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1、.学习参考 .0.1 算法 1、（p.11，题1）用二分法求方程013 xx在 1,2内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式311*10212|kkkabxx，得到100021k.两端取自然对数得96.812ln10ln3k，因此取9k，即至少需二分9 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kxf符号 0 1 2 1.5+1 2 3 4 5 6 7 8 9 2、（p.11，题2）证明方程210)(xexfx在区间0,1内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021。【解】由于210)(xexfx，则)(xf在区间0,1上连续，且012010)0(0
2、 ef，082110)1(1eef，即0)1()0(ff，由连续函数的介值定理知，)(xf在区间0,1上至少有一个零点.又010)(xexf，即)(xf在区间0,1上是单调的，故)(xf在区间0,1内有.学习参考 .唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212|kkkabxx，得到1002 k.两端取自然对数得6438.63219.322ln10ln2k，因此取7k，即至少需二分 7 次.求解过程见下表。k ka kb kx)(kxf符号 0 0 1 0.5 1 2 3 4 5 6 7 0.2 误差 1（p.12，题8）已知e=2.71828，试问其近似值7.21x，71.22x，x2
3、=2.71，718.23x各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为11102105.001828.0|xe，所以7.21x有两位有效数字；因为12102105.000828.0|xe，所以71.22x亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0|xe，所以718.23x有四位有效数字；%85.17.205.0|111xxer；.学习参考 .%85.171.205.0|222xxer；%0184.0718.20005.0|333xxer。评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字.2（p.12，题9）设7
4、2.21x，71828.22x，0718.03x均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】005.01，31111084.172.2005.0 xr；000005.02，62221084.171828.2000005.0 xr；00005.03，43331096.60718.000005.0 xr；评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3（p.12，题10）已知42.11x，0184.02x，4310184x的绝对误差限均为2105.0，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为2105.0知有效数字应从小数点后两位算起
5、，故42.11x，有三位；0184.02x有一位；而0184.01018443x，也是有一位。1.1 泰勒插值和拉格朗日插值 1、（p.54，习题1）求作xxfsin)(在节点00 x的5 次泰勒插值多项式)(5xp，并计算)3367.0(5p和估计插值误差，最后将)5.0(5p有效数值与精确解进行比较。【解】由xxfsin)(，求得xxfcos)()1(；xxfsin)()2(；xxfcos)()3(；xxfsin)()4(；xxfcos)()5(；xxfsin)()6(，所以 )(5xp 500)5(200)2(00)1(0)(!5)()(!2)()()(xxxfxxxfxxxfxf.学习
6、参考 .5)5(2)2()1(!5)0(!2)0()0()0(xfxfxff 53!51!31xxx 插值误差：)(5xR66060)6(!61)(!6|)sin(|)(!6|)(|xxxxxf，若5.0 x，则 )3367.0(5p3303742887.0!53367.0!33367.03367.053，而5665105.01002.2!63367.0)3367.0(R，精度到小数点后5 位，故取33037.0)3367.0(5p，与精确值330374191.0)3367.0sin()3367.0(f相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点4,3,1,13210
7、xxxx，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）234)(3xxxf；（2）342)(xxxf【解】依题意，3n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）0)()4(xf 0)(3xR；（2）因为!4)()4(xf，所以 )4)(3)(1)(1()4)(3)(1)(1(!4)()()4(3xxxxxxxxfxR 3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算)3367.0sin(的近似值并估计误差。i 0 1 2 ix 0.32 0.34 0.36)sin(ix 0.314567 0.333487 0.352274 .学习参考 .【解】依
8、题意，3n，拉格朗日余项公式为 30)4(3)(!4)()(iixxfxR（1）线性插值 因为3367.0 x在节点0 x和1x之间，先估计误差 2)(max()(2)sin()(!2)()(1010101xxxxxxxxxxxxfxR 421021201.0；须保留到小数点后4 为，计算过程多余两位。x0 x1(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)xy0)(1xP)sin()()sin()(1)sin()sin(01100110100101xxxxxxxxxxxxxxxxxx )(1xP)32.0sin()3367.034.0()34.0sin()32.03367.0(02.01
