概率论课本习题答案.pdf

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1、 概 率 论 课 本 习 题 答 案 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2.设在 15 只同类型零件中有 2 只为次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不 放回抽样，以 X 表示取出的次品个数，求：（1）X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图；(3)1 3 3,1,1,1 22 2 2P X P X P X P X.【解】3133151 22 133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35XP XP XP X 故 X 的分布律为 X 0 1 2 P 2235 1235 135（2）当 x

2、0 时，F（x）=P（X x）=0 当 0 x1 时，F（x）=P（X x）=P(X=0)=2235 当 1 x2 时，F（x）=P（X x）=P(X=0)+P(X=1)=3435 当 x 2 时，F（x）=P（X x）=1 故 X 的分布函数 0,022,0 135()34,1 2351,2xxF xxx(3)精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1 1 22()(),2 2 353 3 34 34(1)()(1)02 2 35 353 3 12(1)(1)(1)2 2 3534 1(1 2)(2)(1)(2)1 0.35 35P X FP X F FP X

3、 P X P XP X F F P X 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2 的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设 X 表示出事故的次数，则 Xb（1000，0.0001）(2)1(0)(1)P X P X P X 0.1 0.11 e 0.1 e 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足 P X=1=P X=2，求概率 P X=4.【解】设在每次试验中成功的概率为 p，则 1 4 2 2 35 5C(1)C(1)p p p p 故 13p 所以 4 451 2 1

4、0(4)C()3 3 243P X.9.设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号，（1）进行了 5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了 7 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1）设 X 表示 5 次独立试验中 A 发生的次数，则 X6（5，0.3）5553(3)C(0.3)(0.7)0.16308k k kkP X(2)令 Y表示 7 次独立试验中 A 发生的次数，则 Yb（7，0.3）7773(3)C(0.3)(0.7)0.35293k k kkP Y 10.某公安局在长度为 t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数

5、 X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（1）求某一天中午 12 时至下午 3 时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次呼救的概率.【解】（1）32(0)e P X(2)52(1)1(0)1 e P X P X 12.某教科书出版了 2000 册，因装订等原因造成错误的概率为 0.001，试求在这 2000 册书中恰有 5 册错误的概率.【解】令 X 为 2000 册书中错误的册数，则 Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,2000 0.

6、001 2 np 得 2 5e 2(5)0.00185!P X 14.有 2500 名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为 0.002，每个参加保险的人在 1 月 1 日须交 12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取 2000 元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于 10000 元、20000 元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1）在 1 月 1 日，保险公司总收入为 2500 12=30000 元.设 1 年中死亡人数为 X，则 Xb(2500,0.002)，则所求概率为(2000 30000)(15)1(14

7、)P X P X P X 由于 n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有 5140e 5(15)1 0.000069!kkP Xk(2)P(保险公司获利不少于 10000)(30000 2000 10000)(10)P X P X 5100e 50.986305!kkk 即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上 P（保险公司获利不少于 20000）(30000 2000 20000)(5)P X P X 550e 50.615961!kkk 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 即保险公司获利不少于 20000 元的概率约为 62%16.设

8、某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 X 的密度函数为 f(x)=.100,0,100,1002xxx 求：（1）在开始 150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F（x）.【解】（1）1502100100 1(150)d.3P X xx 3 312 8(150)()3 27p P X(2)1 22 31 2 4C()3 3 9p(3)当 x100 时 F（x）=0 当 x 100 时()()dxF x f t t 100100()d()dxf t t f t t 2100100 100d 1xtt x 故 1001,100()0,0 xF x

9、xx 18.设随机变量 X 在 2，5上服从均匀分布.现对 X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于 3 的概率.【解】XU2,5，即 1,2 5()30,xf x 其他 531 2(3)d3 3P X x 故所求概率为 2 2 3 33 32 1 2 20C()C()3 3 3 27p 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X（以分钟计）服从指数分布1()5E.某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他就离开.他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出 Y的分布律，并求

