浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含答案、.pdf-淘文阁

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1、第1页/共7页学科网（北京）股份有限公司宁波市 2022 学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1 3i1 2iz+=，则z的共轭复数的虚部为（）A.1 B.i C.i D.1 2.在平面直角坐标系 xOy 中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3，则2cos 的值为（）A.35 B.35C.45 D.453.设l 是一条直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

2、A.若l，l，则 B.若，l，则 l C.若l，l，则 D.若，l，则 l 4.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A BCD 中，AB 平面BCD，BC CD，且 1 AB BC CD=，则其内切球表面积为（）A.3 B.3C.()3 22 D.()21 5.已知等比数列 na 的前n项积为nT，若798TTT，则（）A.0 q B.10 a C.15 161 TT D.16 171 TT 6.如图，在棱长均为 2 的直三棱柱111ABC A B C 中，D 是11AB 的中点，过 B、C、D 三点的平面将该三棱柱截

3、成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（）第2页/共7页学科网（北京）股份有限公司A.233B.536C.3D.7367.在 ABC 中，0P 是边 AB 的中点，且对于边 AB 上任意一点 P，恒有00PB PC P B P C，则 ABC 一定是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形8.十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求

4、的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于 120时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 ABC 中，已知23C=，1 AC=，2 BC=，且点 M 在 AB 线段上，且满足CM BM=，若点 P 为 AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC+=（）A.1 B.45 C.35 D.25二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

5、得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.下列说法正确是（）A.若/ab，/bc，则/ac B.()ab c abc C.若()ac b，则ab ac=D.()()2ab b a b=10.下列说法正确的是（）A.若()sin 2cos3fx x x=+()0 的最小正周期为，则 2=B.在 ABC 中，角,ABC 的对边分别为,abc，则“AB”是“ab”的充要条件C.三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列D.ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的正三角形，则 ABC 的面

6、积为2611.几何原本是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB，CD 是直角圆锥 SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）的第3页/共7页学科网（北京）股份有限公司 A.存在某条直径CD，使得 AD SD B.若 2 AB=，则三棱锥 S AOD 体积的最大值为16 C.对于任意直径 CD，直线 AD 与直线 SB 互为异面直线 D.若6ABD=，则异面直线 SA 与 CD 所成角的余弦值是24 12.已知数列 na 中各项都小

7、于 2，221143n n nna a aa+=，记数列 na 前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A.任意1a 与正整数m，使得10mmaa+B.存在1a 与正整数m，使得134mmaa+C.任意非零实数1a 与正整数m，都有1 mmaa+D.若11 a=，则()20221.5,4 S 非选择题部分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.杭州第 19 届亚运会会徽“潮涌”主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历

8、代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为 30 和 12 的两个同心圆上的弧（长度单位为 cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为23.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为_.的的第4页/共7页学科网（北京）股份有限公司 14.已知等差数列 na，88 a=，983a=+，则576cos coscosaaa+=_.15.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，13 B

9、C CC=，4 AC=，AC BC，动点 P 在111ABC 内（包括边界上），且始终满足1BP AB，则动点 P 的轨迹长度是_.16.已知向量a，b夹角为3，且 3 ab=，向量c满足()()1 01 ca b=+.统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 160 人；2 月份从事旅游服务工作的人数约为 40 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多.的的第

10、5页/共7页学科网（北京）股份有限公司（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y fx=的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过 160 人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.19.已知数列 na 的前n项和为nS，且243nSn n=+.（1）求 na 的通项公式；（2）记125nnnnbSS+=，数列 nb 的前n项和为nT，求nT.20.在 ABC 中，内角 A，B 都是锐角.（1）若3C=，2 c=，求 ABC 周长的取值范围；（

11、2）若22 2sin sin sin ABC+，求证：22sin sin 1 AB+.21.已知边长为 6 的菱形 ABCD，3ABC=，把 ABC 沿着 AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD，且112DE DB=，13CF CD=，372FE=.（1）证明：1AC B D；（2）求二面角1B AC D 的大小；（3）求 EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.22.已知数列 na 中，11 a=，当 2 n 时，其前n项和nS 满足：()21n nnS aS=，且 0nS，数列 nb满足：对任意*n N 有()1 121212 2n nnb b

12、bnSS S+=+.（1）求证：数列1nS是等差数列；第6页/共7页学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 nb 的通项公式；（3）设nT 是数列122nnnbb的前n项和，求证：32nT.第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司宁波市 2022 学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1 3i1 2iz+=，则z的共轭复数的虚部为（）A.1 B.i C.i D.1【答案】D【解析】【分析】利用

13、复数的除法运算化简z，再由共轭复数的定义即可得z，进而可得虚部.【详解】()()()()1 3i 1 2i1 3i 5 5i1i1 2i 1 2i 1 2i 5z+=+，所以1i z=，所以z的虚部为 1.故选：D.2.在平面直角坐标系 xOy 中，若角以x轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3，则2cos 的值为（）A.35 B.35 C.45 D.45【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可得cos sin2=，再利用三角函数的定义即可求解.【详解】角的终边经过点(4,3),4,3 xy=，225 r xy=+=，则 3c

14、os sin25yr=.故选：A.3.设l 是一条直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（）第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司 A.若l，l，则 B.若，l，则 l C.若l，l，则 D.若，l，则 l【答案】C【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.【详解】若l，l，则或、相交，故 A 错误；若，l，则l 与的位置关系都有可能，故 B 错误；若 l，l，则，故 C 正确；若，l，则 l 或 l，故 D 错误；故选：C.4.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑 A

15、BCD 中，AB 平面BCD，BC CD，且 1 AB BC CD=，则其内切球表面积为（）A.3 B.3 C.()3 22 D.()21【答案】C【解析】【分析】设四面体 ABCD 内切球的球心为O，半径为r，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCDV V V V V rS S S S=+=+，求得12ABCD ABC ABD ACD BCDSSSSS=+=+，11 111132 6ABCDV=，从而求得212r=，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为四面体 ABCD 四个面都为直角三角形，A

16、B 平面,BCD BC CD，所以,AB BD AB BC BC CD，AC CD，第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司设四面体 ABCD 内切球的球心为O，半径为r，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCDV V V V V rS S S S=+=+所以3ABCDVrS=，因为四面体 ABCD 的表面积为 12ABCD ABC ABD ACD BCDSSSSS=+=+，又因为四面体 ABCD 的体积11 111132 6ABCDV=，所以3 212VrS=，所以内切球表面积24(3 2 2)Sr=.

17、故选：C.5.已知等比数列 na 的前n项积为nT，若798TTT，则（）A.0 q B.10 a C.15 161 TT D.16 171 TT，从而得到8 28810 T aq=，即可得到10 a，从而得到91 a，801 a，8901 aa，再根据等比数列的性质判断即可.【详解】设等比数列na 的公比为q，当 1 q=，则1 naa=，所以771Ta=，991Ta=，881Ta=，若10 a，则7710 Ta=，9910 Ta=，不符合题意；若10 a，则1na 单调（或为常数1），此时不满足798TTT，故不符合题意，所以 1 q；当 0

18、q，10 a，90 T，不符合题意，当 0 q，此时 na 奇数项为正，偶数项为负，则70 T，80 T，不符合题意，所以 0 q，故 A 错误，又7 7 2177 12 41aa a T a aq=，9 9 3699 12 51aa a T a aq=，第4页/共27页学科网（北京）股份有限公司()48 288 8 45 1 120 T aa a a q aa=又798TTT，所以7980 TTT，所以10 a，故对任意的n N，110nna aq=，则对任意的n N，0nT，故 B 错误；又9981TaT=，88701TaT=，989701TaaT=，所以115