9、)32.0sin(0033.0)34.0sin(0167.002.01 3304.0 （2）抛物线插值 插值误差：)(2xR)()(6)cos()()(!3)(210210 xxxxxxxxxxxxf 632101021601.036)()(max(xxxxxx.学习参考 .x0 x1Max=3(x1-x0)3/8y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)xy0 x2 抛物线插值公式为：)(2xP)sin()()()sin()()()sin()()(202120112101200201021xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx )sin(2)()sin()()sin(2)(02
10、.012011200212xxxxxxxxxxxxxxx)3367.0(2P)36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025 )36.0sin(7555.2)34.0sin(911.38)32.0sin(8445.302.01025 33037439.0 经四舍五入后得：330374.0)3367.0(2P，与330374191.0)3367.0sin(精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3 分段插值与样条函数 1、（p.56，习题33）设分段多项式 211210)(2323xcxbxxxxxxS 是以0,1,2 为节点的三次样
11、条函数，试确定系数b，c 的值.【解】依题意，要求S(x)在 x=1 节点 函数值连续：)1(1111211)1(2323ScbS，即：)1(1 cb 一阶导数连续：)1(12161213)1(22ScbS，.学习参考 .即：)2(12 cb 解方程组（1）和（2），得3,2cb，即 21132210)(2323xxxxxxxxS 由于)1(221262123)1(SS，所以S(x)在 x=1 节点的二阶导数亦连续。2、已知函数211xy 的一组数据，2,1,0210 xxx和2.0,5.0,1210yyy，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算)5.1(f的近似值，并根据余项表达式估计误差。
12、【解】（1）依题意，将x 分为0,1和 1,2两段，对应的插值函数为)()(21xSxS和，利用拉格朗日线性插值公式，求得 15.05.00101101)(101001011xxxyxxxxyxxxxxS；8.03.02.01215.0212)(212112122xxxyxxxxyxxxxxS（2）93076923076.05.111)5.1(2f，而 35.08.05.13.0)5.1(2S，实际误差为：05.00423.0|)5.1()5.1(|2Sf。由422)3(322)2(22)1()1()1(24)(,)1()31(2)(,)1(2)(xxxxfxxxfxxxf,可知5.0)1()
13、2(2 fM，则余项表达式 5.00625.05.05.0!2|)2)(1(|!2|)(|)(422)2(MxxfxR 1.4 曲线拟合 1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：.学习参考 .72623531142yxyxyxyx【解】构造残差平方和函数如下：2222)72()62()353()1142(),(yxyxyxyxyxQ，分别就Q 对 x 和 y 求偏导数，并令其为零：0),(xyxQ：)1(176 yx，0),(yyxQ：)2(48463yx，解方程组（1）和（2），得 24176.1273173486,04029.3273481746yx 2、（p.57，习题3
14、7）用最小二乘法求形如2bxay 的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令2xX，则bXay为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得 )2()1(5551251514512512515151251iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxyXxbxaXbXayxbaXba；依据上式中的求和项，列出下表 xi yi Xi(=xi2)Xi2(=xi4)Xi yi(=xi2yi)19 19 361 130321 6859 25 32.3 625 390625 20187.5 31 49 961 923521 47089.学习参考 .38 73.3 1444 20
15、85136 105845.2 44 97.8 1936 3748096 189340.8 157 271.4 5327 7277699 369321.5 将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得 )2(5.36932172776995327)1(4.2715327500baba 97258.080115661.7791878532753277277699553275.36932172776994.271a；05004.080115667.40085953275327727769954.27153275.3693215b；即：205004.097258.0 xy。2.1 机械求积和插值求积 1
16、、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：hhhfAfAhfAdxxf)()0()()()1(210；10210)43()21()41()()2(fAfAfAdxxf；1000)()0(41)()3(xfAfdxxf。【解】（1）令2,1)(xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(32)2(0)1(22020210hAAAAhAAA 解得：hAhAA34,3120，即：hhhffhfhdxxf)()0(4)(3)(，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（1）具有3 次代数精度。（2）令2,1)(
