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1、2019年中考数学总复习巅峰冲刺 专题 02 新定义坯解问题【难点突破】着眼思路，方法点拨，疑难突破；新定义问题：是指题目提供一定的材料，或介绍一个新概念，或给出一种解法等，在理解材料的基础上，获得探索解决问题的方法，从而加以运用，解决问题.这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部 分组成解决此类题的步骤：理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题。解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”一一明确
2、“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学 思想方法解决题目中需要解决的问题。类型 1:方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答 题目中所提出的问题.类型 2:新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后 要学到的数学知识，也有可能是其他学
3、科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题解答这类 问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已 学的 知识进行解决.类型 3:信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获得信息，并结合题意进行解答，这就需 要我们将表格内容转化为数学信息或者已知条件。类型 4:阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要 学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题解答这类问 题的关键是要读懂题目提供 的新知识，理解其本质，把 它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学 的知识
4、进行解决.【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创 1】2018 年某省积极推进乡村规划和特色小城镇建设，各市地将结合本地实际，因地制宜培育一到 三个设施完善、特色鲜明的典型示范镇，全面推进特色小城镇建设。为响应上级文件精神，某乡镇决定改 造办公大楼前的一小广场.如图是该广场的平面示意图，它是由 6 个正方形拼成的长方形，已知中间最小 的正方形A的边长是 10 米.若设图中最大正方形 B的边长是 x米，请用含x的代数式分别表示出正方形 F、E和C的边长；(2)观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的(如图中的 MQ 和 PN).请根据这个等量关系，求出 x 的值；(3)现沿着正方形
5、广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要 15 天、20 天完成.两 队合作施工 6 天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独施工，试问还要多少天完成?F 暑B E D C【原创 2】(2018?江苏扬州？8 分)对于任意实数 a,b，定义关于“？”的一种运算如下：a?b=2a+b.例如 3?4=2X 3+4=10.(1)求 2?(-5)的值；(2)若 x?(-y)=2,且 2y?x=-1,求 x+y 的值.【原创 3】(2016 重庆巴蜀二诊)古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥拉斯所创立，毕达哥拉斯 学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，如他
6、们研究各种多边形数：记第 n 个 k k 2 o 4 k 边形数 N(n,k)=厂 n+n(n 1,k 3,k、n都为整数)，3 2 2 4 3 如第 1 个三角形数 N(1,3)=厂X 1+厂X 1=1;3 2 2 4 3 第 2 个三角形数 N(2,3)=X 2+X 2=3;4 2 2 4 4 第 3 个四边形数 N(3,4)=X 3+X 3=9;4 2 2 4 4 第 4 个四边形数 N(4,4)=X 4+X 4=16.(1)_ N(5,3)=_,N(6,5)=；若 N(m,6)比 N(m+2,4)大 10,求 m 的值；(3)若记 y=N(6,t)N(t,5)，试求出 y 的最大值.【
7、典题精练】典例精讲，运筹帷幄，举一反三;n2,*10【例题 1】对于正整数 n，定义 F(n)=，其中 f(n)表示 n 的首位数字、末位数字的平方和.例 f(n),n 10 2 2 2 如：F(6)=6=36,F(123)=f(123)=1+0=1,.规定 F1(n)=F(n),Fk+1(n)=F(Fk(n).例如:R(123)=F(123)=10,F2(123)=F(F 1(123)=F(10)=1.(1)求：F2(4)和 F2015(4)；若 F3n(4)=89,求正整数 m 的最小值.【例题 2】阅读理解：如图 1 3 1，O O 与直线 a,b 都相切，不论O O 如何转动，直线 a
