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1、北京市 Earlybird 滚动小专题(九)圆的有关计算与证明 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 1如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，OD AC，垂足为 E，连接 BD.(1)求证：BD平分ABC；(2)当ODB 30时，求证：BC OD.证明：(1)ODAC，OD为半径，CDAD.CBD ABD.BD平分ABC.(2)OBOD，OBD ODB 30.AOD OBDODB303060.又ODAC 于 E，OEA90.A180OEAAOD 180906030.又AB为O的直径，ACB 90.在 RtACB中，BC 12AB，OD 12AB，BC OD.2(2016温
2、州)如图，在ABC中，C90，D是 BC边上一点，以 DB为直径的O经过 AB的中点 E，交 AD延长线于点 F，连接 EF.(1)求证：1F；(2)若 sinB 55，EF2 5，求 CD的长 解：(1)证明：连接 DE.BD是O的直径，DEB 90.E是 AB的中点，DA DB.1B.BF，北京市 Earlybird 1F.(2)1F，AE EF2 5.AB 2AE 4 5.在 RtABC中，AC AB sinB 4，BC AB2AC28.设 CD x，则 AD BD 8x，AC2CD2AD2，即 42x2(8 x)2，x3，即 CD 3.3(2016苏州)如图，AB是圆 O的直径，D、E
3、为圆 O上位于 AB异侧的两点，连接 BD并延长至点 C，使得 CD BD.连接 AC交圆 O于点 F，连接 AE、DE、DF.(1)证明：EC；(2)若E55，求BDF的度数；(3)设 DE交 AB于点 G，若 DF 4，cosB23，E是弧 AB的中点，求 EGED 的值 解：(1)证明：连接 AD.AB是O的直径，ADB 90，即 ADBC.CD BD，AD垂直平分 BC.AB AC.BC.BE，EC.(2)四边形 AEDF是O的内接四边形，AFD 180E.又CFD 180AFD，CFD E55.又EC 55，BDF CCFD 110.(3)连接 OE.CFD AEGC，FD CD B
4、D 4.在 RtABD中，cosB23，BD 4，AB 6.E是AB的中点，AB是O的直径，AOE 90.AO OE 3，AE 3 2.E是AB的中点，ADE EAB，AEG DEA.AEEGDEAE，即 EGED AE218.类型 2 与圆的切线有关的计算与证明 4(2016南充)如图，在 RtABC中，ACB 90，BAC的平分线交 BC于点 O，OC 1，以点 O为圆心，OC为点交延长线于点连接求证求的长若解证明连接是的直径是的中点北京市在中设则即即苏州如图是圆的直径为圆上位于直径即垂直平分四边形是的内接四边形又又连接在中是的中点是的直径是的中点即类型与圆的切线有关的计算与证明是的切线是
5、的切线在和中设为则在中即不合题意舍去解得威海如图在中点为边上一点以为直径的与相切于点点为与的北京市 Earlybird 半径作圆(1)求证：AB为O的切线；(2)如果 tan CAO 13，求 cosB 的值 解：(1)证明：作 ODAB 于点 D.AO平分CAB，OCAC，OD OC.OC是O的半径，AB是O的切线(2)ACB90，AC是O的切线AC AD.在 RtACB和 RtOBD中，ABC OBD，ABC OBD，OBABODACOCACtan CAO 13.OC OD 1，AC AD 3.设 OB为 x，则 AB 3x，BD AB AD 3x3.在 RtODB中，OB2OD2DB2，
6、即 x212(3x 3)2.解得 x154，x21(不合题意，舍去)DB 34，cosBDBOB35.5(2016威海)如图，在BCE中，点 A为边 BE上一点，以 AB为直径的O与 CE相切于点 D，AD OC，点 F 为OC与O的交点，连接 AF.(1)求证：CB是O的切线；(2)若ECB 60，AB 6，求图中阴影部分的面积 解：(1)证明：连接 OD，与 AF相交于点 G.CE与O相切于点 D，OD CE.CDO 90.ADOC，ADO DOC，DAO BOC.OA OB，ADO DAO.DOC COB.点交延长线于点连接求证求的长若解证明连接是的直径是的中点北京市在中设则即即苏州如图
7、是圆的直径为圆上位于直径即垂直平分四边形是的内接四边形又又连接在中是的中点是的直径是的中点即类型与圆的切线有关的计算与证明是的切线是的切线在和中设为则在中即不合题意舍去解得威海如图在中点为边上一点以为直径的与相切于点点为与的北京市 Earlybird 在CDO和CBO中，CO CO，DOC BOC，OD OB，CDO CBO(SAS)CBO CDO 90.CB是O的切线(2)由(1)可知OCDBCO，DOC COB，ECB 60，OCD 12ECB 30.DOC COB 60.AOD 60.OA OD，OAD 是等边三角形 AD OD OF.在FOG和ADG 中，DOCADG，FGO AGD，
8、OF AD，FOG ADG(AAS)SADGSFOG.AB 6，O的半径 r3，S阴影S扇形 ODF603236032.6(2016十堰)如图 1，AB为半圆 O的直径，D为 BA的延长线上一点，DC为半圆 O的切线，切点为 C.(1)求证：ACDB；(2)如图 2，BDC的平分线分别交 AC，BC于点 E，F；求 tan CFE的值；若 AC 3，BC 4，求 CE的长 解：(1)证明：连接 OC.OA OC，OAC ACO.CD是O切线，OC CD.DCO 90.ACD ACO 90.AB是直径，OAC B90.ACD B.(2)CEFECDCDE，CFE BFD B，点交延长线于点连接求
9、证求的长若解证明连接是的直径是的中点北京市在中设则即即苏州如图是圆的直径为圆上位于直径即垂直平分四边形是的内接四边形又又连接在中是的中点是的直径是的中点即类型与圆的切线有关的计算与证明是的切线是的切线在和中设为则在中即不合题意舍去解得威海如图在中点为边上一点以为直径的与相切于点点为与的北京市 Earlybird CDE FDB，ECD B，CEF CFE.ECF 90，CEF CFE 45.tan CFE tan45 1.在 RtABC中，AC 3，BC 4，AB AC2BC25.CDA BDC，DCA B，DCA DBC.DCDBACCBDADC34.设 DC 3k，DB 4k，CD2DADB，9k2(4k 5)4k.k207.CD 607，DB 807.CDE BDF，DCE B，DCE DBF.ECFBDCDB.设 EC CFx，x4x607807.x127.CE 127.点交延长线于点连接求证求的长若解证明连接是的直径是的中点北京市在中设则即即苏州如图是圆的直径为圆上位于直径即垂直平分四边形是的内接四边形又又连接在中是的中点是的直径是的中点即类型与圆的切线有关的计算与证明是的切线是的切线在和中设为则在中即不合题意舍去解得威海如图在中点为边上一点以为直径的与相切于点点为与的