17、xxxf时等式精确成立，可列出如下方程组：)3(1627123)2(232)1(1210210210AAAAAAAAA.学习参考 .解得：31,32120AAA，即：)43(2)21()41(231)(10fffdxxf，可以验证，对3)(xxf公式亦成立，而对4)(xxf不成立，故公式（2）具有3 次代数精度。（3）令xxf,1)(时等式精确成立，可解得：324300 xA 即：10)32(43)0(41)(ffdxxf，可以验证，对2)(xxf公式亦成立，而对3)(xxf不成立，故公式（3）具有2 次代数精度。2、（p.95，习题6）给定求积节点,43,4110 xx 试构造计算积分10)
18、(dxxfI的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：21)4321(243414310210101010 xxdxxdxxxxxA；21)4121(241434110210100101xxdxxdxxxxxA；插值求积公式：100)43(21)41(21)()(ffxfAdxxfnkkk 当1)(xf，左边=101)(dxxf；右边=1121121；左=右；当xxf)(，左边=101022121)(xdxxf；右边=2143214121；左=右；当2)(xxf，左边=101033131)(xdxxf；右边=1651692116121；左 右；故该插值求积公
19、式具有一次代数精度。.学习参考 .2.2 梯形公式和Simpson 公式 1、（p.95，习题9）设已给出xexfx4sin1)(的数据表，x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 f(x)1.000 00 1.655 34 1.551 52 1.066 66 0.721 59 分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dxxfI10)(的近似值。【解】（1）用复化梯形法：28358.172159.0)06666.155152.165534.1(200000.1 125.0)00.1()75.0()50.0()25.0(2)00.0(225.0)()(2)(2)()(225.041,5,
20、1,0555111105TTfffffTbfxfafhxfxfhTnabhnbankkkknk （2）用复化辛普生法：30939.172159.010304.3888.1000000.1 121)00.1()50.0(2)75.0()25.0(4)00.0(65.0)()(2)(4)(6)()(4)(65.021,2,1,022111021121102SfffffSbfxfxfafhxfxfxfhSnabhnbankknkkkkknk 2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分10dxeIx，为使截断误差不超过51021，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？【解】
21、（1）用复化梯形法，xexfxfxfba)()()(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：enfnabTIRnT332312)01()(max12)(|；依题意，要求51021|TR，即 .学习参考 .849.2126101021125252enne，可取213n。（2）用复化辛普生法，xexfxfxfba)()()(,1,0，截断误差表达式为：4454528802880)01()(max)2(180)(|neenfnabSIRnS；依题意，要求51021|SR，即 70666.3144010102128805454enne，可取4n，划分8 等分。2.3 数值微分 1、（p.96
22、，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式)53()(3)(4)(21)()52()()(21)()51()()(4)(321)(21022012100 xfxfxfhxfxfxfhxfxfxfxfhxf【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为 nkjjjkknkkkxxnfxpxfxR0)1()()!1()()()()(由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2xxxxhn，则 20201002100)12(03)()(!3)()()!12()()(hfxxxxfxxfxRjj 202101121011)12(16)()(!3)(
23、)()!12()()(hfxxxxfxxfxRjjj 221202222022)12(23)()(!3)()()!12()()(hfxxxxfxxfxRjjj 2、（p.96，习题25）设已给出2)1(1)(xxf的数据表，.学习参考 .x 1.0 1.1 1.2 f(x)0.2500 0.2268 0.2066 试用三点公式计算)2.1(),1.1(),0.1(fff的值，并估计误差。【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210 xxxxhxxx，用三点公式计算微商：1870.02066.032268.042500.01.021)2.1(3)1.1(4)0.1(21)2.1(217
24、0.02066.02500.01.021)2.1()0.1(21)1.1(2470.02066.02268.042500.031.021)2.1()1.1(4)0.1(321)0.1(fffhfffhffffhf5432)1(24)(;)1(6)(;)1(2)(;)1(1)(xxfxxfxxfxxf，用余项表达式计算误差 0025.0)0.11(31.0243)()0.1(5220hfR00125.0)0.11(!31.024!3)()1.1(5221hfR04967.0)1.11(31.0243)()2.1(5222hfR 3、（p.96，习题26）设xxfsin)(，分别取步长001.0,
25、01.0,1.0h，用中点公式（52）计算)8.0(f的值，令中间数据保留小数点后第6 位。【解】中心差商公式：hhafhafaf2)()()(，截断误差：2!3)()(hafhR。可见步长h 越小，截断误差亦越小。(1)9.08.0,7.08.0,1.020hxhxh,则 695545.0644218.0783327.01.021)7.0sin()9.0sin(21)8.0(hf；(2)81.08.0,79.08.0,01.020hxhxh,则 6967.0710353.0724287.001.021)79.0sin()81.0sin(21)8.0(hf(3)801.08.0,799.08.
