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1、必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示知识要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set） ，其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性 . 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来，基本形式为123,na aaa，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为|( )xA P x ，既要关注代表元素x，也要把握其属性( )P x，适用于无限集 . 3. 通常用大写拉丁字母,A B C表示集合 . 要记住一些常见数集的表示， 如自然数集 N，正整数集*N或
2、N，整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（ not belong to） ，分别用符号、表示，例如3N，2N. 例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0 x xx的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数 . 解： （1）用描述法表示为：2| (23)0 xR x xx；用列举法表示为0,1,3. （2）用描述法表示为：|27xZx；用列举法表示为3,4,5,6. 【例 2】用适当的符号填空：已知|32,Ax xkkZ，|61,Bx xmmZ，则有：17 A；5 A；17
3、 B. 解：由3217k，解得5kZ，所以17A；由325k，解得73kZ，所以5A；由6117m，解得3mZ，所以17B. 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合： （教材 P6练习题 2， P13A 组题 4）（1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24yx的函数值组成的集合；（3）反比例函数2yx的自变量的值组成的集合. 解： （1）3( ,)|(1,4)26yxx yyx. （2）2|4|4y yxyy. （3）2|0 x yx xx. 点评： 以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为1,4，也注意对比（ 2）与（ 3）中的两
4、个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ABBAABABABCD*【例 4】已知集合2|12xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A解：化方程212xax为：2(2)0 xxa应分以下三种情况：方程有等根且不是2：由 =0，得94a，此时的解为12x，合方程有一解为2， 而另一解不是2： 将2x代入得2a， 此时另一解12x，合方程有一解为2，而另一解不是2：
5、将2x代入得2a，此时另一解为21x，合综上可知，9,2,24A点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象 .第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系知识要点 ：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有 包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ） ，记作AB（或BA） ，读作“ A 含于 B” （或“ B 包含 A” ）. 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（AB） ，且集合 B 是集合 A 的子集（BA） ，即集合 A与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集
6、合 B 相等，记作AB. 3. 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ） ，记作 AB（或 BA）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ） ，记作，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：AA；若AB，BC，则AC；若ABA，则AB；若ABA，则BA. 例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形 平行四边形 ； 等腰三角形 等边三角形 . （2）2|20 xRx；0 0 ；0 ；N0. 解： （1） ，；（2）=，. 【例 2】设集合1,22|,|nnxnnAx xBxZZ，则下列图形能表示A 与
7、B 关系的是（）. 解： 简单列举两个集合的一些元素，3113,1,0,1,2222A，31 1 3,22 2 2B，易知 BA，故答案选 A另解：由21,2|nxnBxZ，易知 BA，故答案选 A精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【例 3】若集合2|60 ,|10Mx xxNx ax，且NM，求实数a的值. 解：由26023xxx或，因此，2,3M. （i）若0a时，得N，此时，NM；（ii）若0a时，得1 Na. 若NM,满足
8、1123aa或，解得1123aa或. 故所求实数a的值为0或12或13. 点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“” ，因为A时存在AB. 从而需要分情况讨论 . 题中讨论的主线是依据待定的元素进行. 【例 4】已知集合 A=a,a+b,a+2b ，B=a,ax,ax2. 若 A=B，求实数 x 的值. 解：若22abaxabaxa+ax2-2ax=0, 所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1. 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去. 若22abaxabax2ax2-ax-a=0. 因为 a0，所以 2x2-x-1=0
9、, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x1，所以只有12x. 经检验，此时 A=B 成立. 综上所述12x. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合 . 第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算（一）知识要点 ：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（ union set）由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B 的交
10、集（ intersection set）对于集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对 于 全 集U的 补 集（complementary set ）记号AB（读作“ A 并 B” ）AB（读作“ A 交 B” ）UAe（读作“ A 的补集” ）符号|,ABx xAxB或|,ABx xAxB且|,UAx xUxA且e图形表示例题精讲 ：【例 1】设集合,|15,|39,()UUR AxxBxxABAB求e. 解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：|35ABxx，()|1,9UCABx xx或，U A A B -1 3 5 9 x 精品资料 - - - 欢