10、P Y 1.【解】依题意知1()5X E，即其密度函数为 51e,0()50,xxf x x 0 该顾客未等到服务而离开的概率为 25101(10)e d e5xP X x 2(5,e)Y b,即其分布律为 2 2 552 5()C(e)(1 e),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1 e)0.5167k k kP Y k kP Y P Y 20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X 服从 N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从 N（50，42）.（1）若动身时离火车开车只有 1 小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

11、（2）又若离火车开车时间只有 45 分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则 40 60 40(60)(2)0.9772710 10 xP X P 若走第二条路，XN（50，42），则 50 60 50(60)(2.5)0.99384 4XP X P+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若 XN（40，102），则 40 45 40(45)(0.5)0.691510 10XP X P 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 若 XN（50，42），则 50 45 50(45)(1.25)4 4XP X P 1(1.

12、25)0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设 XN（3，22），（1）求 P2 X 5，P 4X 10，P X 2，P X 3;（2）确定 c 使 P X c=P X c.【解】（1）2 3 3 5 3(2 5)2 2 2XP X P 1 1(1)(1)12 20.8413 1 0.6915 0.5328 4 3 3 10 3(4 10)2 2 2XP X P 7 70.99962 2(|2)(2)(2)P X P X P X 3 2 3 3 2 32 2 2 21 5 1 51 12 2 2 20.6915 1 0.9938 0.6977X XP P 3 3 3(3)()1(

13、0)0.52 2XP X P-(2)c=3 22.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在 10.05 0.12 内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】10.05 0.12(|10.05|0.12)0.06 0.06XP X P 1(2)(2)21(2)0.0456 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 28.设随机变量 X 的分布律为 X 2 1 0 1 3 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求 Y=X2 的分布律.【解】Y可取的值为 0，1，4，9 1(0)(0)51 1 7(1)(1)(1)6 15

14、 301(4)(2)511(9)(3)30P Y P XP Y P X P XP Y P XP Y P X 故 Y的分布律为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 49.设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量 Y=e2X的概率密度 fY(y).【解】1,1 2()0,Xxf x 其他 因为 P（1X2）=1,故 P（e2Ye4）=1 当 y e2 时 FY（y）=P(Y y)=0.当 e2ye4 时，2()()(e)XYF y P Y y P y 1(1 ln)2P X y 1ln211d ln 12yx y 当 y e4 时，()()1YF y

15、 P Y y 即 22 440,e1()ln 1,e e21,eYyF y y yy 故 2 41,e e2()0,Yyy f y 其他 8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 f（x，y）=4.8(2),0 1,0,0,.y x x y x 其他 求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y x204.8(2)d 2.4(2),0 1,=0,.0,y x y x x x 其他()(,)dYf y f x y x 12y4.8(2)d2.4(3 4),0 1,=0,.0,y x xy y y y 其他 题

16、8 图 题 9 图 9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,0,其他e y xy 求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y e d e,0,=0,.0,y xxy x 其他()(,)dYf y f x y x 0e d e,0,=0,.0,yy xx y y 其他 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 题 10 图 10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=.,0,1,2 2其他y x y cx（1）试确定常数 c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)d d(,)d dDf x y x y f x

17、y x y 如图 21 12-14=d d 1.21xx cx y y c 得214c.(2)()(,)dXf x f x y y 212 4 221 21(1),1 1,d8 40,0,.xx x x x y y 其他()(,)dYf y f x y x 522217d,0 1,420,0,.yyx y xy y 其他 13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8 0.4 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布；（2）X 与 Y 是否相互独立？【解】（1）X 和 Y的边缘分布如下表 2 5 8 P Y=yi 0.