26、0,001.020hxhxh,则 6965.0716659.0718052.001.021)799.0sin()801.0sin(21)8.0(hf而精确值6967067.0)8.0cos()8.0(f，可见当01.0h时得到的误差最小。在001.0h时反而误差增大的原因是)8.0(hf与)8.0(hf很接近，直接相减会造成有.学习参考 .效数字的严重损失。因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。3.1 Euler 格式 1、（p.124，题 1）列出求解下列初值问题的欧拉格式)4.00()1(22xyxy，1)0(y，取2.0h；)2.11()2(2xxyxyy，1)0(y，取2.0h；【解
27、】（1）)(2.0)(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；（2）)(2.0)(22221nnnnnnnnnnnxyxyyxyxyhyy。2、（p.124，题2）取2.0h，用欧拉方法求解初值问题)6.00(2xxyyy，1)0(y。【解】欧拉格式：)(2.0)(221nnnnnnnnnnnyxyyyxyhyhyyy；化简后，212.08.0nnnnyxyy，计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 3、（p.124，题3）取1.0h，用欧拉方法求解初值问题)40(21122xyxy，0)0(y。并
28、与精确解2112xxy比较计算结果。【解】欧拉格式：)211(2.0)211(22221nnnnnnnnnyxyyxhyhyyy；化简后，22112.04.0nnnnxyyy，计算结果见下表。.学习参考 .1、（p.124，题 7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。【解】因为)6.00(),(2xxyyyxfy，2.0h，且1)0(y，则改进的欧拉公式：2)()(2.0)(),(2.08.0)(),(12222cpnpnpnpnpnpnncnnnnnnnnnnpyyyyxyyyxyhyyxhfyyyxyyxyhyyxhfyy。计算结果见下表。n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2
29、 0.4 0.6 yp 1.0 0.6730 0.5147 0.3941 yc 0.76 0.7092 0.5564 0.4319 yn 0.88 0.6911 0.5356 0.413 与原结果比较见下表 n 0 1 2 3 xn 0.0 0.2 0.4 0.6 yn 1.0 0.8 0.6144 0.4613 yn(改进)0.88 0.6911 0.5356 0.413 3.3 龙格-库塔方法 1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题yy38，2)0(y，试取步长2.0h计算)4.0(y的近似值，要求小数点后保留4 位数字。.学习参考 .【解】四阶经典的龙格-库塔方
30、法公式：),()2,()2,(),()22(631422131212143211hKyxfKKhyxfKKhyxfKyxfKKKKKhyynnnnnnnnnn；列表求得)4.0(y如下：n xn yn 0 0.0 2.000 1 0.2 2.3004 2 0.4 2.4654 4.1 迭代法及收敛定理 1、（p.153，题1）试取10 x，用迭代公式),2,1,0(1022021kxxxkkk，求方程02010223xxx的根，要求准确到310。【解】迭代计算结果列于下表 k xk|xk-xk-1|0.001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 1.53846 0.53846 N 6 1
31、.36593 0.00937 N 2 1.29502 0.24344 N 7 1.37009 0.00416 N 3 1.40182 0.10680 N 8 1.36824 0.00185 N 4 1.35421 0.04761 N 9 1.36906 0.00082 Y 5 1.37530 0.02109 N 因为3891000082.0|xx，所以36906.19xx。2、（p.153，题2）证明方程xxcos21有且仅有一实根。试确定这样的区间,ba，使.学习参考 .迭代过程kkxxcos211对,0bax 均收敛。【证明】设：xxgcos21)(，则当Rx时，21,21cos21)(x
32、xg，且一阶导数xxgsin21)(连续，121|sin21|)(|xxg，所以迭代过程kkxxcos211对Rx 0均收敛。（压缩映像定理），方程xxcos21有且仅有一实根。3、（p.153，题 4）证明迭代过程kkkxxx121对任意初值10 x均收敛于2。【证 明】设：xxxg12)(，对 于 任 意1x，因 为212212xxxx，所 以2)(xg。一 阶 导 数121121)(2xxg，根 据 压 缩 映 像 定 理，迭 代 公 式kkkxxx121对任意初值10 x均收敛。假设 xxkklim，对迭代式kkkxxx121两边取极限，则有xxx12，则 22x，解得2x，因2x不在
33、1x范围内，须舍去。故2x。4.2 牛顿迭代法 1、（p.154，题 17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4 位有效数字：（1）0133 xx，20 x（2）0232xexx，10 x【解】（1）设13)(3xxxf，则33)(2 xxf，牛顿迭代公式：),2,1,0()1(3123313)()(23231kxxxxxxxfxfxxkkkkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0.0001 k xk|xk-xk-1|0.0001 1 1.88889 0.11111 N 3 1.87939 0.00006 Y 2 1.87945 0.00944 N 因为42