11、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【例 2】设| |6AxZx，1,2,3 ,3,4,5,6BC，求：（1）()ABC；（2）()AABCe. 解：6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6A. （1）又3BC，()ABC3；（2）又1,2,3,4,5,6BC，得()6, 5, 4, 3, 2, 1,0ACBC. ()AACBC6, 5, 4, 3, 2, 1,0. 【例 3】已知集合| 24Axx，|Bx xm，且ABA，求实数 m
12、的取值范围 . 解：由ABA，可得AB. 在数轴上表示集合A 与集合 B，如右图所示：由图形可知，4m. 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例 4】 已知全集*|10,Ux xxN且，2,4,5,8A，1,3,5,8B， 求()UCAB，()UCAB，()()UUC AC B，()()UUC AC B，并比较它们的关系 . 解：由1,2,3,4,5,8AB，则()6,7,9UCAB. 由5,8AB，则()1,2,3,4,6,7,9UCAB由1,3,6,7,9UC A，2,4,6,7,9UC B，则()()6,7,9UUC
13、 AC B，()()1,2,3,4,6,7,9UUC AC B. 由计算结果可以知道，()()()UUUC AC BCAB，()()()UUUC AC BCAB. 另解：作出 Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果. 点评：可用 Venn图研究()()()UUUC AC BCAB与()()()UUUC AC BCAB，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题. 第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算（二）知识要点 ：1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集
14、合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()UUUCABC AC B,()()()UUUCABC AC B. 2. 集合元素个数公式：()( )( )()n ABn An Bn AB. 3. 在研究集合问题时， 常常用到分类讨论思想、 数形结合思想等 . 也常由新的定义考查创新思维 . 例题精讲 ：【例 1】设集合24,21,9,5,1AaaBaa，若9AB，求实数a的值. 解：由于24,21,9,5,1AaaBaa，且9AB，则有：当219a 时，解得5a，此时=4, 9, 25=9, 0, 4AB，不合题意，故舍去；当29a 时，解得33a 或. 3=4,5,9=9,2,2
15、aAB 时，不合题意，故舍去；3=4, 7 9=9, 8, 4aAB ， ， ，合题意 . 所以，3a. -2 4 m xBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【例 2】设集合|(3)()0,AxxxaaR，|(4)(1)0Bxxx，求AB, AB.（教材 P14B 组题 2）解：1,4B. 当3a时，3A，则1,3,4AB，AB；当1a时，1,3A，则1,3,4AB，1AB；当4a时，3,4A，则1,3,4AB，4AB；当3a且
16、1a且4a时，3, Aa，则1,3,4, ABa，AB. 点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论 . 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则. 【例 3】设集合 A =x|240 xx ， B =x|222(1)10 xaxa，aR ，若 AB=B，求实数a的值解：先化简集合 A= 4,0. 由 AB=B，则 BA，可知集合 B 可为，或为 0 ，或4，或 4,0. (i)若 B=，则224(1)4(1)0aa，解得a1；(ii)若0B，代入得2a1=0a=1 或a=1，当a=1 时，B=A，符合题意；当a=1时，
17、B=0A，也符合题意(iii )若4 B，代入得2870aaa=7 或a=1，当a=1 时，已经讨论，符合题意；当a=7 时，B=12，4，不符合题意综上可得，a=1 或a1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系， 可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B 和 B=的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【例 4】对集合 A 与 B，若定义|,ABx xAxB且，当集合*|8,Ax xxN，集合|(2)(5)(6)0Bx x xx
18、x时，有AB= . （由教材 P12补集定义“集合A 相对于全集 U 的补集为|,UC Ax xxA且”而拓展）解：根据题意可知，1,2,3,4,5,6,7,8A，0,2,5,6B由定义|,ABx xAxB且，则1,3,4,7,8AB. 点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除 B 的元素. 如果再给定全集U，则AB也相当于()UAC B. 第 5 讲 1.2.1 函数的概念知识要点 ：1. 设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数y和它
19、对应，那么就称f：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数（ function） ，记作y=( )f x，xA其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（domain） ，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合( ) |f xxA叫值域（ range）. 2. 设 a、b 是两个实数，且 ab，则：x|axba,b 叫闭区间；x|axb(a,b) 叫开区间；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - x|axb , )
20、a b， x|a1， f(32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即 ff(0)=52. 【例 3】画出下列函数的图象：（1）|2|yx； （教材 P26练习题 3）（2）|1|24|yxx. 解： （1）由绝对值的概念，有2,2|2 |2,2xxyxxx. 所以，函数|2|yx的图象如右图所示 . （2）33,1|1|24 |5,2133,2xxyxxxxxx，所以，函数|1|24|yxx的图象如右图所示 . 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】函数( ) f xx的函
21、数值表示不超过x 的最大整数， 例如 3.54，2.12，当( 2.5,3x时，写出( )f x的解析式，并作出函数的图象. 解：3,2.522,211,10( )0, 011, 122, 233,3xxxf xxxxx. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 第 7 讲 1.3.1 函数的单调性知识要点 ：1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如
