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1、晨鸟教育 Earlybird 2019-2020学年江西省赣州市蓉江新区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大共 6 分，每小题 3 分，共 18 分每小题只有一个正确选项）1（3 分）下列品牌汽车的标识是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）方程 2x25x4 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A2，5，4 B2，5，4 C2，5，4 D2，5，4 3（3 分）将抛物线 yx2向上平移 1 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）Ay（x+3）2+1 By（x3）2+1 Cy（x+3）21 Dy（x3）21 4（3 分）关于 x 的一元二次方
2、程（a21）x23x+a2+3a40 的一个根为 0，则 a 的值是（）A4 B1 C4 或1 D4 或 1 5（3 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，连结 AA，若125，则B 的度数是（）A70 B65 C60 D55 6（3 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c，它与 x 轴交于 A、B，且 A、B 位于原点两侧，与 y 的正半轴交于 C，顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上，则下列说法：bc0，0b4，AB4，SABD8 其中正确的结论有（） 晨鸟教育 Earlybird A B C D 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 3 分，共计
3、18 分.）7（3 分）已知函数是二次函数，则 m 8（3 分）已知 ，是一元二次方程 x23x20 的两个不相等的实数根，则 +的值为 9（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A顺时针旋转到 ABCD的位置，旋转角为 （0 90）若1120，则 10（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如表：则在实数范围内能使得 y+110 成立的 x 取值范围是 x 3 2 1 0 1 2 y 1 5 7 5 1 11 11（3 分）已知抛物线 yax2+2ax+a+1（a0）过点 A（m，3），B（n，3）两点，若线段 AB 的长不大于 2，则代数式 a2
4、a2 的最小值是 12（3 分）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点 C 重合，A60o，D45o接着保持三角板 ABC 不动，将三角板 CDE 绕着点 C 旋转，但保证点 D 在直线 AC的上方，若三角板 CDE 有一条边与斜边 AB平行，则ACD 三、解答题：（本题有 5 小题，每题 6 分，共 30 分.）13（6 分）解下列方程：（1）x26x+30（2）2x（x1）33x 14（6 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22（m+1）x+m2+10 有两个不相等的实数根 晨鸟教育 Earlybird（1）求 m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x1
5、2+x22x1+x2+4x1x2，求 m 的值 15（6 分）如图，抛物线顶点为 A（1，2），且过原点，与 x 轴的另一个交点为 B，（1）求抛物线的解析式和 B 点坐标；（2）抛物线上是否存在点 M，使OBM 的面积等于 2？若存在，请写出 M 点坐标，若不存在，说明理由；16（6 分）如图，ABC 与ADE 都是等腰直角三角形，连接 CD、BE，CD、BE 相交于点 O，BAE可看作是由CAD 顺时针旋转所得（1）旋转中心是 ，旋转角度是 ；（2）判断 CD 与 BE 的位置关系，并说明理由 17（6 分）作图题：在图（1）（2）所示抛物线中，抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于
6、 C，点 D 是抛物线的顶点，过 D 平行于 y 轴的直线是它的对称轴，点 P 在对称轴上运动仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：（1）在图中作出点 P，使线段 PA+PC 最小；（2）在图中作出点 P，使线段 PBPC 最大 四、（本题有 3 小题，每题 8 分，共 24 分.）18（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别在线段 BC 和 CD 上，EAF45 连接 EF将ADF 绕着点 A顺时针旋转 90，得到ABF（1）证明：AEFAEF；（2）证明：EFBE+DF（3）已知正方形 ABCD 边长是 6，EF5，求线段 BE 的长 19（8 分）赣州蓉江新区某