8、,b 之间的距 离始终保持不变(等于OO的直径)，我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”，图是利用圆的这一特 性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进，据说，古埃 及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图所示的弧三角形(也称为莱洛三角形)也是“等宽曲线”，如图，夹在平行线 c,d 之间 的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线 c,d 之间的距离等于 2 cm,则莱洛三角 形的周长为 _2 n _ cm.【例题 3】(2018 四川自贡 10 分)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550
9、-1617 年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到 18 世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783 年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若 ax=N(a 0,1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：x=log aN.比如指数式 24=16 可以转化为 4=log216，对数式 2=log 525 可以转化为 52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga(M?N=log aM+logaN(a 0,a丰1,M 0,N 0);理由 如下：设 log aM=m log aN=n,则 M=a,N=a M?N=a?an=am+n,由对数的定义得
10、 m+n=loga(M?N 又T m+n=logaM+logaN log a(M?N=log aM+logaN 解决以下问题：(1)将指数 43=64 转化为对数式 3=log 464;(2)证明 log a=log aM-log aN(a0,a丰 1,M 0,N 0)N(3)拓展运用：计算 log 32+log 36-log s4=1.o o o o 1 k【例题 4】有这样一个问题：探究同一平面直角 坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y=存与 y=-（k 工 0）k x 的图象性质.1 k 小明根据学习函数的经验，对函数 y=广与 y=，当 k0 时的图象性质 进行了探究.k x 下面
11、是小明的探究过程：1 k（1）如图所示，设函数 y=x 与 y=图象的交点为 A,B.已知 A 点的坐标为（一 k,-1），则 B 点的坐标为 _（k,k x 若点 P 为第一象限内双曲线上不同于点 B 的任意一点.设直线 PA 交 x 轴于点 M,直线 PB 交 x 轴于点 N.求证：PM=PN.ka+b=1,k 证明：设 P m 一，直线 PA 的表达式为 y=ax+b（a丰0），贝 U k m ma+b=_,a=解得 b=1 k 直线PA的表达式为 y=m+请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.当 P 点坐标为（1,k）（k丰1）时，判断 PAB 的形状，并用 k 表示出 PA
12、B 的面积.【最新试题】名校直考，巅峰冲刺，一步到位。k-1 m 备用图 x、选择题:1.定义 x表示不超过实数 x的最大整数，如 1.8=1,1.4=2,3=3.函数y=x的图象如 1 2 图所示，则方程 X=尹2的解为()A.0 或 羽 B.0 或 2 C.1 或 羽 口 迄 或 迄 N(2,2)都是“平衡点”.当一 KxW3时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，贝U m 的取值范围是 A.0 m 1 B.3 m1 C.3 me 3 D.1 m0 3.(2018 湖南省常德 3 分)阅读理解：a,b,c,d 是实数，我们把符号*b称为 2 X 2 阶行列式,c d 2.定义：点 A(x,
13、y)为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y,则把点 A 叫做“平衡点.例如:M(1,1),x 并且规定:=aX d-bX c,例如:2=3X(-2)2-2X(-1)=-6+2=-4.二元一次方程组 a I b 7-c 1 的解可以利用 2X 2 阶行列式表示为:问题：对于用上面的方法解二元一次方程组 2 1 A.D=-7 3 2 Dx=-14 f2K+y=l 3x-2y=12 D=27 D.方程组的解为 lv=-3 4.(2017 湖南岳阳)已知点 1 A 在函数 y1=-(x 0)的图象上，点 B 在直线 y2=kx+1+k(k 为常数，且 k 时,F 面说法错误的是()0)上若 A,B 两