22、果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1） ，减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤：设x1、x2给定区间，
23、且 x1x2；计算 f(x1)f(x2) 判断符号下结论 . 例题精讲 ：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数2( )1xf xx在区间（ 0，1）上的单调性 . 解：任取12,x x(0,1)，且12xx. 则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx. 由于1201xx，110 x，210 x，210 xx，故12()()0f xf x，即12()()f xf x. 所以，函数2( )1xf xx在（0，1）上是减函数 . 【例 2】求二次函数2( )(0)f xaxbxca的单调区间及单调性 . 解：设任意12,x xR，且12xx. 则2212
24、1122()()()()f xf xaxbxcaxbxc221212()()a xxb xx1212() ()xxa xxb. 若0a， 当122bxxa时 ， 有120 xx，12bxxa， 即12()0a xxb， 从 而12()()0f xf x，即12()()f xf x，所以( )f x在(,2ba上单调递增 . 同理可得( )f x在,)2ba上单调递减 . 【例 3】求下列函数的单调区间：（1）|1|24|yxx； （2）22|3yxx. 解： （1）33,1|1|24 |5,2133,2xxyxxxxxx，其图象如右 . 由图可知，函数在 2,)上是增函数，在(, 2上是减函数
25、 . （2）22223,02| 323,0 xxxyxxxxx，其图象如右 . 由图可知，函数在(, 1、0,1上是增函数，在1,0、1,)上是减函数. 点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到(|)fx的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 第
26、 8 讲 1.3.1 函数最大（小）值知识要点 ：1. 定义最大值： 设函数( )yf x的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有( )f xM；存在 x0I，使得0()f x= M. 那么，称 M 是函数( )yf x的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义 . 2. 配 方 法 ： 研 究 二 次 函 数2(0)yaxbxc a的 最 大 （ 小 ） 值 ， 先 配 方 成224()24bacbya xaa后，当0a时，函数取最小值为244acba；当0a时，函数取最大值244acba. 3. 单调法
27、：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. 例题精讲 ：【例 1】求函数261yxx的最大值 . 解：配方为2613()24yx，由2133()244x，得260813()24x. 所以函数的最大值为8. 【例 2】 某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件 10元售出时，每天可售出 100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并
28、求出最大利润. 解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x元，减少了10 (10)x件，所赚得的利润为(8) 10010 (10)yxx. 即2210280160010(14)360yxxx. 当14x时，max360y. 所以，他将售出价定为14 元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为 360 元. 【例 3】求函数21yxx的最小值 . 解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当1x时，min2112y，函数的最小值为2. 点评：形如yaxbcxd的函数最大值或最小值， 可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. 【 另解 】令1xt， 则0t，21xt， 所以2
29、2115222()48yttt，在0t时是增函数，当0t时，min2y，故函数的最小值为 2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25 332,2 2yxxx；（2）|1|2 |yxx. 解： （1）二次函数232yxx的对称轴为2bxa，即1x. 画出函数的图象，由图可知，当1x时，max4y； 当32x时，min94y. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 所以函数25 332,2 2yxxx的最大值为 4,最小值为9
30、4. （2）3 (2)|1|2 |21 ( 12)3 (1)xyxxxxx. 作出函数的图象，由图可知， 3,3y. 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析 . 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出 . 第 9 讲 1.3.2 函数的奇偶性知识要点 ：1. 定义：一般地，对于函数( )f x定义域内的任意一个x， 都有()( )fxf x， 那么函数( )f x叫偶函数（ even function）. 如果对于函数定义域内的任意一个x，都有()( )
31、fxf x） ，那么函数( )f x叫奇函数（ odd function）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于 y 轴轴对称 . 3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()fx与( )f x的关系 . 例题精讲 ：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1）31( )f xxx； （2）( )|1|1|f xxx； （3）23( )f xxx. 解： （1）原函数定义域为|0 x x，对于定义域的每一个x，都有3311()()()( )fxxxf xxx， 所以为奇函数 . （2）原函数定义域为 R，对
32、于定义域的每一个x，都有()|1 |1 |1 |1 |fxxxxxfx，所以为偶函数 . （3）由于23()( )fxxxf x，所以原函数为非奇非偶函数. 【例 2】已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且1( )( )1f xg xx，求( )f x、( )g x. 解：( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，()( )fxf x，()( )gxg x. 则1( )( )11()()1f xg xxfxgxx，即1( )( )11( )( )1f xg xxf xg xx. 两式相减，解得2( )1xf xx；两式相加，解得21( )1g xx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -