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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载必修 1 第一章集合与函数基础学问点整理第 1 讲1.1.1 集合的含义与表示 学习目标 ：通过实例,明白集合的含义,体会元素与集合的“ 属于”关系； 能挑选自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的详细问题,感受集合语言的意义和作用；把握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特点 . 学问要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set）,其元素具有三个特点,即确定性、互异性、无序性 . 2. 集合的表示方法有两种：列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ ” 括起来,基本形式为 a a 2
2、 , a 3 , , a n ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法, 即用集合所含元素的共同特点来表示,基本形式为 x A P x ,既要关注代表元素 x,也要把握其属性 P x ,适用于无限集 . *3. 通常用大写拉丁字母 A B C , 表示集合 . 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N,正整数集 N 或N,整数集 Z,有理数集 Q ,实数集 R. 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于 （not belong to ）,分别用符号、 表示,例如 3 N ,2 N . 例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示以下集合：（1）由方程x x
3、22 x30的全部实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数 . 名师归纳总结 解：（1）用描述法表示为：xR x x22x30；Z,就有：第 1 页,共 14 页用列举法表示为0,1,3 . （2）用描述法表示为：xZ| 2x7；用列举法表示为3,4,5,6 . 【例 2】用适当的符号填空：已知Ax x3 k2,kZ ,Bx x6 m1,m17 解：由 3 kA；5 kA；17 B. A；217,解得5Z,所以17由 3k25,解得k7Z ,所以5A ；3 3由 6m1 17,解得mZ ,所以 17B . 1,4 ,也留意对比【例 3】试挑选适当的方法表示以下集合：（教材 P6 练
4、习题 2, P13A 组题 4）（1）一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合；（2）二次函数yx24的函数值组成的集合；（3）反比例函数y2的自变量的值组成的集合. x解：（1） , |yx23 61,4. yx（2）y yx24y|y4. （3）x y2 xx x0. 点评 ： 以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为（2）与（ 3）中的两个集合,自变量的范畴和函数值的范畴,有着本质上不同,分析时肯定要细心. * 【例 4】已知集合Aa|xa1 有唯独实数解,试用列举法表示集合Ax22解：化方程xa1 为：2 xx a20应分以下三种情形：x22方程有等
5、根且不是2 ：由 =0,得a9,此时的解为x1,合42- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 方程有一解为2 ,而另一解不是学习必备欢迎下载a2,此时另一解x12,合2 ：将x2代入得a方程有一解为,此时另一解为1,合2 ,而另一解不是2 ：将x2代入得2x2象.综上可知,A 9 , 2, 24点评 ：运用分类争论思想方法,争论出根的情形,从而列举法表示 . 留意分式方程易造成增根的现第 2 讲1.1.2 集合间的基本关系 学习目标 ：懂得集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；在详细情境中,明白全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.
6、 学问要点 ：1. 一般地,对于两个集合 A、B,假如集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,就说两个集合有 包含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset）,记作 A B （或 B A ）,读作“A 含于 B”（或 “B 包含 A” ）. 2. 假如集合 A 是集合 B 的子集（A B ）,且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ）,即集合 A 与集合 B 的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A B . 3. 假如集合 A B ,但存在元素 x B ,且 x A ,就称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset）,记作A B（或 B
7、 A）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set）,记作,并规定空集是任何集合的子集 . 5. 性质： A A ；如 A B , B C ,就 A C ；如 A B A,就 A B；如 A B A,就 B A . 例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：名师归纳总结 （1） 菱形 平行四边形 ； 等腰三角形 等边三角形 . ）. （2）xR|2 x20 ；0 0 ；0 ；N0. 解：（1）,；（2）=,. 【例 2】设集合Ax xn n 2Z,Bx|xn1,nZ,就以下图形能表示A 与 B 关系的是（2ABBAABABABA,3C1 1, 2,0,1,1,3,BD3,1 1 3
8、, ,2 2 2,解：简洁列举两个集合的一些元素,2222. 题易知 BA,故答案选A 另解 ：由Bx|x2n1,nZ,易知 BA,故答案选A 2【例 3】如集合M2 x xx60 ,Nx ax10,且 NM ,求实数 a 的值 . 解：由2 xx60x2 或3,因此,M2, 3. （i）如a0时,得 N,此时, NM ；（ii ）如a0时,得N1. 如 NM ,满意1 a2 或13,解得a1或a1. aa23故所求实数a 的值为 0 或1 2或1. 3点评 ：在考察“ AB ” 这一关系时,不要遗忘“” ,由于 A时存在 AB . 从而需要分情形争论中争论的主线是依据待定的元素进行. 第 2
9、 页,共 14 页【例 4】已知集合A= a,a+b,a+2b ,B= a,ax,ax2. 如 A=B,求实数x 的值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 解：如abax2a+ax2-2ax=0, 所以 ax-12=0,即 a=0 或 x=1. a2 bax当 a=0 时,集合 B 中的元素均为0,故舍去；当 x=1 时,集合B 中的元素均相同,故舍去. 如abax22ax2-ax-a=0. a2 bax由于 a 0,所以 2x2-x-1=0, 即 x-12 x+1=0. 又 x 1,所以只有x1. 2经检验,此时A=B 成立 .
