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1、精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢1 0.1 算法 1、（p.11，题 1）用二分法求方程 0 13 x x 在 1,2 内的近似根，要求误差不超过 10-3.【解】由二分法的误差估计式31 1*10212|k kka bx x，得到1000 21 k.两端取自然对数得 96.8 12 ln10 ln 3 k，因此取 9 k，即至少需二分 9 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kx f 符号 0 1 2 1.5+1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（p.11，题 2）证明方程 2 10)(x e x fx在区间 0,1 内有唯一个实根；使用二分
2、法求这一实根，要求误差不超过21021。【解】由于 2 10)(x e x fx，则)(x f 在区间 0,1 上连续，且0 1 2 0 10)0(0 e f，0 8 2 1 10)1(1 e e f，即 0)1()0(f f，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间 0,1 上至少有一个零点.又 0 10)(xe x f，即)(x f 在区间 0,1 上是单调的，故)(x f 在区间 0,1 内有唯一实根.由二分法的误差估计式21 1*1021212|k kka bx x，得到 100 2 k.两端取自然对数得 6438.6 3219.3 22 ln10 ln 2 k，因此取 7 k，即至
3、少需二分7 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kx f 符号 0 0 1 0.5 1 2 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 3 4 5 6 7 0.2 误差 1（p.12，题 8）已知 e=2.71828，试问其近似值7.21 x，71.22 x，x2=2.71，718.23 x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为11102105.0 01828.0|x e，所以7.21 x有两位有效数字；因为12102105.0 00828.0|x e，所以71.22 x亦有两位有效数字；因为3310210005.0 00028.0
4、|x e，所以718.23 x有四位有效数字；%85.17.205.0|111 xx er；%85.171.205.0|222 xx er；%0184.0718.20005.0|333 xx er。评（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2（p.12，题 9）设72.21 x，71828.22 x，0718.03 x均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】005.01，311110 84.172.2005.0 xr；000005.02，622210 84.171828.2000005.0 xr；00
5、005.03，433310 96.60718.000005.0 xr；评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 3（p.12，题 10）已知42.11 x，0184.02 x，4310 184 x的绝对误差限均为210 5.0，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为210 5.0知有效数字应从小数点后两位算起，故42.11 x，有三位；0184.02 x有一位；而0184.0 10 18443 x，也是有一位。1.1 泰勒插值和拉格朗日插值 1、（p.54，习题 1）求作x x f s
6、in)(在节点00 x的 5 次泰勒插值多项式)(5x p，并计算)3367.0(5p和估计插值误差，最后将)5.0(5p有效数值与精确解进行比较。【解】由x x f sin)(，求得x x f cos)()1(；x x f sin)()2(；x x f cos)()3(；x x f sin)()4(；x x f cos)()5(；x x f sin)()6(，所以)(5x p 500)5(200)2(0 0)1(0)(!5)()(!2)()()(x xx fx xx fx x x f x f 5)5(2)2()1(!5)0(!2)0()0()0(xfxfx f f 5 3!51!31x x
7、x 插值误差：)(5x R6 6060)6(!61)(!6|)sin(|)(!6|)(|x x x x xf，若5.0 x，则)3367.0(5p 3303742887.0!53367.0!33367.03367.05 3，而5 66510 5.0 10 02.2!63367.0)3367.0(R，精度到小数点后 5 位，故取33037.0)3367.0(5 p，与精确值 330374191.0)3367.0 sin()3367.0(f相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题 12）给定节点4,3,1,13 2 1 0 x x x x，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）2
8、3 4)(3 x x x f；（2）3 42)(x x x f【解】依题意，3 n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iix xfx R（1）0)()4(x f 0)(3 x R；精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4（2）因为!4)()4(x f，所以)4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!4)()()4(3 x x x x x x x xfx R 3、（p.55，题 13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0 sin(的近似值并估计误差。i 0 1 2 ix 0.32 0.34 0.36)sin(ix 0.