18、4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.8 0.05 0.12 0.03 0.2 iP X x 0.2 0.42 0.38(2)因 2 0.4 0.2 0.8 P X P Y 0.16 0.15(2,0.4),P X Y X Y X Y 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 故 X 与 Y不独立.22.设随机变量 X 和 Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于 X 和 Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y1 y2 y3 P X=xi=pi x1 x2 1/8 1/8 P Y=yj=pj 1/6 1【解】因21

19、,j j i jiP Y y P P X x Y y,故1 1 1 2 1,P Y y P X x Y y P X x Y y 从而1 11 1 1,.6 8 24P X x Y y 而 X 与 Y独立，故,i j i iP X x P Y y P X x Y y,从而1 1 11 1,.6 24P X x P X x Y y 即：11 1 1/.24 6 4P X x 又1 1 1 1 2 1 3,P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y 即1,31 1 1,4 24 8P X x Y y 从而1 31,.12P X x Y y 同理21,2P Y y 2 23

20、,8P X x Y y 又31 1jjP Y y,故31 1 1 16 2 3P Y y.同理23.4P X x 从而 2 3 3 1 31 1 1,.3 12 4P X x Y y P Y y P X x Y y 故 Y X 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1y 2y 3y i iP X x P 1x 124 18 112 14 2x 18 38 14 34 j jP Y y p 16 12 13 1 1.设随机变量 X的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)1 1 1

21、1 1()(1)0 1 2;8 2 8 4 2E X(2)2 2 2 2 21 1 1 1 5()(1)0 1 2;8 2 8 4 4E X(3)1(2 3)2()3 2 3 42E X E X 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=.,0,2 1,2,1 0,其他x xx x 求 E（X），D（X）.【解】1 220 1()()d d(2)d E X xf x x x x x x x 2133 20111.3 3xx x 1 22 2 3 20 17()()d d(2)d6E X x f x x x x x x x 故 2 21()()().6D X E X E X Y X 精品好资料

22、-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ 4X.【解】(1)(2 3 1)2()3()1 E U E X Y E X E Y 2 5 3 11 1 44.(2)4 4()E V E YZ X E YZ E X,()()4()Y Z E Y E Z E X 因 独立 11 8 4 5 68.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求 E（3X 2Y），D（2X 3Y）.【

23、解】(1)(3 2)3()2()3 3 2 3 3.E X Y E X E Y(2)2 2(2 3)2()(3)4 12 9 16 192.D X Y D X DY 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）=;,0,1 0,2其他x x fY（y）=(5)e,5,0,.yy 其他 求 E（XY）.【解】方法一：先求 X 与 Y的均值 102()2 d,3E X x x x 5(5)5 0 0()e d 5 e d e d 5 1 6.z yy z zE Y y y z z z 令 由 X 与 Y的独立性，得 2()()()6 4.3E XY E X E Y 方法二：利

24、用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y独立，故联合密度为(5)2 e,0 1,5,(,)()()0,yX Yx x yf x y f x f y 其他 于是 1 1(5)2(5)5 0 0 52()2 e d d 2 d e d 6 4.3y yE XY xy x x y x x y y 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 34.设随机变量 X 和 Y的联合概率分布为 1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 试求 X 和 Y的相关系数.【解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY的概率分布为 YX 1

25、 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.12 0.6 0.2=0 从而 XY=0 1.一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为 X.估计 P10 X18.【解】设iX表每次掷的点数，则41iiX X 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 7()1 2 3 4 5 6,6 6 6 6 6 6 21 1 1 1 1 1 91()1 2 3 4 5 6,6 6 6 6 6 6 6iiE XE X 从而 22 291 7 35()()().6 2 12i i iD X E X E X 又 X1,X

26、2,X3,X4独立同分布.从而4 41 17()()()4 14,2i ii iE X E X E X 4 41 135 35()()()4.12 3i ii iD X D X D X 所以 235/310 18|14|4 1 0.271,4P X P X 14.设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5 试根据契比雪夫不等式给出 P|X-Y|6 的估计.（2001 研考）【解】令 Z=X-Y，有()0,()()()()2()()3.XPE Z D Z D X Y D X D Y D X D Y 所以 Y X 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精

27、品好资料-如有侵权请联系网站删除 2()3 1|()|6|6.6 36 12D X YP Z E Z P X Y 5.有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m.现从这批木柱中随机地取出 100根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？【解】设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB（100，0.2）从而 30 100 0.2 30 1 30 1100 0.2 0.8P X P X 1(2.5)1 0.9938 0.0062.11.设男孩出生率为 0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则 XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P X5000.由中心极限定理有 5000 10000 0.515 5000(3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X