种情况讨论.4.15 或 75 解析 分钝角三角形和锐角三角形讨论.5.6cm2 解析 根据勾股定理知 AB=10,得 AC=4.再在直角三角形 ACD 中运用勾股定理求得 CD=3,AD=5.(注:设 CD=x,则 CD=x,AD=8-x)6.(1)如图,(第 6 题)1=90-3,2=90-3,
15、1=2.又 OC=OD,OA=OB,AOC BOD.(2)由 AOC BOD,有 AC=BD=2,CAO=DBO=45,CAB=90.7.(1)AC=BC,ACB=90,CAB=ABC=45.CAD=CBD=15,BAD=ABD=30.AD=BD.斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird(2)在 DE上
16、截取 DM=DC,连接 CM.(第 7 题(1)AD=BD,AC=BC,DC=DC,ACD BCD.ACD=BCD=45.CAD=15,EDC=60.DM=DC,CMD 是等边三角形.CDA=CME=120,CE=CA,E=CAD.CAD CEM,ME=AD.DA+DC=ME+MD=DE.AD+CD=DE.(3)延长 CD交 AB于点 H.则 CH AB.HBD=30,BD=2,(第 7 题(2)斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形北京市 Earlybird 斜边因此两条边中的较长边既可以是直角边也可以是斜边所以求第三边的长必须分类讨论即是斜边或直角边的两种情 纸片沿折叠使点与点重合则四边形的周长为解析先由折叠的性质得进而得出求得为的中位线得到的长再在中由勾股定 了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到是的中位线关键勾股定理在折叠问题中的运用例湖北孝感如图已知矩形