7、汽车销售公司去年 12 月份销售新上市一种新型低能耗汽车 200辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，今年 2 月份该公司销售该型汽车达到 450 辆，并且去年 12 月到今年 1 月和今年 1 月到 2 月两次的增长率相同（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；（2）若该型汽车每辆的盈利为 5 万元，则平均每天可售 8 辆，为了尽量减少库存，汽车晨鸟教育 Earlybird 销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降 5000 元，公司平均每天可多售出 2 辆，若汽车销售公司每天要获利 48 万元，每辆车需降价多少？20（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6c
8、m，BC8cm，点 P 从点 A开始沿边 AB向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，设运动时间为 t 秒（1）填空：BQ ，PB ；（用含 t 的代数式表示）（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 3cm？（3）当 t 为何值时，五边形 APQCD 的面积有最小值？最小值为多少？五、（本题有 2 小题，每题 9 分，共计 18 分.）21（9 分）学以致用：问题 1：怎样用长为 12cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们
9、就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为 3cm 的正方形时面积最大为 9cm2请用你所学的二次函数的知识解释原因 思考验证：问题 2：怎样用铁丝围一个面积为 9m2且周长最小的矩形？小明猜测：围成正方形时周长最小 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：结论：在 a+b2、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2，当且仅当 ab 时，a+b 有最小值 2 a+b2（a，b 均为正实数）的证明过程：对于任意正实数 a、b，（）20，a2+b0，a+b2，当且仅当 ab 时，等号成立 解决问题：（1）若 x0，则 x+（当且仅当 x 时取“”）；（2）运用上述结论证
10、明小明对问题 2 的猜测；（3）当 x1 时，求 y的最小值 22（9 分）（1）（操作发现）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上现将ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为C，连接 BB，如图所示，则ABB 晨鸟教育 Earlybird（2）（解决问题）如图 2，在等边ABC 内有一点 P，且 PA2，PB，PC1，如果将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得出ABP，求BPC 的度数和 PP的长；（3）（灵活运用）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，AC1，ABC30，点 O 为 RtABC 内
11、一点，连接 AO，BO，CO，且AOCCOBBOA120，求 OA+OB+OC 的值 六、（本题 12 分.）23（12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点A和点 B，其中点 A 的坐标为（2，0），抛物线的对称轴 x1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以
12、D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 晨鸟教育 Earlybird 2019-2020学年江西省赣州市蓉江新区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大共 6 分，每小题 3 分，共 18 分每小题只有一个正确选项）1（3 分）下列品牌汽车的标识是中心对称图形的是（）A B C D【分析】结合中心对称图形的概念求解即可【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、是中心对称图形，本选项正确；D、不是中心对称图形，本选项错误 故选：C【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度
13、后两部分重合 2（3 分）方程 2x25x4 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A2，5，4 B2，5，4 C2，5，4 D2，5，4【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0），特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点在一般形式中 ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式【解答】解：方程 2x25x4 化成一般形式是 2x25x40，二次项系数为 2，一次项系数为5，常数项为4 故选：D【点评】考查了一元二次方程
