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1、 课后限时集训(四十六)直线与圆、圆与圆的位置关系(建议用时：60 分钟)A组 基础达标 一、选择题 1(2019唐山模拟)直线 4x 3y 0 与圆(x 1)2(y 3)2 10 相交所得的弦长为()A 6 B 3 C 6 2 D 3 2 A 假设直线 4x 3y 0 与圆(x 1)2(y 3)2 10 相交所得的弦为 A B圆的半径 r 10，圆心到直线的距离 d5 32 42 1，弦长|AB|2 r2 d2 2 10 123 6.故选 A.2 圆 C1：x2 y2 2x 2y 2 0 与圆 C2：x2 y2 4x 2y 1 0 的公切线有且仅有()A 1 条 B 2 条 C 3 条 D
2、4 条 B 易得 C1：(x 1)2(y 1)2 4，C2：(x 2)2(y 1)2 4.圆心距 d|C1C2|2 12 1 12 13.0 d 4，圆 C1与 C2相交，故两圆有 2 条公切线 3圆 C：x2 y2 ax 2 0 与直线 l 相切于点 A(3,1)，则直线 l 的方程为()A 2x y 5 0 B x 2y 1 0 C x y 2 0 D x y 4 0 D 由已知条件可得 32 12 3a 2 0，解得 a 4，此时圆 x2 y2 4x 2 0 的圆心为C(2,0)，半径为 2，所以 kAC 1，则直线 l 的方程为 y 1 x 3，即 x y 4 0.4(2019湘东五校
3、联考)圆(x 3)2(y 3)2 9 上到直线 3x 4y 11 0 的距离等于2 的点有()A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 B 圆(x 3)2(y 3)2 9 的圆心为(3,3)，半径为 3，圆心到直线 3x 4y 11 0 的距离 d|3343 11|32 42 2，圆上到直线 3x 4y 11 0 的距离为 2 的点有 2 个 故选 B 5(2019福州模拟)过点 P(1，2)作圆 C：(x 1)2 y2 1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 AB所在直线的方程为()A y34 B y12 C y32 D y14 B 圆(x 1)2 y2 1 的圆心为(1,0)，半径为
4、 1，以|PC|1 12 2 022 为直径的圆的方程为(x 1)2(y 1)2 1，将两圆的方程相减得 AB所在直线的方程为 2y 1 0，即 y12.二、填空题 6若 P(2，1)为圆(x 1)2 y2 25 的弦 AB的中点，则直线 AB的方程是 _ x y 3 0 记题中圆的圆心为 O，则 O(1,0)，因为 P(2，1)是弦 AB的中点，所以直线 AB与直线 OP垂直，易知直线 OP的斜率为 1，所以直线 AB的斜率为 1，故直线 AB的方程为 x y 3 0.7(2016全国卷)设直线 y x 2a 与圆 C：x2 y2 2ay 2 0 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，则圆
5、 C 的面积为 _ 4 圆 C：x2 y2 2ay 2 0 化为标准方程是 C：x2(y a)2 a2 2，所以圆心 C(0，a)，半径 r a2 2.|AB|2 3，点 C 到直线 y x 2a 即 x y 2a 0的距离 d|0 a 2a|2，由勾股定理得2 322|0 a 2a|22 a2 2，解得 a2 2，所以 r 2，所以圆 C 的面积为 224.8点 P 在圆 C1：x2 y2 8x 4 y 11 0 上，点 Q在圆 C2：x2 y2 4x 2y 1 0 上，则|PQ|的最小值是 _ 3 5 5 把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得(x 4)2(y 2)2 9，(x 2)
6、2(y 1)2 4.圆 C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径是 2.圆心距 d 4 22 2 12 3 5 5.故圆 C1与圆 C2相离，所以|PQ|的最小值是3 5 5.三、解答题 9已知圆 C 经过点 A(2，1)，和直线 x y 1 相切，且圆心在直线 y 2x 上(1)求圆 C的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 C截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 解(1)设圆心的坐标为 C(a，2a)，则 a 22 2a 12|a 2a 1|2.化简，得 a2 2a 1 0，解得 a 1.所以 C点坐标为(1，2)，心距圆与相交故两圆有条公切线
7、圆与直线相切于点则直线的方程为由已知条件可得解得此时圆的圆心为半径为所以则 直线的距离为的点有个故选福州模拟过点作圆的两条切线切点分别为则所在直线的方程为圆的圆心为半径为以为直径 心为则因为是弦的中点所以直线与直线垂直易知直线的斜率为所以直线的斜率为故直线的方程为全国卷设直线与圆相 半径 r|AC|1 22 2 12 2.故圆 C的方程为(x 1)2(y 2)2 2.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 0，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2，满足条件 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y kx，由题意得|k 2|1 k2 1，解得 k34，则直线 l