9、314567 0.333487 0.352274【解】依题意，3 n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iix xfx R（1）线性插值 因为3367.0 x在节点0 x和1x之间，先估计误差 2)(max()(2)sin()(!2)()(1 01 0 1 0 1x x x xx x x x x x x xfx R 421021201.0；须保留到小数点后 4 为，计算过程多余两位。x0 x1(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)xy0)(1x P)sin()()sin()(1)sin()sin(0 1 1 00 110 1001 01 x x x x x xx xxx
10、 xx xxx xx x)(1x P)32.0 sin()3367.0 34.0()34.0 sin()32.0 3367.0(02.01)32.0 sin(0033.0)34.0 sin(0167.002.01 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 3304.0（2）抛物线插值 插值误差：)(2x R)()(6)cos()()(!3)(2 1 0 2 1 0 x x x x x x x x x x x xf 632 1 01021601.0 36)()(max(x x x x x x x0 x1Max=3(x1-x0)3/8y=(x-x0)(x-x1)(x
11、-x2)xy0 x2 抛物线插值公式为：)(2x P)sin()()()sin()()()sin()()(20 2 1 20 112 1 0 12 002 0 1 02 1 xx x x xx x x xxx x x xx x x xxx x x xx x x x)sin(2)()sin()()sin(2)(02.0120 11 2 0 02 12xx x x xx x x x x xx x x x)3367.0(2P)36.0 sin(7555.2)34.0 sin(911.38)32.0 sin(8445.302.01025)36.0 sin(7555.2)34.0 sin(911.38)
12、32.0 sin(8445.302.01025 33037439.0 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2 P，与 330374191.0)3367.0 sin(精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数 1、（p.56，习题 33）设分段多项式 2 1 1 21 0)(2 32 3x cx bx xx x xx S 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 是以 0,1,2 为节点的三次样条函数，试确定系数 b，c 的值.【解】依题意，要求 S(x)在 x=1 节点 函数值连续：)1(1 1 1 1 2 1 1)1(2 3
13、 2 3 S c b S，即：)1(1 c b 一阶导数连续：)1(1 2 1 6 1 2 1 3)1(2 2 S c b S，即：)2(1 2 c b 解方程组（1）和（2），得3,2 c b，即 2 1 1 3 2 21 0)(2 32 3x x x xx x xx S 由于)1(2 2 1 2 6 2 1 2 3)1(S S，所以 S(x)在 x=1 节点的二阶导数亦连续。2、已知函数211xy 的一组数据，2,1,02 1 0 x x x和2.0,5.0,12 1 0 y y y，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1(f的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，
14、将 x 分为 0,1 和 1,2 两段，对应的插值函数为)()(2 1x S x S 和，利用拉格朗日线性插值公式，求得 1 5.0 5.00 1011 01)(10 1001 011 xx xyx xx xyx xx xx S；8.0 3.0 2.01 215.02 12)(21 2112 122 xx xyx xx xyx xx xx S（2）9 3076923076.05.1 11)5.1(2 f，而 35.0 8.0 5.1 3.0)5.1(2 S，实际误差为：05.0 0423.0|)5.1()5.1(|2 S f。由4 22)3(3 22)2(2 2)1()1()1(24)(,)1
15、()3 1(2)(,)1(2)(xx xx fxxx fxxx f,可知5.0)1()2(2 f M，则余项表达式 5.0 0625.0 5.0 5.0!2|)2)(1(|!2|)(|)(4 2 2)2(Mx xfx R 1.4 曲线拟合 1、（p.57，习题 35）用最小二乘法解下列超定方程组：精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 7 26 23 5 311 4 2y xy xy xy x【解】构造残差平方和函数如下：2 2 2 2)7 2()6 2()3 5 3()11 4 2(),(y x y x y x y x y x Q，分别就 Q对 x 和 y
16、求偏导数，并令其为零：0),(xy x Q：)1(17 6 y x，0),(yy x Q：)2(48 46 3 y x，解方程组（1）和（2），得 24176.127317 3 48 6,04029.327348 17 46 y x 2、（p.57，习题 37）用最小二乘法求形如2bx a y 的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令2x X，则bX a y 为线性拟合，根据公式(p.39,公式 43)，取 m=2，a1=0，N=5，求得)2()1(5 551251514512512515151251ii iii iiiiiiiiiiiiiiiy x y X x b x a X b X ay