14、的一般形式，注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号 3（3 分）将抛物线 yx2向上平移 1 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）Ay（x+3）2+1 By（x3）2+1 Cy（x+3）21 Dy（x3）21 晨鸟教育 Earlybird【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2向右平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y（x3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y（x3）2向上平移 1 个单位所得抛物线的解析式为：y（x3）2+1 故选：B【点评】本题考查的是二次函
15、数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 4（3 分）关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40 的一个根为 0，则 a 的值是（）A4 B1 C4 或1 D4 或 1【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x0 代入关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40，列出关于 a 的一元一次方程，通过解方程即可求得 a 的值【解答】解：根据题意知，x0 是关于 x 的一元二次方程（a21）x23x+a2+3a40的根，a2+3a40，解得，a4 或 a1，a210，a1 a4 故选：A【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义一元二次方程的解使方程的左
16、右两边相等 5（3 分）如图，将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90，得到ABC，连结 AA，若125，则B 的度数是（）A70 B65 C60 D55【分析】根据旋转的性质可得 ACAC，然后判断出ACA是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CAA45，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出ABC，然后根据旋转的性质可得BABC 晨鸟教育 Earlybird【解答】解：RtABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90得到ABC，ACAC，ACA是等腰直角三角形，CAA45，ABC1+CAA25+4570，由旋转的性质得BABC70 故选：A【点评】本题考查了旋转的性质
17、，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键 6（3 分）如图，已知二次函数 yx2+bx+c，它与 x 轴交于 A、B，且 A、B 位于原点两侧，与 y 的正半轴交于 C，顶点 D 在 y 轴右侧的直线 l：y4 上，则下列说法：bc0，0b4，AB4，SABD8 其中正确的结论有（）A B C D 【分析】a0，则 b0，c0，故 cb0，即可求解；c4，而 1c2，故 02b24，即可求解；函数的表达式为：y（xh）2+4，故 xh2，故 ABx2x14，即可求解；SABDAByD8，即可求解【解答】解：a0，则 b0
18、，c0，故 cb0，故 错误，不符合题意；c4，而 1c2，故 02b24，故正确，符合题意；函数的表达式为：y（xh）2+4，故 xh2，故 ABx2x14，正确，符合题意；SABDAByD8，正确，符合题意；故选：C【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 3 分，共计 18 分.）7（3 分）已知函数是二次函数，则 m 1 【分析】根据形如 yax2（a 是常数，且 a0）是二次函数，可得答案 晨鸟教育 Earlybird【解答】解：依题意得：m2+12 且
19、 m10，解得 m1 故答案是：1【点评】本题考查了二次函数的定义注意：二次函数 yax2中，a 是常数，且 a0 8（3 分）已知 ，是一元二次方程 x23x20 的两个不相等的实数根，则 +的值为 5 【分析】根据根与系数的关系 +3，2，再代入计算即可得出答案【解答】解：，是方程 x23x20 的两个实数根，+3，2，+3（2）5 故答案为：5【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键 9（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 A顺时针旋转到 ABCD的位置，旋转角为 （0 90）若1120，则 30 【分析】根据对顶角相等求出2，再根据四边形的内角
20、和等于 360求出BAD，然后求出DAD，最后根据旋转的性质可得DAD即为旋转角【解答】解：如图，由对顶角相等得，21120，在四边形中，BAD360902236018012060，所以，DAD906030，即旋转角 DAD30 故答案为：30 【点评】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和定理，对顶角相等的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键 10（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如表：则在实数范围内能使得 y+110 成立的 x 取值范围是 x4 或 x2 x 3 2 1 0 1 2 晨鸟教育 Earlybird y 1