8、的方程为 y34x.综上所述，直线 l 的方程为 x 0 或 3x 4y 0.10圆 O1的方程为 x2(y 1)2 4，圆 O2的圆心坐标为(2,1)(1)若圆 O1与圆 O2外切，求圆 O2的方程；(2)若圆 O1与圆 O2相交于 A，B 两点，且|AB|2 2，求圆 O2的方程 解(1)因为圆 O1的方程为 x2(y 1)2 4，所以圆心 O1(0，1)，半径 r1 2.设圆 O2的半径为 r2，由两圆外切知|O1O2|r1 r2.又|O1O2|2 02 1 12 2 2，所以 r2|O1O2|r1 2 2 2.所以圆 O2的方程为(x 2)2(y 1)2 12 8 2.(2)设圆 O2
9、的方程为(x 2)2(y 1)2 r22，又圆 O1的方程为 x2(y 1)2 4，相减得 AB所在的直线方程为 4x 4y r22 8 0.设线段 AB的中点为 H，因为 r1 2，所以|O1H|r21|AH|2 2.又|O1H|404 1 r22 8|42 42|r22 12|4 2，所以|r22 12|4 2 2，解得 r22 4 或 r22 20.所以圆 O2的方程为(x 2)2(y 1)2 4 或(x 2)2(y 1)2 20.B 组 能力提升 1一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x 3)2(y 2)2 1 相切，则反射光线所在直线的斜率为()A 53或35 B32或
10、23 C54或45 D 43或34 心距圆与相交故两圆有条公切线圆与直线相切于点则直线的方程为由已知条件可得解得此时圆的圆心为半径为所以则 直线的距离为的点有个故选福州模拟过点作圆的两条切线切点分别为则所在直线的方程为圆的圆心为半径为以为直径 心为则因为是弦的中点所以直线与直线垂直易知直线的斜率为所以直线的斜率为故直线的方程为全国卷设直线与圆相 D 圆(x 3)2(y 2)2 1 的圆心为(3,2)，半径 r 1.作出点(2，3)关于 y 轴的对称点(2，3)由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，3)设反射光线的斜率为 k，则反射光线所在直线的方程为 y(3)k(x 2)，即 kx
11、y 2k 3 0.由反射光线与圆相切可得|k 3 2 2k 3|1 k2 1，即|5 k 5|1 k2，整理得 12k2 25k 12 0，即(3 k 4)(4 k 3)0，解得 k43或 k34.故选 D 2在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y 2x 4，设圆 C的半径为 1，圆心在 l 上若圆 C上存在点 M，使 MA 2MO，则圆心 C的横坐标 a 的取值范围是()A.0，125 B 0,1 C.1，125 D 0，125 A 因为圆心在直线 y 2x 4 上，所以圆 C的方程为(x a)2 y 2(a 2)2 1，设点M(x，y)，因为 MA 2MO，所以 x2
12、 y 32 2 x2 y2，化简得 x2 y2 2y 3 0，即 x2(y 1)2 4，所以点 M在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上 由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|2 1|CD|2 1，即1 a2 2a 323.由 a2 2a 321 得 5a2 12a80，解得 a R；由 a2 2a 323 得 5a212a0，解得 0 a125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为0，125.故选 A.3(2019唐山模拟)已知直线 l：kx y k 2 0 与圆 C：x2 y2 2y 7 0 相交于 A，B 两点，则|AB|的最小值为 _ 2 6
13、kx y k 2 0.化为 y 2 k(x 1)，直线过定点 E(1,2)，又 E(1,2)在圆 x2y2 2y 7 0 内，所以，当 E是 AB中点时，|AB|最小，由 x2 y2 2y 7 0 得 x2(y 1)2 8，圆心 C(0,1)，半径 2 2，|AB|2 8|EC|22 8 2 2 6.4(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1)当 m变化时，解答下列问题：(1)能否出现 AC BC的情况？说明理由；(2)证明过 A，B，C三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 心距圆与相交故两圆有条公切线圆与直线
14、相切于点则直线的方程为由已知条件可得解得此时圆的圆心为半径为所以则 直线的距离为的点有个故选福州模拟过点作圆的两条切线切点分别为则所在直线的方程为圆的圆心为半径为以为直径 心为则因为是弦的中点所以直线与直线垂直易知直线的斜率为所以直线的斜率为故直线的方程为全国卷设直线与圆相 解(1)不能出现 AC BC的情况理由如下：设 A(x1,0)，B(x2,0)，则 x1，x2满足 x2 mx 2 0，所以 x1x2 2.又点 C的坐标为(0,1)，故 AC的斜率与 BC的斜率之积为 1x1 1x212，所以不能出现 AC BC的情况(2)证明：BC的中点坐标为x22，12，可得 BC的中垂线方程为 y
15、12 x2xx22.由(1)可得 x1 x2 m，所以 AB的中垂线方程为 xm2.联立 xm2，y12 x2xx22，又 x22 mx2 2 0，可得 xm2，y12.所以过 A，B，C三点的圆的圆心坐标为m2，12，半径 r m2 92.故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2m22 3，即过 A，B，C三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 心距圆与相交故两圆有条公切线圆与直线相切于点则直线的方程为由已知条件可得解得此时圆的圆心为半径为所以则 直线的距离为的点有个故选福州模拟过点作圆的两条切线切点分别为则所在直线的方程为圆的圆心为半径为以为直径 心为则因为是弦的中点所以直线与直线垂直易知直线的斜率为所以直线的斜率为故直线的方程为全国卷设直线与圆相