19、8 15 1 2 4 151 T aa a a a=，16 1 2 12 13 14 15 16889()1 T a a aaaaa a a=，所以16 171 TT，故 D 正确，C 错误故选：D 6.如图，在棱长均为 2 的直三棱柱111ABC A B C 中，D 是11AB 的中点，过 B、C、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（）A.233 B.536 C.3 D.736【答案】B【解析】【分析】设平面 BCD 交11AC 于点 E，连接 DE、CE，推导出点 E 为11AC 的中点，用三棱柱111ABC A B C

20、的体积减去三棱台1A DE ABC 的体积即可得解.【详解】设平面 BCD 交11AC 于点 E，连接 DE、CE，第5页/共27页学科网（北京）股份有限公司在三棱柱111ABC A B C 中，平面/ABC 平面111ABC，平面 BCD 平面 ABC BC=，平面 BCD 平面111A B C DE=，所以，/DE BC，又因为11/BB CC 且11BB CC=，故四边形11BB C C 为平行四边形，所以，11/BC B C，所以，11/DE B C，因为 D 为11AB 的中点，所以，E 为11AC 的中点，且11112DE B C=，因为直三棱柱

21、111ABC A B C 的每条棱长都为 2，则1112132 2 234ABC A B C ABCV S AA=，易知1A DE 是边长为1 的等边三角形，则1233144A DES=，()11 1113A DE ABC A DE ABC A DE ABCV S S S S AA=+三棱台 1 3 3 733234 2 6=+=，因此，顶点1B 所在部分的体积为111 173 532366ABC A B C A DE ABCVV=三棱台.故选：B.7.在 ABC 中，0P 是边 AB 的中点，且对于边 AB 上任意一点 P，恒有00PB PC P B P C，则 AB

22、C 一定是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解.【详解】如下图所示，取 BC 的中点 D，第6页/共27页学科网（北京）股份有限公司显然，2222 2222PB PC PB PCPB PC PD DC PD DC+=，同理，2200 0PB PC PD D C=，因为00PB PC P B P C，所以22 220PD DC P D DC，即2200,PD P D PD P D，所以0P D BC，因为0,D P 是,BC AB 的中点

23、，所以0/AC PD,所以 AC BC，所以 ABC 一定是直角三角形.故选：A 8.十七世纪法国数学家皮埃尔德费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120；当三角形有一内角大于或等于 120时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在 ABC 中，已知23

24、C=，1 AC=，2 BC=，且点 M 在 AB 线段上，且满足CM BM=，若点 P 为 AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC+=（）A.1 B.45 C.35 D.25【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出 AB，再由正弦定理求出sin B，即可求出 cos B，设CM BM x=，由余弦定理求出x，即可求出AMCS，根据定义可知 P 为三角形的正等角中心，由等面积法求出PA PM PM PC PA PC+，最后根据数量积的定义计算可得.【详解】因为23C=，1 AC=，2 BC=，由余弦定理可得222 cos 7

25、AB AC CB AC CB C=+=，由正弦定理sin sinAC ABBC=，即17sin 32B=，所以21sin14B=，第7页/共27页学科网（北京）股份有限公司显然 B 为锐角，所以21 si57co1n s4B B=，设 CM BM x=，则22 22 cos CM CB BM CB BM C=+，即2 2210 727xx x=+，解得275x=，即25BM AB=，所以3 3755AM AB=，所以3 3 1 3 33125 5 2 2 10AMC ABCSS=，又2 22cos 02AM CM ACAMCAM CM+=，即 AMC 为锐角，所以 AMC 的三个

26、内角均小于120，则 P 为三角形的正等角中心，所以12 12 12 sin sin sin2 32 32 3AMCS PA PM PM PC PA PC=+()3 334 10PA PM PM PC PA PC=+=，所以65PA PM PM PC PA PC+=，因为PA PM PM PC PA PC+2 2 2 cos cos cos3 33PA PM PM PC PA PC=+()12PA PM PM PC PA PC=+16 325 5=.故选：C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