34、31000006.0|xx，所以879.13xx。（2）设23)(2xexxxf，则xexxf32)(，牛顿迭代公式：.学习参考 .),2,1,0(322)1(3223)()(221kexxexexexxxxfxfxxkkkkxkkxkxkxkkkkkkk，迭代计算过程见下列表。k xk|xk-xk-1|0.0001 k xk|xk-xk-1|0.001 1 0.26894 0.73106 N 3 0.25753 0.00014 N 2 0.25739 0.01155 N 4 0.25753 0.00000 Y 因为4231000000.0|xx，所以2575.04xx。2、（p.154，题1
35、8）应用牛顿法于方程03 ax，导出求立方根)0(3aa的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。【证明】（1）设：axxf3)(，则23)(xxf，对任意0 x，牛顿迭代公式 23231323)()(kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxx ,2,1,0k（2）由以上迭代公式，有：3limaxxkk。设 )0(32)(23xxaxxg xxg)(；0)1(32)(33axxaxg；3422)(3axaxgax。21)(!2)()()()(xxgxxxgxgxgxxkkkk 3211!2)()(limaxgxxxxkkk，可见该迭代公式具有二阶收敛性。5.1 线性方程组迭代公式 1、（p
36、.170，题 1）用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组：12232121xxxx，要求结果有3 位有效数字。【解】雅可比迭代公式：)1(212121)2(313231)(1)(1)1(2)(2)(2)1(1kkkkkkxxxxxx，迭代计算结果列于下表。.学习参考 .k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/2 2/3 1/2 N 2 1/2 1/6 1/6 1/3 N 3 11/18 1/4 1/9 1/12 N 4 7/12 7/36 1/36 1/18 N 5 0.60185 0.20833 0.01852 0.
37、01389 N 6 0.59722 0.19908 0.00463 0.00925 N 7 0.60031 0.20139 0.00309 0.00231 N 8 0.59954 0.19985 0.00077 0.00154 N 9 0.60005 0.20023 0.00051 0.00038 N 10 0.59992 0.19998 0.00003 0.00025 Y 200.0;600.0)10(22)10(11xxxx；由上表可见，所求根皆为小数点后第1 位不为零的小数，要取3 位有效数，则误差限为31021。高斯-赛德尔迭代公式：)1(612121)2(313231)(2)1(1)
38、1(2)(2)(2)1(1kkkkkkxxxxxx，迭代计算结果列于下表。k)(1kx)(2kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx 0005.0?0 0 0-1 2/3 1/6 2/3 1/6 N 2 0.6111 0.1944 N 3 0.6019 0.1991 0.0092 0.0047 N 4 0.6003 0.1999 0.0016 0.0008 N 5 0.6000 0.1999 0.0003 0.0000 Y 200.0;600.0)5(22)5(11xxxx；2、（p.171，题 7）取25.1，用松弛法求解下列方程组，要求精度为41021。124204316343
39、232121xxxxxxx【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代：.学习参考 .)1(2516164934124116954143443)(3)(2)(2)1()(3)(2)(3)(1)1()(2)1(321kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx 引入松弛因子，得 )2(4541)1(4541)1(4541)1()1()(3)1()(3)1(3)1()(2)1()(2)1(2)1()(1)1()(1)1(1332211kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx 将方程组（1）代入（2），并化简)3(8256411256452516564295161541)(3)(2)1(3)(
40、3)(2)1(2)(2)(1)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 计算结果见下表。k)(1kx)(2kx)(3kx|)1(1)(1kkxx|)1(2)(2kkxx|)1(3)(3kkxx e?0 0 0 0-1 5 2.5-3.125 5 2.5 3.125 N 2 1.40625 2.65625-2.14844 N 3 2.15820 3.03223-2.28882 N 4 1.61173 3.15872-2.19860 N 5 1.63577 3.24423-2.19187 N 6 1.54959 3.28508-2.17800 N 7 1.53284 3.30793-2.1732
41、0 N 8 1.51561 3.31978-2.17001 N 9 1.50880 3.32615-2.16847 N 0 1.50453 3.32951-2.16762 N 1 1.50245 3.33130-2.16717 N.学习参考 .2 1.50129 3.33225-2.16694 N 3 1.50069 3.33276-2.16672 N 4 1.50037 3.33306-2.16676 N 5 1.50016 3.33318-2.16670 N 6 1.50010 3.33325-2.16668 N 7 1.50005 3.33329-2.16668 0.00005 0.00