21、 5 7 5 1 11 【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出 y11的自变量 x 的值即可【解答】解：x0，x2 的函数值都是 5，相等，二次函数的对称轴为直线 x1，x2 时，y11，x4 时，y11，根据表格得，自变量 x1 时，函数值逐点减小，当 x1 时，达到最大，当 x1 时，函数值逐点增大，抛物线的开口向下，y+110 成立的 x 取值范围是 x2 或 x4 故答案为：x4 或 x2【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解题的关键此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定 1
22、1（3 分）已知抛物线 yax2+2ax+a+1（a0）过点 A（m，3），B（n，3）两点，若线段 AB 的长不大于 2，则代数式 a2a2 的最小值是 0 【分析】根据题意得 a+13，解不等式求得 a2，把 x2 代入代数式即可求得【解答】解：抛物线 yax2+2ax+a+1a（x+1）2+1（a0），顶点为（1，1），过点 A（m，3），B（n，3）两点，a0，对称轴为直线 x1，线段 AB的长不大于 2，a+13 a2，a2a2 的最小值为：（2）2220；故答案为 0【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出 a+13 是解题的关键 晨鸟教育 Ear
23、lybird 12（3 分）两块不同的三角板按如图所示摆放，两个直角顶点 C 重合，A60o，D45o接着保持三角板 ABC 不动，将三角板 CDE 绕着点 C 旋转，但保证点 D 在直线 AC的上方，若三角板 CDE 有一条边与斜边 AB平行，则ACD 30或 120或 165 【分析】分 CE、DE、CD 与 AB 平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可【解答】解：如图 1，CEAB，ACEA30，ACDACB+ACE90+30120；如图 2，DEAB 时，延长 CD 交 AB于 F，则BFCD45，在BCF 中，BCF180BBFC，180604575，则ACF90BCF9075
24、15 ACD180ACF18015165；如图 3，CEAB 时，ACDBCEB60，故答案为：30或 120或 165 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是根据旋转角的逐渐增大分别作出图形 三、解答题：（本题有 5 小题，每题 6 分，共 30 分.）13（6 分）解下列方程：（1）x26x+30（2）2x（x1）33x【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得【解答】解：（1）x26x3，x26x+93+9，即（x3）26，则 x3，x3；（2）2x（x1）3（x1），2x（x1）+3（x1）0，晨鸟教育 Earlybird 则（x1）（2x+3）0，x10 或
25、 2x+30，解得 x1 或 x1.5【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 14（6 分）已知关于 x 的一元二次方程：x22（m+1）x+m2+10 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为 x1、x2，且满足 x12+x22x1+x2+4x1x2，求 m 的值【分析】（1）利用判别式的意义得到4（m+1）24（m2+1）0，然后解不等式即可；（2）利用完全平方公式由 x12+x22x1+x2+4x1x2得到 4（m+1）26
26、（m2+1）2（m+1），解方程即可求解【解答】解：（1）方程 x22（m+1）x+m2+10 有两个不相等的实数根，4（m+1）24（m2+1）8m0，解得：m0 故 m 的取值范围是 m0；（2）原方程的两个实数根为 x1、x2，x1+x22（m+1），4（m+1）26（m2+1）2（m+1），即2m2+6m40，解得：m11，m22 故 m 的值是 1 或 2【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1 x2也考查了根的判别式 15（6 分）如图，抛物线顶点为 A（1，2），且过原点，与 x 轴的另一个交点为 B，（
27、1）求抛物线的解析式和 B 点坐标；（2）抛物线上是否存在点 M，使OBM 的面积等于 2？若存在，请写出 M 点坐标，若不存在，说明理由；晨鸟教育 Earlybird 【分析】（1）设抛物线解析式为 ya（x1）2+2，把（0，0）代入得 a（01）2+20，解得 a2，即可求解；（2）设 M 点坐标为（x，2x2+4x），则|2x2+4x|2，即可求解【解答】解：（1）设抛物线解析式为 ya（x1）2+2，把（0，0）代入得 a（01）2+20，解得 a2 抛物线解析式为 y2（x1）2+2（即 y2x2+4x）；解方程2x2+4x0 得 x10，x22，则 B（2，0），（2）存在M 点
28、坐标为（1，2）或或；设 M 点坐标为（x，2x2+4x），|2x2+4x|2，2x2+4x2 或2x2+4x2，解得 x1x21，存在这样的 M 点，M 点坐标为（1，2）或或【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等 16（6 分）如图，ABC 与ADE 都是等腰直角三角形，连接 CD、BE，CD、BE 相交于点 O，BAE可看作是由CAD 顺时针旋转所得（1）旋转中心是 点 A，旋转角度是 90；（2）判断 CD 与 BE 的位置关系，并说明理由 【分析】（1）由图形可求解；（2）由旋转的性质可得ACDABE