27、要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.第8页/共27页学科网（北京）股份有限公司 9.下列说法正确的是（）A.若/ab，/bc，则/ac B.()ab c abc C.若()ac b，则ab ac=D.()()2ab b a b=【答案】BC【解析】【分析】根据共线向量和零向量的定义判断 A，根据数量积的定义及运算律判断 B、C、D.【详解】对于 A：当0 b=且a与c不共线时，满足/ab，/bc，但是a与c不共线，故 A 错误；对于 B：设,ab=，则 cos ab a b=，则()cos ab c a

28、b c abc=，故 B 正确；对于 C：因为()ac b，则()0 abc=，则0 ab ac=，所以ab ac=，故 C 正确；对于 D：设,ab=，则 cos ab a b=，则()cos ab b a b b=表示与b共线的向量，而()2 2a b ab=表示与a共线的向量，故 D 错误；故选：BC 10.下列说法正确的是（）A.若()sin 2cos3fx x x=+()0 的最小正周期为，则 2=B.在 ABC 中，角,ABC 的对边分别为,abc，则“AB”是“ab”的充要条件 C.三个不全相等的实数a，b，c依次成等差数列

29、，则2a，2b，2c可能成等差数列 D.ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的正三角形，则 ABC 的面积为26【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，根据余弦和角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数周期公式求解；对于 B，根据条件直接判断；对于 C，根据等差数列的性质列式，引出矛盾从而判断；对于 D，先还原图形，再直接求面积.【详解】对于 A，()sin 2cos sin 2 cos cos sin sin3 33f x xx xx x=+=+()()cos 1 3 sin 5 2 3 sin xx

30、 x=+=+，1 31tan2 13+=，第9页/共27页学科网（北京）股份有限公司则()fx()0 的最小正周期2=，则 2=，故 A 正确；对于 B，在 ABC 中，根据“大角对大边，大边对大角”可知，“AB”是“ab”的充要条件，故 B 正确；对于 C，a，b，c依次成等差数列，则2acb+=，如果2a，2b，2c成等差数列，则2222abc+=，代入2acb+=得22 2 2 2caca+=+，平方得()22 22 4 22 2 2 22aa c ac ac c+=+=+，则()2 222 2 20 22 2a aa c c c+=，所以 0 2

31、2,c aacb=，与题意矛盾，故 C 错误；对于 D，过点 A 作/AF y 交 x 轴于点F，因为 ABC 的斜二测直观图是边长为 2 的正三角形，所以 ABC 的高3 AE=，所以32 6 AF=，所以原图中，2 6,2 AF BC=，所以 ABC 的面积为11262226 2 AF BC=.故 D 正确.故选：ABD 11.几何原本是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB，CD 是直角圆锥 SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（）A.存在

32、某条直径CD，使得 AD SD B.若 2 AB=，则三棱锥 S AOD 体积的最大值为16 C.对于任意直径 CD，直线 AD 与直线 SB 互为异面直线第10页/共27 页学科网（北京）股份有限公司 D.若6ABD=，则异面直线 SA 与 CD 所成角的余弦值是24【答案】BCD【解析】【分析】对于 A，由 CD 是直径得 90 DAC=，从而可知不存在直径 CD，使得 AD CD，从而可判断；对于 B，由题意可得当 AO OD 时，三棱锥 S AOD 体积最大，求解即可判断；对于 C，根据异面直线的判定方法即可判

33、断；对于 D，取 SB 的中点 E，取OB 的中点 F，连接,OE CE CF EF，可得COE（或及其补角）为异面直线 SA 与CD 所成角的平面角，根据余弦定理即可求解，从而可判断.【详解】对于 A，连接,SD AC，因为 SO 平面 ABD，AD 平面 ABD，所以 SO AD，若 AD SD，只需 AD CD，因为CD 是直径，所以 90 DAC=，所以不存在直径CD，使得 AD CD，所以不存在某条直径CD，使得 AD SD，A 错误；对于 B，若 2 AB=，则 1 SO OA OD=，所以三棱锥 S AOD 的体积为11 11 1