10、 综上所述x1. 2点评 ：抓住集合相等的定义,分情形进行争论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合第 3 讲1.1.3 集合的基本运算（一） 学习目标 ：懂得两个集合的并集与交集的含义,会求两个简洁集合的并集与交集；懂得在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；能使用 象概念的作用 . 学问要点 ：Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对懂得抽集合的基本运算有三种,即交、并、补,学习时先懂得概念,并把握符号等,再结合解题的训练,而达到把握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下. 补集并集交集由全部属于集合A 或属于集由属于集合A 且属于集合B对于集合A,由
11、全集 U 中不属于概念合 B 的元素所组成的集合,的元素所组成的集合,称为集合A 的全部元素组成的集集 合A与B的 交 集称 为 集 合A 与B 的 并 集合,称为集合A 相对于全集U（ union set ）（intersection set ）的补集（ complementary set ）记号AB （读作“A 并 B”）AB （读作“A 交 B” ）eUA（读作“A 的补集” ）符号ABx xA ,或xB ABx xA ,且xBeU Ax xU,且xA 图形 表示U A 例题精讲 ：名师归纳总结 【例 1】设集合UR Ax| 1x5,Bx|3x9,求AB,eUAB. 9 xx 解：在数轴
12、上表示出集合A、B,如右图所示：A B ABx|3x5,C UABx x1, 或x9,3,4,5,6,求：-1 3 5 【例 2】设AxZ| |x|6,B1,2,3 ,C（1）ABC ；（2）Ae ABC. m ,且 ABA,求实数m 的取值范畴. 第 3 页,共 14 页解：A6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6. （1）又BC3,ABC3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6,得CABC6, 5, 4, 3, 2, 1,0. ACABC6, 5, 4, 3, 2, 1,0 . 【例 3】已知集合Ax| 2x4,Bx x解：由 ABA,可得 AB . BA在数轴上表示
13、集合A 与集合 B,如右图所示：由图形可知,m4. -2 4 m - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点评 ：争论不等式所表示的集合问题,经常由集合之间的关系,得到各端点之间的关系,特殊要留意是否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U x x 10, 且 x N *,A 2,4,5,8,B 1,3,5,8,求 C U A B ,C U A B , C A C B , C A C B ,并比较它们的关系 . 解：由 A B 1,2,3,4,5,8,就 C U A B 6,7,9 . 由 A B 5,8,就 C U A B 1,2,3,4,
14、6,7,9由 C A 1,3,6,7,9,C B 2,4,6,7,9,就 C A C B 6,7,9, C A C B 1,2,3,4,6,7,9 . 由运算结果可以知道, C A C B C U A B , C A C B C U A B . 另解：作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观看出来结果 . 点评 ：可用 Venn 图争论 C A C B C U A B 与 C A C B C U A B ,在懂得的基础记住此结论,有助于今后快速解决一些集合问题 . 第 4 讲1.1.3 集合的基本运算（二） 学习目标 ：把握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简洁的问题；
15、把握集合运算中的一些数学思想方法 . 学问要点 ：1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域, 分别对应着这两个集合运算的结果 . 我们需通过 Venn 图懂得和把握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算 . 通过图形,我们仍可以发觉一些集合性质：C U A B C A C B , C U A B C A C B . 2. 集合元素个数公式：n A B n A n B n A B . 3. 在争论集合问题时,经常用到分类争论思想、数形结合思想等 . 也常由新的定义考查创新思维 . 例题精讲 ：【例 1】设集合 A 4,2 a 1, a 2, B 9, a 5,1 a ,如 A