42、004 0.00000 Y 迭代解：.1667.2,3333.3,5001.1)17(33)17(22)17(11xxxxxx 精确解：.1667.2613,3333.3310,5.123321xxx 5.1 线性方程组迭代公式 1、（p.170，题2）试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。17722238231138751043214321321431xxxxxxxxxxxxxx【解】（1）雅可比迭代公式：717727271823814183811838110721101)(3)(2)(1)1(4)(4)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(
43、4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (1)JG072727181041840830812110100，187JG，迭代收敛。.学习参考 .（2）高斯-赛德尔迭代公式：717727271823814183811838110721101)1(3)1(2)1(1)1(4)(4)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx (2)将方程组（1）带入（2），经化简后，得：1120399122439112012132078764193201980117161803110721101)(4)(3
44、)1(4)(4)(3)1(3)(4)(3)1(2)(4)(3)1(1kkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxx (3)SGG224391120890064193201900161803102110100，153SGG，迭代收敛。2、（p.171，题 5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组：（1）23122121xxxx（2）1152425235321321321xxxxxxxxx【解】（1）雅可比迭代：.学习参考 .2312)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx ，13 G,不收敛。高斯-赛德尔迭代：2312)1(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx 或 5612
45、)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，16 G,不收敛。（2）雅可比迭代：511515222125235)(2)(1)1(3)(3)(1)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，18 G,不收敛。高斯-赛德尔迭代：511515222125235)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 或 5185142138225235)(3)(2)1(3)(3)(2)(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 18 G,不收敛。3、（p.171，题 6）加工上述题5的方程组，比如调换方程组的排列顺序，
46、以保证迭代过程的收敛性。【解】加工后结果如下：（1）12232121xxxx（2）1152235425321321321xxxxxxxxx 方程组（1）的雅可比迭代：.学习参考 .212132313)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，121JG，迭代收敛。方程组（1）的高斯-赛德尔迭代：326132313)(1)1(2)(2)1(1kkkkxxxx，131SGG，迭代收敛。方程组（2）的雅可比迭代：5115152525351545152)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，154JG，迭代收敛。方程组（1）的高斯-赛德尔迭代
47、：1253211256125182562516252545152)(3)(2)1(3)(3)(2)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx，12518SGG，迭代收敛。6.1 高斯消元法 1、（p.198，题 2）用选列主元高斯消元法求解下列方程组：（1）112123454321321321xxxxxxxxx.学习参考 .（2）53367435532321321321xxxxxxxxx【解】（1）115812112525103451141211211134511124112345111215121rrrr 798121130210345579812515130210345
48、1181211221034535315235rrrr 179121001130345132579121325001130345879122101130345325133213132rrrrr 所以：13x，6137932xx,3512)1(36451234321xxx.（2）5363311107435163313131074355633153274356533174353223213221rrrrr 3961102507439362501107433363235011074332333131rrrrr 296100250743569653002507433353251rrr 所以：23x，15
49、9232xx,45627143674321xxx.2、（p.199，题 9）计算下列三阶坡度阵的条件数：（1）51413141312131211。.学习参考 .【解】令：51413141312131211A，先求A-1。1005141310121121121000131211100514131010413121001312112121rr 103145412100126110001312111005141310126110001312112131212rrr 180180301000126110001312111161180100012611000131211318032121rrr 1801803010018019236010606090211180180301001801923601000131211133123rrrr 1801803010018019236010303690011221rr，所以 1801803018019236303691A 最后求得条件数为：748408611)(1AAAcond