34、 sin 1 sin32 6AOD AOD=，所以当 AO OD 时，三棱锥 S AOD 体积的最大值为16，B 正确；对于 C，AB，CD 是直角圆锥 SO 底面圆的两条不同的直径，所以 AD 与 SB 没有交点，而 SB 平面 ADBC B=，AD 平面 ADBC，所以直线 AD 与直线 SB 互为异面直线，C 正确；对于 D，取 SB 的中点 E，取OB 的中点 F，连接,OE CE CF EF，则/OE SA，所以 COE（或及其补角）为异面直线 SA 与CD 所成角的平面角.令 2 AB=，则 1 SO OB OC=，所以1 2 1 11,

35、2 2 2 22OE SA OF EF SO=，因为6ABD=，所以3AOD BOC=，则32CF=，所以221 CE EF CF=+=，第11 页/共27 页学科网（北京）股份有限公司所以22211122cos24 2212OC OE CECOEOC OE+=，D 正确.故选：BCD 12.已知数列 na 中各项都小于 2，221143n n nna a aa+=，记数列 na 的前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A.任意1a 与正整数m，使得10mmaa+B.存在1a 与正整数m，使得134mmaa+C.任意非零实数1a 与正整数m，都有1 mmaa+D.

36、若11 a=，则()20221.5,4 S【答案】AD【解析】【分析】由递推公式得到()21134nnnnnaaaaa+=即可判断 A，记()24 fx x x=，依题意可得()134nnfa f a+，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n，134nnaa+，从而判断 B，分10 a=、102 a、10 a 三种情况讨论，即可判断 C，结合 A、C 即可判断 D.【详解】对于 A：因为221143n n nna a aa+=，所以()()1143n n nna aaa+=，所以()1134nnnnaaaa+=，则()211304nnnnnaaaaa+=，

37、故 A 正确；对于 B：记()24 fx x x=，由2221133 344 444 4n nn n n na aa a a a+=，第12页/共27 页学科网（北京）股份有限公司可得()134nnfa f a+，因为()fx 在(),2 上单调递减，所以对于任意正整数n，134nnaa+，故 B 错误；对于 C：由 A 可知所有na 同号，当10 a=时，易得对于任意正整数n，0na=，当102 a 时 02na，即()()1 nnfa fa+，因为()fx 在(),2 上单调递减，所以对于任意正整数n，1 nnaa+，当10 a 时 0na，2 2211

38、4 34n n n nn na a a aa a+=，即()()1 nnfa fa+，故 C 错误；对于 D：由 B 可知对于任意正整数n，134nnaa+，当11 a=时134nna，所以20221 20222022202213133 441 434414kkS=，由 C 中知当11 a=时，01na，所以2022 232SS，所以()20221.5,4 S，故 D 正确；故选：AD 非选择题部分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.杭州第 19 届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联

39、网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为 30 和 12 的两个同心圆上的弧（长度单位为 cm），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为23.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为_.第13页/共27 页学科网（北京）股份有限公司【答案】12 2【解析】【分析】计算出侧面展开图分别为 3

40、0 和 12，圆心角为23的扇形的两个圆锥的高，相减即可得解.【详解】一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为23的扇形，设该圆锥的底面半径为r，高为 h，所以2 2 303r=，可得 10 r=，因此，该圆锥的高为2230 10 20 2 h=，侧面展开图是半径为12，圆心角为2 3的扇形，设该圆锥的底面半径为1r，高为1h，所以12 2 123r=，可得14 r=，因此，该圆锥的高为22112 4 8 2 h=，因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为20

41、2 8 2 12 2=.故答案：12 2.14.已知等差数列 na，88 a=，983a=+，则576cos coscosaaa+=_.【答案】1【解析】【分析】记等差数列 na 的公差为d，则983da a=，由75 75 75 7557,22 22aa aa aa aaaa+=+，7562aaa+=，结合和差角余弦公式可得75 755 7 757562cos coscos cos222coscos 2cos2aa aaa a aaaaa+=+，从而可求解.【详解】记等差数列 na 的公差为d，则983da a=，因为75 75 75 7557,22 22aa