16、B 9,求实数 a 的值 . 解：由于 A 4,2 a 1, a 2, B 9, a 5,1 a ,且 A B 9,就有：当 2 a 1 9 时,解得 a ,此时 A =4, 9, 25,B =9, 0, 4,不合题意,故舍去；2当 a 9 时,解得 a 或3 . a 时,A =4,5,9,B =9,2,2,不合题意,故舍去；a ,A =4, , ,B =9, 8, 4,合题意 . 所以,a. 【例 2】设集合 A x | x 3 x a 0, a R ,B x | x 4 x 1 0,求 A B , A B .（教材 P14B 组题 2）解：B 1,4 . 当 a 3 时,A 3,就 A B
17、 1,3,4, A B；当 a 1 时,A 1,3,就 A B 1,3,4,A B 1；当 a 4 时,A 3,4,就 A B 1,3,4,A B 4；当 a 3 且 a 1 且 a 4 时,A 3, a ,就 A B 1,3,4, a , A B . 点评 ：集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情形争论 . 排列参数 a 的各种情形时,需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原就 . 2 2 2【例 3】设集合 A = x | x 4 x 0 , B = x | x 2 a 1 x a 1 0, a R ,如 A B=B,求实数 a的值名师归纳总结 解：先化
18、简集合A= 4,0 . 由 A2B=B,就 BA,可知集合B 可为,或为 0 ,或 4 ,或 4,0 . 第 4 页,共 14 页i如 B=,就10,解得 a 1 ；4a124a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. 通过深刻懂得集合表示法的转换,及集合之ii如 0B,代入得a21=0a =1 或 a =1,当 a =1 时, B=A,符合题意；当 a =1时, B=0A,也符合题意iii 如 4B,代入得a28 a70a =7 或 a =1,当 a =1 时,已经争论,符合题意；当 a =7 时, B= 12, 4 ,不符合题意综上可得
19、,a =1 或 a 1 点评 ：此题考查分类争论的思想,以及集合间的关系的应用间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法解该题时,特殊简洁显现的错误是遗漏了A=B 和 B=的情形,从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 . B【 例4 】 对 集 合 A与B , 如 定 义ABBx xA ,且xB , 当 集 合Ax x8,xN*, 集 合x x x2x5x60时,有 AB = . （由教材P12 补集定义“ 集合A 相对于全集U 的补集为C Ax x,且xA ” 而拓展）0,2,5,6解：依据题意可知,A1,2,3,4,5,6,7,8
20、,由定义ABx xA,且xB ,就AB1,3,4,7,8. 点评 ：运用新定义解题是学习才能的进展,也是一种创新思维的训练,关键是懂得定义的实质性内涵,这里新定义的含义是从 A 中排除 B 的元素 . 假如再给定全集 U,就 A B也相当于 A C B . 第 5 讲1.2.1 函数的概念 学习目标 ：通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用；明白构成函数的要素,会求一些简洁函数的定义域和值域 . 学问要点 ：1. 设 A、B 是非空的数集,假如按某个确定的对应关系 f ,使对于集合 A
21、中的任意一个数 x ,在集合 B中都有唯独确定的数 y 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 （function ）,记作 y = f x ,x A 其中, x 叫自变量, x 的取值范畴 A 叫作定义域（domain ）,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 f x | x A 叫值域（ range ）. 2. 设 a、 b 是两个实数,且 ab,就： x|axb a,b 叫闭区间； x|axb , a b , x|ax b , a b ,都叫半开半闭区间 . x|ax1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
22、学习必备. 欢迎下载 f32 =3 2 3+3 2 -3=2+ 1 2=5 2,即 ff0=5 2【例 3】画出以下函数的图象：x2 2. （1）y|x2|； （教材 P 26 练习题 3）（2）y|x1|2x4 |. 解：（1）由肯定值的概念,有y|x2 |x2,2x,x所以,函数y|x2 |的图象如右图所示. 3x3,x1（2）y|xy1|x|2x4 |x5,2x1,. 所以,函数|1| 2 x3x3,x24 |的图象如右图所示点评 ：含有肯定值的函数式,可以采纳分零点争论去肯定值的方法,将函数式化为分段函数,然后依据定义域的分段情形,挑选相应的解析式作出函数图象. 学会运用函数图像理【例