29、，由直角三角形的性质可得ACD+BCD+ABC90，即可证 BECD【解答】解：由图形可得旋转中心为点 A，旋转角为CAB，即旋转角度为 90，故答案为：点 A，90（2）CDBE 理由如下：，BAE 可看作是由CAD 顺时针旋转所得，ACDABE 晨鸟教育 Earlybird ACDABE，在 RtABC 中，ACD+BCD+ABC90，BCD+ABC+ABE90 BOC90 CDBE【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 17（6 分）作图题：在图（1）（2）所示抛物线中，抛物线与 x 轴交于 A、B，与 y 轴交于 C，点
30、D 是抛物线的顶点，过 D 平行于 y 轴的直线是它的对称轴，点 P 在对称轴上运动仅用无刻度的直尺画线的方法，按要求完成下列作图：（1）在图中作出点 P，使线段 PA+PC 最小；（2）在图中作出点 P，使线段 PBPC 最大【分析】（1）连接 BC，与对称轴的交点即为所求；（2）连接 AC，并延长，交对称轴于点 P【解答】解：（1）如图，点 P 即为所求；（2）如图，点 P 即为所求【点评】本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质和抛物线的对称性 四、（本题有 3 小题，每题 8 分，共 24 分.）18（8 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，E，F 分别在线段 B
31、C 和 CD 上，EAF45 连接 EF将ADF 绕着点 A顺时针旋转 90，得到ABF（1）证明：AEFAEF；（2）证明：EFBE+DF（3）已知正方形 ABCD 边长是 6，EF5，求线段 BE 的长 【分析】（1）由旋转的性质可得 AFAF，DFBF，DAFBAF，由“SAS”可证AEFAEF；（2）由全等三角形的性质可得 EFEFBE+BF，即可得结论；晨鸟教育 Earlybird（3）设 BEx，可得 DF5x，由勾股定理可求 BE 的长【解答】解：（1）由旋转的性质可得 AFAF，DFBF，DAFBAF，B、C、F三点共线，EAF45，BAD90，DAF+BAEBADEAF45，
32、EAFBAF+BAEDAF+BAE45EAF，AFAF，EAFEAF，AEAE，AEFAEF（SAS）；（2）AEFAEF，EFEFBE+BF，又DFBF，EFBE+DF；（3）设 BEx，EFBE+DF，EF5 DF5x 又正方形 ABCD 边长是 6，即 BCCD6 CEBCBE6x，CFCDDF6（5x）x+1，在 RtCEF 中，有 CE2+CF2EF2 即（6x）2+（x+1）252，解得 x12，x23，线段 BE 的长为 2 或 3【点评】本题考查了四边形的综合问题，主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，证明AEFAEF是解题的关键 19（8 分）赣
33、州蓉江新区某汽车销售公司去年 12 月份销售新上市一种新型低能耗汽车 200辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，今年 2 月份该公司销售该型汽车达到 450 辆，并且去年 12 月到今年 1 月和今年 1 月到 2 月两次的增长率相同（1）求该公司销售该型汽车每次的增长率；（2）若该型汽车每辆的盈利为 5 万元，则平均每天可售 8 辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降 5000 元，公司平均每天可多售出 2 辆，若汽车销售公司每天要获利 48 万元，每辆车需降价多少？晨鸟教育 Earlybird【分析】（1）设该公司销售该型汽车每次的
34、增长率为 x，根据全年 12 月份及今年 2 月份该公司的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每辆车需降价 y 万元，则日销售量为 8+2（8+4y）辆，根据总利润每辆的利润销售数量，即可得出关于 y 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论【解答】解：（1）设该公司销售该型汽车每次的增长率为 x，依题意，得：200（1+x）2450，解得：x12.5（不合题意，舍去），x20.550%答：该公司销售该型每次增长率为 50%（2）设每辆车需降价 y 万元，则日销售量为 8+2（8+4y）辆，依题意，得：（5y）（8+4y）48，解得：y11，y22 要
35、尽快减少库存，y2 答：每辆车需降价 2 万元【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 20（8 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC8cm，点 P 从点 A开始沿边 AB向终点 B 以 1cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2cm/s 的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动，设运动时间为 t 秒（1）填空：BQ 2t，PB 6t；（用含 t 的代数式表示）（2）当 t 为何值时，PQ 的长度等于 3cm？（3）当 t 为何值时，五边形 AP