42、aa aa aaaa+=+，7562aaa+=，所以75 75 75 7557cos cos cos cos sin sin2 2 22aa aa aa aaaa+=+为第14页/共27 页学科网（北京）股份有限公司 75 75 75 75 75 75cos cos sin sin 2cos cos22 2 2 22aa aa aa aa aa aa+=，所以75 755 7 757562cos coscos cos 222cos 2cos 2cos 1cos 2 3cos2aa aaa a aadaaa+=+.故答案为：1 15.如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，13

43、 BC CC=，4 AC=，AC BC，动点 P 在111ABC 内（包括边界上），且始终满足1BP AB，则动点 P 的轨迹长度是_.【答案】125【解析】【分析】推导出11BC AB，在平面111ABC 内，过点1C作1 11CH AB，垂足为点 H，证明出11AB C H，可得出1AB 平面1BC H，分析可知点 P 的轨迹为线段1CH，利用等面积法求出线段1CH 的长，即为所求.【详解】在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB 平面 ABC，因为 AC 平面 ABC，所以，1AC BB，又因为 AC BC，1BC BB B=，BC

44、、1BB 平面11BB C C，所以，AC 平面11BB C C，因为1BC 平面11BB C C，所以，1BC AC，因为11/BB CC，11BB CC BC=，则四边形11BB C C 为菱形，所以，11BC B C，又因为1AC B C C=，AC、1BC 平面1AB C，所以，1BC 平面1AB C，因为1AB 平面1AB C，所以，11BC AB.第15页/共27 页学科网（北京）股份有限公司在平面111ABC 内，过点1C作1 11CH AB，垂足为点 H，因为1BB 平面111ABC，1CH 平面111ABC，则11C H BB，因为1 11CH AB，1 11 1

45、BB A B B=，1BB、11AB 平面11AA B B，所以，1CH 平面11AA B B，因为1AB 平面11AA B B，则11AB C H，因为11 1BC C H C=，1BC、1CH 平面1BC H，所以，1AB 平面1BC H，由于动点 P 又在111ABC 内，所以动点 P 在平面111ABC 与平面1BC H 的交线1CH 上，因为114 AC AC=，113 B C BC=，11 11AC BC，所以，2 2 2211 11 1143 5 AB AC BC=+=+=，由等面积法可得11 111114 3 1255AC BCCHAB=，因此，动点 P 的轨迹

46、长度是125.故答案为：125.16.已知向量a，b的夹角为3，且 3 ab=，向量c满足()()1 01 ca b=+，且ac bc=，记caxa=，cbyb=，则22x x y y+的最大值为_.【答案】278【解析】【分析】设,OA a OB b OC c=,由共线定理可知点C 在线段 AB 上，设 AOC=，则第16页/共27 页学科网（北京）股份有限公司 3BOC=，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 22 23|4x y xy c+=，可将原问题转化为求|c的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求 AB 的

49、字说明、证明过程或演算步骤.17.定义一种运算：(),ca b ac bdd=+.（1）已知z复数，且()3,7 3i4zz=，求 z；（2）已知x、y为实数，()()2sinisin 2,2 1,sin2 3ixyx xy+也是实数，将y表示为x的函数并求该函数的单调递增区间.【答案】（1）10（2）2sin 2 33yx=+，增区间为()7,12 12k kk+Z【解析】【分析】（1）()i,z a b ab=+R，由()3,7 3i4zz=结合复数相等可求出a、b 的值，再利用复数的模长公式可求得 z 的值；（2）利用题中运算结合复数的概

50、念可得出2sin 2 2 3 sin 0 yx x+=，利用三角恒等变换化简可得出y关于x的函数表达式，再利用正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递增区间.【小问 1 详解】解：设()i,z a b ab=+R，因为()()()3,3 4 3 i 4 i 7 i 7 3i4zz z z ab ab ab=+=+=，为第18页/共27 页学科网（北京）股份有限公司所以，773ab=，即13ab=，则 1 3i z=+，因此，221 3 10 z=+=.【小问 2 详解】解：()()()()22sinisin 2,2 1,sin 2 sin sin

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