17、x b a X b a；依据上式中的求和项，列出下表 xi yi Xi(=xi2)Xi2(=xi4)Xi yi(=xi2yi)19 19 361 130321 6859 25 32.3 625 390625 20187.5 31 49 961 923521 47089 38 73.3 1444 2085136 105845.2 44 97.8 1936 3748096 189340.8 157 271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得)2(5.369321 7277699 5327)1(4.271 5327 500b ab a 9725
18、8.080115661.77918785327 5327 7277699 55327 5.369321 7277699 4.271 a；05004.080115667.4008595327 5327 7277699 54.271 5327 5.369321 5 b；即：205004.0 97258.0 x y。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 2.1 机械求积和插值求积 1、（p.94，习题 3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：hhh f A f A h f A dx x f)()0()()()1(2 1
19、 0；102 1 0)43()21()41()()2(f A f A f A dx x f；100 0)()0(41)()3(x f A f dx x f。【解】（1）令2,1)(x x x f 时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(32)2(0)1(22 02 02 1 0h A AA Ah A A A 解得：h AhA A34,31 2 0，即：hhh f f h fhdx x f)()0(4)(3)(，可以验证，对3)(x x f 公式亦成立，而对4)(x x f 不成立，故公式（1）具有 3 次代数精度。（2）令2,1)(x x x f 时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(16
20、27 12 3)2(2 3 2)1(12 1 02 1 02 1 0A A AA A AA A A 解得：31,321 2 0 A A A，即：)43(2)21()41(2 31)(10 f f f dx x f，可以验证，对3)(x x f 公式亦成立，而对4)(x x f 不成立，故公式（2）具有 3 次代数精度。（3）令x x f,1)(时等式精确成立，可解得：324300 xA 即：10)32(43)0(41)(f f dx x f，可以验证，对2)(x x f 公式亦成立，而对3)(x x f 不成立，故公式（3）具有 2 次代数精度。2、（p.95，习题 6）给定求积节点,43,4
21、11 0 x x 试构造计算积分10)(dx x f I的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：21)4321(243414310210101 010 x x dxxdxx xx xA；精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 21)4121(241434110210100 101 x x dxxdxx xx xA；插值求积公式：100)43(21)41(21)()(f f x f A dx x fnkk k 当1)(x f，左边=101)(dx x f；右边=1 121121；左=右；当x x f)(，左边=1010221
22、21)(x dx x f；右边=2143214121；左=右；当2)(x x f，左边=101033131)(x dx x f；右边=1651692116121；左右；故该插值求积公式具有一次代数精度。2.2 梯形公式和 Simpson 公式 1、（p.95，习题 9）设已给出x e x fx4 sin 1)(的数据表，x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 f(x)1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 66 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I 10)(的近似值。【解】（1）用 复化梯形法：28358.1 72159
23、.0)06666.1 55152.1 65534.1(2 00000.1 125.0)00.1()75.0()50.0()25.0(2)00.0(225.0)()(2)(2)()(225.041,5,1,0555111105 TTf f f f f Tb f x f a fhx f x fhTna bh n b ankk k knk（2）用 复化辛普生法：30939.1 72159.0 10304.3 888.10 00000.1 121)00.1()50.0(2)75.0()25.0(4)00.0(65.0)()(2)(4)(6)()(4)(65.021,2,1,022111021 1211
24、02 Sf f f f f Sb f x f x f a fhx f x f x fhSna bh n b ankknkkkkknk精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 2、（p.95，习题 10）设用复化梯形法计算积分10dx e Ix，为使截断误差不超过51021，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】（1）用 复化梯形法，xe x f x f x f b a)()()(,1,0，设需划分 n 等分，则其截断误差表达式为：enfna bT I Rn T332312)0 1()(max12)(|；依题意，要求51021|TR，
25、即 849.21261010211252 52 enne，可取213 n。（2）用 复化辛普生法，xe x f x f x f b a)()()(,1,0，截断误差表达式为：4 45452880 2880)0 1()(max)2(180)(|neenfna bS I Rn S；依题意，要求51021|SR，即 70666.31440101021288054 54 enne，可取4 n，划分 8 等分。2.3 数值微分 1、（p.96，习题 24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式)53()(3)(4)(21)()52()()(21)()51()()(4)(3 21)(2 1