36、QCD 的面积有最小值？最小值为多少？【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可（2）利用勾股定理构建方程即可解决问题（3）利用分割法构建方程即可解决问题【解答】解：（1）由题意：BQ2t cm，PB（6t）cm，故答案为 2t，（6t）晨鸟教育 Earlybird（2）由题意，得 解得（不合题意，舍去），t23 所以当 t3 秒时，PQ 的长度等于；（3）存在理由如下：设五边形 APQCD 的面积为 S S矩形ABCD6848（cm2），当 t3 秒时，五边形 APQCD 的面积有最小值，最小值为 39cm2【点评】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是
37、学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型 五、（本题有 2 小题，每题 9 分，共计 18 分.）21（9 分）学以致用：问题 1：怎样用长为 12cm 的铁丝围成一个面积最大的矩形？小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为 3cm 的正方形时面积最大为 9cm2请用你所学的二次函数的知识解释原因 思考验证：问题 2：怎样用铁丝围一个面积为 9m2且周长最小的矩形？小明猜测：围成正方形时周长最小 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：结论：在 a+b2、b 均为正实数）中，若 ab 为定值 p，则 a+b2，当且仅当 ab 时，a+b 有最小值 2 a+b2（
38、a，b 均为正实数）的证明过程：对于任意正实数 a、b，（）20，a2+b0，a+b2，当且仅当 ab 时，等号成立 解决问题：（1）若 x0，则 x+4（当且仅当 x 2 时取“”）；（2）运用上述结论证明小明对问题 2 的猜测；（3）当 x1 时，求 y的最小值【分析】（1）运用公式 a+b2（其中 a、b 均为正实数，当且仅当 ab 时取“”），进行解答便可；（2）设矩形的长、宽分别为 xm、ym，由题意得 xy25，再根据公式证明当 xy 时，x+y晨鸟教育 Earlybird 有最小值，进而得结论；（3）把 y的化成 yx+1+2 的形式，再根据公式进行解答便可【解答】解：（1）（1
39、）x0，0，当 x时，即 x2 时，x+2即 x+4，故答案为：4；2（2）设矩形的长、宽分别为 xm、ym，由题意得 xy9，则，即 x+y6，当 xy3 时，x+y 取最小值为 6，此时矩形的周长最小为 2（x+y）12，xy 时，所围成矩形是正方形，铁丝围一个面积为 9m2且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小；（3），x1，x+10，即 y2，当时，即 x1 时，y 取最小值为：2【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式
40、，才能应用公式 22（9 分）（1）（操作发现）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上现将ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 90，点 B 的对应点为 B，点 C 的对应点为C，连接 BB，如图所示，则ABB 45 （2）（解决问题）如图 2，在等边ABC 内有一点 P，且 PA2，PB，PC1，如果将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得出ABP，求BPC 的度数和 PP的长；（3）（灵活运用）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，AC1，ABC30，点 O 为 RtABC 内一点，连接 AO，BO，CO，且AOCCOBBOA120，求 OA+
41、OB+OC 的值【分析】（1）只要证明ABB是等腰直角三角形即可；晨鸟教育 Earlybird（2）根据等边三角形的性质得到ABC60，根据旋转的性质得到 APCP1，BPBP，PBCPBA，APBBPC，推出BPP是等边三角形，得到 PP，BPP60根据勾股定理的逆定理得到PPA是直角三角形，于是得到结论；（3）如图 3，将AOB 绕点 B 顺时针旋转 60至AOB 处，连接 OO，解直角三角形得到 AB2，求得，根据旋转的性质得到ABCABC+6030+6090，ABAB2，BOBO，AOAO，OBO60，推出BOO是等边三角形，求得BOOBOO60，得到 C、O、A、O四点共线，根据勾股
42、定理即可得到结论【解答】解：（1）将ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 90，ABAB，BAB90，ABB45；故答案为：45；（2）ABC 是等边三角形，ABC60，将BPC 绕点 B 逆时针旋转 60得出ABP，如图 2，APCP1，BPBP，PBCPBA，APBBPC，又PBP60，BPP是等边三角形，PP，BPP60 AP1，AP2，AP2+PP2AP2，APP90，则PPA是直角三角形，BPCAPBAPP+PBP90+60150；（3）如图 3，将AOB 绕点 B 顺时针旋转 60至AOB 处，连接 OO，在 RtABC 中，C90，AC1，ABC30，AB2，AOB 绕点 B 顺时针
