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1、06 平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1向量的夹角；2平面向量的数量积；3平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可2根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解典例(1)设
2、向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与 2ab平行，那么a与b的数量积等于()A72B12C.32D.52(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60 .点E和F分别在线段BC和DC上，且BE23BC，DF16DC，则AEAF的值为 _ 解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由题意得3(1 2m)4(2m)0，则m12，所以b 12，1，所以ab 1 122 152.(2)取BA，BC为一组基底，则AEBEBA23BCBA，AFABBCCFBABC512BA712BABC，AEAF23BCBA712BA
3、BC712|BA|22518BABC23|BC|2712425182112232918.答案(1)D(2)2918易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(2)两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“”突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、ab|、ab|与|a|b|的关系平面向量的垂直问题1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0 即可2已知两个向量的垂直关系，求解相关参
4、数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数例 1(1)ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a，b满足AB 2a，AC 2ab，则下列结论正确的是()A|b|1BabCab1D(4ab)BC(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A92B0C3D.152解析(1)在ABC中，由BCACAB2ab 2ab，得|b|2，A 错误又AB2a且|AB|2，所以|a|1，所以ab|a|b|cos 120 1，B，C 错误所以(4ab)BC(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)BC，D 正确，故选D.(2)(2a3b)
5、c，(2a3b)c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，2a3b(2k 3，6)(2k3，6)(2,1)0，即(2k3)26 0.k3.答案(1)D(2)C易错提醒 x1y2x2y10 与x1x2y1y20 不同，前者是两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件平面向量模的相关问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)a2aa|a|2；(2)|ab|ab2a2 2abb2.例 2(1)(2017 衡水模拟)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为3，那么|4ab|()A2B6C 23D12(2)已知e1，e2是平面
6、单位向量，且e1e212.若平面向量b满足be1be2 1，则|b|_.解析(1)|4ab|216a2b28ab16 148 12cos312.|4ab|23.(2)e1e212，|e1|e2|cose1，e212，e1，e260 .又be1be21 0，b，e1b，e230 .由be1 1，得|b|e1|cos 30 1，|b|132233.答案(1)C(2)233方法技巧 求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|x2y2.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a2 2abb2，先求向
7、量模的平方，再通过向量数量积的运算求解平面向量的夹角问题意方程思想的应用第二步根据数量积的坐标公式进行运算即可根据定义计算数量积的两种思路若两个向量共起点则两据图形之间的关系用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量然后再根据平面向量数量和上且则的为解析由题意得则所以所以取为一组基底则答案易错提醒解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时一定求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos a，bab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角
8、的范围是0，及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例 3(1)若非零向量a，b满足|a|223|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.4B.2C.34D(2)已知单位向量e1与e2的夹角为，且 cos 13，向量a 3e12e2与b3e1e2的夹角为 ，则cos _.解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a 2b)0，即 3a2ab2b20.又|a|223|b|，设a，b ，即 3|a|2|a|b|cos 2|b|20，83|b|2223|b|2 cos 2|b|20.cos 22.又0 ，4.(2)a2(3e12e2)294232139，b2(3e1e2)29123
9、1138，ab(3e12e2)(3e1e2)92911138，cos ab|a|b|8322223.易错提醒(1)向量a，b的夹角为锐角？ab0 且向量a，b不共线(2)向量a，b的夹角为钝角？ab0 且向量a，b不共线突破点(三)平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面向量与三角函数的综合问题例 1已知函数f(x)ab，其中a(2cosx，3sin 2x)，b(cosx,1)，x R.(1)求函数yf(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边
10、分别为a，b，c，f(A)1，意方程思想的应用第二步根据数量积的坐标公式进行运算即可根据定义计算数量积的两种思路若两个向量共起点则两据图形之间的关系用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量然后再根据平面向量数量和上且则的为解析由题意得则所以所以取为一组基底则答案易错提醒解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时一定a7，且向量m(3，sinB)与n(2，sinC)共线，求边长b和c的值解(1)f(x)ab2cos2x3sin 2x1cos 2x3sin 2x1 2cos2x3，令 2k 2x3 2k (k Z)，解得k 6xk 3(k Z)，所以f(x)的单调递减区间为k
11、6，k 3(k Z)(2)f(A)12cos2A3 1，cos2A3 1.又 0A，故30 且a与b不共线，则324 0，2 620，解得 43或 0 13，所以 的取值范围是，430，1313，.答案：，430，1313，10.如图，菱形ABCD的边长为2，BAD60 ，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则AMAN的最大值为 _ 解 析：设AN AB AD，因 为N在 菱 形ABCD内，所 以0 1,0 1.AMAD12DC12ABAD.所以AMAN12ABAD(ABAD)2AB2 2ABAD AD224 22212 4 4 5.所 以0AMAN9，所以当 1 时，AMAN有最
12、大值9，此时，N位于C点答案：9三、解答题意方程思想的应用第二步根据数量积的坐标公式进行运算即可根据定义计算数量积的两种思路若两个向量共起点则两据图形之间的关系用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量然后再根据平面向量数量和上且则的为解析由题意得则所以所以取为一组基底则答案易错提醒解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时一定11 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m22，22，n(sinx，cosx)，x0，2.(1)若mn，求 tanx的值；(2)若m与n的夹角为3，求x的值解：(1)若mn，则mn0.由向量数量积的坐标公式得22sinx22cosx0，tanx1.(2
13、)m与n的夹角为3，mn|m|n|cos3111212，即22sinx22cosx12，sinx412.又x0，2，x44，4，x46，即x512.12 已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若 sinA，sinC，sinB成等差数列，且CA(ABAC)18，求边c的长解：(1)mnsinA cosBsinB cosAsin(AB)，对于ABC，AB C,0C，sin(AB)sinC，mnsinC，又mn sin 2C，sin 2CsinC，cosC12，C3.(2)由 sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinCsinAsinB，由正弦定理得2cab.CA(ABAC)18，CACB18，即abcosC18，ab36.由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab，c24c2336，c236，c6.意方程思想的应用第二步根据数量积的坐标公式进行运算即可根据定义计算数量积的两种思路若两个向量共起点则两据图形之间的关系用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量然后再根据平面向量数量和上且则的为解析由题意得则所以所以取为一组基底则答案易错提醒解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时一定