26、0 22 0 12 1 0 0 x f x f x fhx fx f x fhx fx f x f x fhx f【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 nk jjj kknk k kx xnfx p x f x R0)1()()!1()()()()(由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1 2 0 1,2 x x x x h n，则 2 02 0 1 002100)1 2(03)()(!3)()()!1 2()()(hfx x x xfx xfx Rjj 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 2 02 1 0 11210
27、11)1 2(16)()(!3)()()!1 2()()(hfx x x xfx xfx Rjjj 2 21 2 0 2222022)1 2(23)()(!3)()()!1 2()()(hfx x x xfx xfx Rjjj 2、（p.96，习题 25）设已给出2)1(1)(xx f的数据表，x 1.0 1.1 1.2 f(x)0.2500 0.2268 0.2066 试用三点公式计算)2.1(),1.1(),0.1(f f f的值，并估计误差。【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11 2 0 1 2 1 0 x x x x h x x x，用 三点公式计算微商：1870.0 2066.0
28、 3 2268.0 4 2500.0 1.0 21)2.1(3)1.1(4)0.1(21)2.1(2170.0 2066.0 2500.0 1.0 21)2.1()0.1(21)1.1(2470.0 2066.0 2268.0 4 2500.0 3 1.0 21)2.1()1.1(4)0.1(3 21)0.1(f f fhff fhff f fhf5 4 3 2)1(24)(;)1(6)(;)1(2)(;)1(1)(xx fxx fxx fxx f，用余项表达式计算误差 0025.0)0.1 1(31.0 243)()0.1(522 0 hfR00125.0)0.1 1(!31.0 24!3)
29、()1.1(522 1 hfR04967.0)1.1 1(31.0 243)()2.1(522 2 hfR 3、（p.96，习题 26）设x x f sin)(，分别取步长001.0,01.0,1.0 h，用中点公式（52）计算)8.0(f的值，令中间数据保留小数点后第 6 位。【解】中心差商公式：hh a f h a fa f2)()()(，截断误差：2!3)()(ha fh R。可见步长 h 越小，截断误差亦越小。(1)9.0 8.0,7.0 8.0,1.02 0 h x h x h,则 695545.0 644218.0 783327.0 1.0 21)7.0 sin()9.0 sin(
30、21)8.0(hf；(2)81.0 8.0,79.0 8.0,01.02 0 h x h x h,则 6967.0 710353.0 724287.0 01.0 21)79.0 sin()81.0 sin(21)8.0(hf(3)801.0 8.0,799.0 8.0,001.02 0 h x h x h,则 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢12 6965.0 716659.0 718052.0 01.0 21)799.0 sin()801.0 sin(21)8.0(hf而精确值 6967067.0)8.0 cos()8.0(f，可见当01.0 h时得到的
31、误差最小。在001.0 h时反而误差增大的原因是)8.0(h f 与)8.0(h f 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 Euler 格式 1、（p.124，题 1）列出求解下列初值问题的欧拉格式)4.0 0()1(2 2 x y x y，1)0(y，取2.0 h；)2.1 1()2(2 xxyxyy，1)0(y，取2.0 h；【解】（1）)(2.0)(2 2 2 21 n n n n n n n n ny x y y x h y hy y y；（2）)(2.0)(22221nnnnnnnnnn nxyxyyxyxyh y y。2、（p.1
32、24，题 2）取2.0 h，用欧拉方法求解初值问题)6.0 0(2 x xy y y，1)0(y。【解】欧拉格式：)(2.0)(2 21 n n n n n n n n n n ny x y y y x y h y hy y y；化简后，212.0 8.0n n n ny x y y，计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 3、（p.124，题 3）取1.0 h，用欧拉方法求解初值问题)4 0(21122 x yxy，0)0(y。并与精确解211 2xxy比较计算结果。【解】欧拉格式：)211(2.0)211(
33、22221 nnn nnn n n nyxy yxh y hy y y；化简后，22112.04.0nn n nxy y y，计算结果见下表。1、（p.124，题 7）用改进的欧拉方法求解上述题 2，并比较计算结果。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢13【解】因为)6.0 0(),(2 x xy y y x f y，2.0 h，且1)0(y，则改进的欧拉公式：2)()(2.0)(),(2.0 8.0)(),(12 22 2c pnp n p n p n p n p n n cn n n n n n n n n n py yyy x y y y x y h y
34、 y x hf y yy x y y x y h y y x hf y y。计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yp 1.0 0.6730 0.5147 0.3941 yc 0.76 0.7092 0.5564 0.4319 yn 0.88 0.6911 0.5356 0.413 与原结果比较见下表 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 yn(改进)0.88 0.6911 0.5356 0.413 3.3 龙格-库塔方法 1、（p.124，题 11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题