23、 4】函数f x x 的函数值表示不超过x 的最大整数, 例如 3.54 ,2.12 ,当x 2.5,3时,写出f x 的解析式,并作出函数的图象. 3,2.5x22,2x11,1x0解：f x 0, 0x1. 函数图象如右：1, 1x22, 2x33,x3点评 ：解题关键是懂得符号m 的概念,抓住分段函数的对应函数式. 第 7 讲1.3.1 函数的单调性 学习目标 ：通过已学过的函数特殊是二次函数,懂得函数的单调性及其几何意义；解和争论函数的性质. 懂得增区间、减区间等概念,把握增（减）函数的证明和判别. 学问要点 ：1. 增函数：设函数 y=fx的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个
24、区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2,那么就说 fx在区间 D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数 . 2. 假如函数 fx在某个区间D 上是增函数或减函数,就说 fx在这一. . 区间上具有 （严格的） 单调性, 区间 D 叫 fx的单调区间 . 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1）,减函数的图象从左向右是下降的（如右图2） . 由此,可以直观观看函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性3. 判定单调性的步骤：设x 1、x2给定区间,且x 1x 2；运算fx 1
25、 fx 2 判定符号下结论 例题精讲 ：名师归纳总结 【例 1】试用函数单调性的定义判定函数f x 2x在区间（ 0, 1）上的单调性. . f x2. 第 7 页,共 14 页x1解：任取x x 0,1 ,且x 1x . 就f x 1 f x 22x 12x22x 2xx 11x 11x21x 112由于0x 1x 21,x 110,x 210,x 2x 10,故f x 1f x 20,即f x 1所以,函数f x 2 x1在（ 0,1）上是减函数. x【例 2】求二次函数f x ax2bxc a0的单调区间及单调性. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
26、- 学习必备 欢迎下载解：设任意 x x 2 R ,且 x 1 x . 就2 2 2 2f x 1 f x 2 ax 1 bx 1 c ax 2 bx 2 c a x 1 x 2 b x 1 x 2 x 1 x 2 a x 1 x 2 b . 如 a 0,当 x 1 x 2 b时,有 x 1 x 2 0,x 1 x 2 b,即 a x 1 x 2 b 0,从而 f x 1 f x 2 0,2 a a即 f x 1 f x 2 ,所以 f x 在 , b 上单调递增 . 同理可得 f x 在 b, 上单调递减 . 2 a 2 a【例 3】求以下函数的单调区间：（1）y | x 1| |2 x 4
27、 |；（2）y x 22| x | 3 . 3 x 3, x 1解：（1）y | x 1| | 2 x 4 | x 5, 2 x 1,其图象如右 . 3 x 3, x 2由图可知,函数在 2, 上是增函数,在 , 2 上是减函数 . 2（2）y x 22| x | 3 x2 2 x 3, x 0,其图象如右 . x 2 x 3, x 0由图可知,函数在 , 1 、 0,1 上是增函数,在 1,0 、 1, 上是减函数 . 点评 ：函数式中含有肯定值,可以采纳分零点争论去肯定值的方法,将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也可以由偶函数的对称性,先作 y 轴右侧的图象,并把 y 轴右侧的图象对折
28、到左侧,得到 f | x | 的图象 . 由图象争论单调性,关键在于正确作出函数图象 . 【例 4】已知 f x 3 x 1,指出 f x 的单调区间 . x 2解：f x 3 x 2 5 3 5,x 2 x 2 把 g x 5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位,x得到 f x 的图象,如下列图 . 由图象得 f x 在 , 2 单调递增,在 2, 上单调递增 . 点评 ：变形后结合平移学问,由平移变换得到一类分式函数的图象 . 需知 f x a b 平移变换规律 . 第 8 讲1.3.1 函数最大（小）值 学习目标 ：通过已学过的函数特殊是二次函数,懂得函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像懂得和争论函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值. 学问要点 ：名师归纳总结 - - - - - - -1. 定义最大值：设函数yf x 的定义域为I ,假如存在实数M 满意： 对于任意的xI ,都有f x M；存在 x0I ,使得f x0= M. 那么,称 M 是函数yf x 的最大值（ Maximum Value ）. 仿照最大值定义,可以给出最小值（Minimum Value ）的定义 . 当a2.