43、方向旋转 60，ABCABC+6030+6090，ABAB2，BOBO，AOAO，OBO60，晨鸟教育 Earlybird BOO是等边三角形，BOOBOO60，AOCCOBBOA120，COB+BOOBOA+BOO120+60180，C、O、A、O四点共线，在 RtABC 中，OA+OB+OCAO+OO+OCAC 【点评】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题 六、（本题 12 分.）23（12 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，4），与 x 轴交于点
44、A和点 B，其中点 A 的坐标为（2，0），抛物线的对称轴 x1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E（1）求抛物线的解析式；（2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标 【分析】方法一：（1）先把 C（0，4）代入 yax2+bx+c，得出 c4，再由抛物线的对称轴 x1，得到 b2a，抛物线过点 A（2，0），得到 0
45、4a2b+c，然后由 可解得，a，b1，c4，即可求出抛物线的解析式为 yx2+x+4；（2）假设存在满足条件的点 F，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H，FGy轴于点 G设点 F 的坐标为（t，t2+t+4），则 FHt2+t+4，FGt，先根据三角形的面积公式求出 SOBFOB FHt2+2t+8，SOFCOC FG2t，再由 S四边形ABFCSAOC+SOBF+SOFC，得到 S四边形ABFCt2+4t+12令t2+4t+1217，即 t24t+50，由（4）24540，得出方程 t24t+50 无解，即不存在满足条件的点 F；（3）先运用待定系数法求出直线 BC
46、的解析式为 yx+4，再求出抛物线 yx2+x+4晨鸟教育 Earlybird 的顶点 D（1，），由点 E 在直线 BC 上，得到点 E（1，3），于是 DE3若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DEPQ，只须 DEPQ，设点 P 的坐标是（m，m+4），则点 Q 的坐标是（m，m2+m+4）分两种情况进行讨论：当 0m4 时，PQ（m2+m+4）（m+4）m2+2m，解方程m2+2m，求出 m的值，得到 P1（3，1）；当 m0 或 m4 时，PQ（m+4）（m2+m+4）m22m，解方程m22m，求出 m 的值，得到 P2（2+，2），P3（2，2+）方法二：（1）略
47、（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出BCF 的面积函数，进而求出点 F 坐标，因为，所以无解（3）因为 PQDE，所以只需 PQAC 即可，求出 PQ 的参数长度便可列式求解【解答】方法一：解：（1）抛物线 yax2+bx+c（a0）过点 C（0，4），c4 对称轴 x1，b2a 抛物线过点 A（2，0），04a2b+c，由 解得，a，b1，c4，抛物线的解析式为 yx2+x+4；（2）假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FHx 轴于点 H，FGy 轴于点 G 设点 F 的坐标为（t，t2+t+4），其中 0t4，则 FHt2+t+4，FGt，SOB
48、FOB FH4（t2+t+4）t2+2t+8，SOFCOC FG4t2t，S四边形ABFCSAOC+SOBF+SOFC4t2+2t+8+2tt2+4t+12 令t2+4t+1217，即 t24t+50，晨鸟教育 Earlybird 则（4）24540，方程 t24t+50 无解，故不存在满足条件的点 F；（3）设直线 BC 的解析式为 ykx+n（k0），B（4，0），C（0，4），解得，直线 BC 的解析式为 yx+4 由 yx2+x+4（x1）2+，顶点 D（1，），又点 E 在直线 BC 上，则点 E（1，3），于是 DE3 若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DEP
49、Q，只须 DEPQ，设点 P 的坐标是（m，m+4），则点 Q 的坐标是（m，m2+m+4）当 0m4 时，PQ（m2+m+4）（m+4）m2+2m，由m2+2m，解得：m1 或 3 当 m1 时，线段 PQ 与 DE 重合，m1 舍去，m3，P1（3，1）当 m0 或 m4 时，PQ（m+4）（m2+m+4）m22m，由m22m，解得 m2，经检验适合题意，此时 P2（2+，2），P3（2，2+）综上所述，满足题意的点 P 有三个，分别是 P1（3，1），P2（2+，2），P3（2，2+）方法二：（1）略（2）B（4，0），C（0，4），lBC：yx+4，过 F 点作 x 轴垂线，交 BC
50、于 H，设 F（t，t2+t+4），晨鸟教育 Earlybird H（t，t+4），S四边形ABFCSABC+SBCF17，（4+2）4+（t2+t+4+t4）417，t24t+50，（4）2450，方程 t24t+50 无解，故不存在满足条件的点 F （3）DEPQ，当 DEPQ 时，以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，yx2+x+4，D（1，），lBC：yx+4，E（1，3），DE3，设点 F 的坐标是（m，m+4），则点 Q 的坐标是（m，m2+m+4），|m+4+m2m4|，m22m或m22m，m1，m3，m2+，m2，经检验，当 m1 时，线段 PQ 与 DE 重合，故舍