35、y y 3 8，2)0(y，试取步长2.0 h计算)4.0(y的近似值，要求小数点后保留 4 位数字。【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：),()2,()2,(),()2 2(63 1 4221 3121 214 3 2 1 1hK y x f KKhy x f KKhy x f Ky x f KK K K Khy yn nnnnnn nn n；列表求得)4.0(y如下：n xn yn 0 0.0 2.000 1 0.2 2.3004 2 0.4 2.4654 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 4.1 迭代法及收敛定理 1、（p.153，题 1）试取1
36、0 x，用迭代公式),2,1,0(10 22021 kx xxk kk，求方程0 20 10 22 3 x x x的根，要求准确到310。【解】迭代计算结果列于下表 k xk|xk-xk-1|0.001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 1.53846 0.53846 N 6 1.36593 0.00937 N 2 1.29502 0.24344 N 7 1.37009 0.00416 N 3 1.40182 0.10680 N 8 1.36824 0.00185 N 4 1.35421 0.04761 N 9 1.36906 0.00082 Y 5 1.37530 0.02109 N
37、 因为38 910 00082.0|x x，所以36906.19 x x。2、（p.153，题 2）证明方程x x cos21有且仅有一实根。试确定这样的区间,b a，使迭代过程k kx x cos211对,0b a x 均收敛。【证明】设：x x g cos21)(，则当R x时，21,21 cos21)(x x g，且一阶导数x x g sin21)(连续，121|sin21|)(|x x g，所以迭代过程k kx x cos211对R x 0均收敛。（压缩映像定理），方程x x cos21有且仅有一实根。3、（p.153，题 4）证明迭代过程kkkxxx121 对任意初值10 x均收敛于
38、2。【证明】设：xxx g12)(，对于任意1 x，因为212212 xxxx，所以2)(x g。一阶导数121 121)(2 xx g，根据压缩映像定理，迭代公式kkkxxx121 对任意初 值10 x均 收 敛。假 设 x xkklim，对 迭 代 式kkkxxx121 两 边 取 极 限，则 有 xxx12，则 22x，解得2 x，因2 x不在1 x范围内，须舍去。故2 x。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15 4.2 牛顿迭代法 1、（p.154，题 17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有 4 位有效数字：（1）0 1 33 x x，2
39、0 x（2）0 2 32 xe x x，10 x【解】（1）设1 3)(3 x x x f，则3 3)(2 x x f，牛顿迭代公式：),2,1,0()1(31 23 31 3)()(23231 kxxxx xxx fx fx xkkkk kkkkk k，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0.0001 k xk|xk-xk-1|0.0001 1 1.88889 0.11111 N 3 1.87939 0.00006 Y 2 1.87945 0.00944 N 因为42 310 00006.0|x x，所以879.13 x x。（2）设2 3)(2 xe x x x f，则xe x
40、 x f 3 2)(，牛顿迭代公式：),2,1,0(3 22)1(3 22 3)()(2 21 ke xx e xe xe x xxx fx fx xkkkkxkkxkxkxk kkkkk k，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0.0001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 0.26894 0.73106 N 3 0.25753 0.00014 N 2 0.25739 0.01155 N 4 0.25753 0.00000 Y 因为42 310 00000.0|x x，所以2575.04 x x。2、（p.154，题 18）应用牛顿法于方程03 a x，导出求立方根)0(
41、3 a a的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】（1）设：a x x f 3)(，则23)(x x f，对任意0 x，牛顿迭代公式 23231323)()(kkkkkkkk kxa xxa xxx fx fx x,2,1,0 k（2）由以上迭代公式，有：3 lim a x xkk。设)0(32)(23 xxa xx g x x g)(；0)1(32)(33 a xxax g；342 2)(3axax ga x。21)(!2)()()()(x xgx x x g x g x g x xk k k k 3211!2)()(limax gx xx xkkk，可见该迭代公式具有二阶收敛性
42、。精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢16 5.1 线性方程组迭代公式 1、（p.170，题 1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：1 22 32 12 1x xx x，要求结果有 3 位有效数字。【解】雅可比迭代公式：)1(212121)2(313231)(1)(1)1(2)(2)(2)1(1k k kk k kx x xx x x，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1k kx x|)1(2)(2k kx x 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/2 2/3 1/2 N 2 1/2 1/6 1/6 1/3 N 3 11/1