14、点关于原点对称，则称点 A,B 为函数 y1,y2图象上的一对“友好点”请问这两个函 数图象上的“友好点”对数的情况为()A.有 1 对或 2 对 B 只有 1 对 C 只有 2 对 D 有 2 对或 3 对 二、填空题：一 一 1 1 5.在平面直角坐标系 xOy中，对于不在坐标轴上的任意一点 P(x,y),我们把点 P(x，y)称为点P的“倒 k 影点”.直线y=x+1 上有两点A,B,它们的倒影点 A,B均在反比例函数 y=-的图象上.若 AB=2 x 枣，贝y k=.6.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角 形，另外一个三角形和原三角
15、形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图 Z3 4,线段。是厶ABC的“和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBDA ABCf似，/A=46，则/ACB的 度数为 _.7.在平面直角坐标系中，如果点 P 坐标为(m,n)，向量6P 可以用点 P 坐标表示为0F=(m,n).已知：OA=(x 1,yd,6BX2,y2)，如果 X1X2+=0,那么 OA 与相垂直，下列四组向量：0G=(2,1),0D=(1,2)；8E=(cos30,tan45),8F=(1,sin60)；0G=(3 2,2),0H=3+2,1；0M=(n 0,2),0IN=(2,1).其中互相垂直的是 _(填上所有
16、正确答案的序号)8.(2018 随州中考)我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环 小数，事实上，所有的有理数都可 以化为分数形式(整数可看作分母为 1 的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将 0.7 化为分数形式，由于 0.7=0.777，设 x=0.777，贝U 10 x=7.777，7 7 一得 9x=7,解得 x=9,于是得 0.7=9.3 1 4 13 同理可得 0.3=-=-,1.4=1+0.4=1+-=-.9 3 9 9 根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简 分数表示)【基础训练】(1)0.5=_,5.8=_;将 0.2 3 化为分
17、数形式，写出推导过程；【能力提升】(3)0.3 15=_,2.01 8=_;(注：0.3 15=0.315 315，2.01 8=2.018 18)【探索发现】(4)试比较 0.9 与 1 的大小：0.9 1;(填“”“v”或“=”)2 若已知 0.2 85 714=7，贝 U 3.7 14 285=_.(注：0.2 85 714=0.285 714 285 714)三、解答题：b(a 0),9.设 a,b 是任意两个实数，规定 a 与 b之间的一种运算“”为：a b=a a b(aw 0).3 2 x 1 _ 2 例如：1(3)=3,(3)2=(3)2=5,(x2+1)(x 1)=(因为 x
18、2+10).I x+I 参照上面材料，解答下列问题：(1)2 4=_,(2)4=_;1 若 x2,且满足(2x 1)(4x 2 1)=(4)(1 4x)，求 x 的值.10.对任意一个四位数 n,如果千位与十位上的数字之和为 9,百位与个位上的数字之和也为 9,则称 n 为“极数”.(1)请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是 99 的倍数，请说明理由；(2)如果一个正整数 a 是另一个正整数 b 的平方，则称正整数 a 是完全平方数若四位数 m 为“极数”，记 D(m=，求满足 D(m 是完全平方数的所有 m.3 3 11.我 们定义：如图 1 3 4，在 ABC 中，把 AB
19、 点绕点 A 顺时针旋转a(0 VaV 180)得到 AB,把 AC 绕点 A逆时针旋转 3得到 AC,连结 B C.当a+3=180。时，我们称 AB。是厶 ABC 的“旋 补三角形”，AB C 边 B C上的中线 AD 叫做 ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”.特例感知：(1)在图，图中，AB。是厶 ABC 的“旋补三角形”，AD ABC 的“旋补中线”.如图，当 ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD=_BC;如图，当/BAC=90,BC=8 时，贝 U AD 长为 猜想论证：(2)在图中，当 ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量 关系，
20、并给予证明.拓展应用 如图，在四边形 ABCD 中，/C=90，/D=150,BC=12,CD=2 丿 3,DA=6.在四边形内部是否存 在点卩，使厶 PDC 是厶 PAB 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 PAB 的“旋补中线”长；若不存 在，请说明理由.12.在 平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(3,5)与(5,3)是一对“互换点”.(1)任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？M,N 是一对“互换点”，若点 M 的坐标为(m,n)，求直线 MN 的表达式(用含 m n 的代数式表示)；在抛物线 y=x2+bx+c 的图象上有一对“互换点”A,B,其中点 A 在反比例函数 y=-的图象上，直 x 1 1 线 AB 经过点 P 2,2，求此抛物线的表达式.