43、8 1/4 1/9 1/12 N 4 7/12 7/36 1/36 1/18 N 5 0.60185 0.20833 0.01852 0.01389 N 6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 N 7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 N 8 0.59954 0.19985 0.00077 0.00154 N 9 0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 N 10 0.59992 0.19998 0.00003 0.00025 Y 200.0;600.0)10(2 2)10(1 1 x x x x；由上表可见，所求
44、根皆为小数点后第 1 位不为零的小数，要取 3 位有效数，则误差限为31021。高斯-赛德尔迭代公式：)1(612121)2(313231)(2)1(1)1(2)(2)(2)1(1k k kk k kx x xx x x，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1k kx x|)1(2)(2k kx x 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/6 2/3 1/6 N 2 0.6111 0.1944 N 3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0047 N 4 0.6003 0.1999 0.0016 0.0008 N 5 0.6000 0.1999 0.0003
45、0.0000 Y 200.0;600.0)5(2 2)5(1 1 x x x x；2、（p.171，题 7）取25.1，用松弛法求解下列方程组，要求精度为41021。12 420 4 316 3 43 23 2 12 1x xx x xx x 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢17【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：)1(2516164934124116954143443)(3)(2)(2)1()(3)(2)(3)(1)1()(2)1(321 k k k kk k k k kk kx x x xx x x x xx x 引入松弛因子，得)2(4541)1(454
46、1)1(4541)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(13 32 21 1 k k k k kk k k k kk k k k kx x x x xx x x x xx x x x x 将方程组（1）代入（2），并化简)3(8256411256452516564295161541)(3)(2)1(3)(3)(2)1(2)(2)(1)1(1 k k kk k kk k kx x xx x xx x x 计算结果见下表。k)(1kx)(2kx)(3kx|)1(1)(1k kx x|)1(2)(2k kx x|)1(3)(3k kx x
47、e?0 0 0 0-1 5 2.5-3.125 5 2.5 3.125 N 2 1.40625 2.65625-2.14844 N 3 2.15820 3.03223-2.28882 N 4 1.61173 3.15872-2.19860 N 5 1.63577 3.24423-2.19187 N 6 1.54959 3.28508-2.17800 N 7 1.53284 3.30793-2.17320 N 8 1.51561 3.31978-2.17001 N 9 1.50880 3.32615-2.16847 N 0 1.50453 3.32951-2.16762 N 1 1.50245
48、3.33130-2.16717 N 2 1.50129 3.33225-2.16694 N 3 1.50069 3.33276-2.16672 N 4 1.50037 3.33306-2.16676 N 5 1.50016 3.33318-2.16670 N 6 1.50010 3.33325-2.16668 N 7 1.50005 3.33329-2.16668 0.00005 0.00004 0.00000 Y 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢18 迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)17(3 3)17(2 2)17(1 1 x x x
49、 x x x 精确解：.1667.2613,3333.3310,5.1233 2 1 x x x 5.1 线性方程组迭代公式 1、（p.170，题 2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。17 7 2 223 8 2 311 3 87 5 104 3 2 14 3 2 13 2 14 3 1x x x xx x x xx x xx x x【解】（1）雅可比迭代公式：717727271823814183811838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(4)(3)1(1k k k kk k k
50、kk k kk k kx x x xx x x xx x xx x x(1)JG 07272718104184083081211010 0，187 JG，迭代收敛。（2）高斯-赛德尔迭代公式：717727271823814183811838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1k k k kk k k kk k kk k kx x x xx x x xx x xx x x(2)将方程组（1）带入（2），经化简后，得：精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢19 1120399122