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1、教育资源 教育资源 北师大版数学五年级上册 点阵中的规律 教案 教学内容：北师大版小学数学五年级上册。（教科书第 82、83 页。）课标分析：本节课的主要内容是使学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系，发展学生的归纳与概括的能力，渗透数学建模的思想，从中感受数学文化的魅力。教材分析：本课的内容是独立成篇的，这节课与本单元的其它知识之间没有必然的前后联系，是一节相对独立的数学活动课。教材提供的学习内容对于五年级的学生来说比较容易。但本课知识虽然简单，却是帮助学生建立数学模型的好题材，即是让学生能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，又是让学生体会到图形与数的联系，发展学生归
2、纳与概括能力，渗透数学建模思想。学生分析：1、学生的知识基础 五年级学生在数的方面，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识。但是学生对利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，还有困难。学生对线围成的基本图形有深刻的认教育资源 教育资源 识，但是点阵中的几何图形，只有点，没有线，学生要利用自己的想象加以补充和延伸，这对学生来说会感觉比较陌生。2、学生的能力基础 学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推
3、理能力等。然而小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。教学目标：1能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。2、培养学生推理、观察、归纳和概括能力。3、感受数形结合的神奇之美，并获得我能发现之成功体验。教学重点：探究发现点阵中的规律。教学难点：总结概括规律。教学准备：课件，五子棋，磁扣等。教育资源 教育资源 教法学法：1、教师教学方法：让学生独立或合作式探究规律，鼓励学生有自己的发现、有不同的发现。尽量减少教师的介入 2、学生
4、学习方法：大胆让学生画一画、摆一摆、算一算，让学生多角度探究规律，充分感受美图美思 教学过程：一、展示图片，引出课题 1、展示图片，（投影）今天老师给大家带来了几幅图片，请同学们欣赏。师：这些图片有什么特点？生：好像都是由点组成的。师：是呀，不要小看了这样一个小小的点，点是几何图形中最基本的图形，许许多多的点按照一定的规律排列起来就构成了点阵。早在 2019 多年前，古希腊的数学家们就是从这样一个小小的点开始研究，并且发现了有许多个这样的点组成的点阵中许多有趣的规律。这节课，我们也来尝试研究点阵的规律。（板书课题点阵中的规律）。二、细心观察，探求规律 1、出示正方形点阵，探索正方形点阵的规律。
5、A、第一个规律。师：（出示点阵），这就是他们当时研究过的一组点阵，请大教育资源 教育资源 家用数学的眼光仔细观察，思考这样两个问题：（出示思考题）（指名读）（1）每个点阵可以看成什么图形？（2）每个点阵中分别有多少个点？你是怎样观察出来的？小组讨论，指名回答。师：每个点阵可以看成什么图形？（正方形），同意吗？生 1：我认为第一个点阵不能看成一个正方形，是一个圆形。师：其他同学也同意他的观点吗？师：其实第一个点阵虽然只是一个点，但是我们可以把它看成边长是 1 的小正方形。是吗？师：每个点阵中分别有多少个点？生 2：第一个点阵有 1 个点，第二个点阵有 4 个点，第三个点阵有 9 个点，第四个点阵
6、有 16 个点。师：你能说一说你是怎么得到每个点阵中点的个数的吗？你是怎样观察出来的？生：我是通过数出每个点阵中点的个数得到的。师：谁还有不同的方法？有没有更快一些的方法？生：我是通过计算得到的。师：能具体说一说是怎样通过计算得到的吗？生：第一个点阵有 1 个点；第二个点阵横着看，每行有 2 个点，有 2 行，共有 22 4 个点；第三个点阵每行有 3 个点，有 3 行，共有 33 9 个点；第 4 个点阵每行有 4 个点，有 4教育资源 教育资源 行，共有 44 16 个点。师：同学们现在你们发现正方形点阵的规律了吗？点阵的序号与它的点的个数算式有没有关系？有什么关系？如果用字母 n 来表示
7、点阵的序号，那么正方形点阵点的个数是多少呢？生：我们分析了前面几个点阵图的特点，认为在这个点阵图中，点的个数的规律是：11，22，33，44，也就是 nn 师：这种数法真是又快又方便！照这样下去，能不能根据你们的发现画出第 5 个点阵呢？（学生画，指名说，教师投影显示）师：第 6 个呢、第 7 个第 100 个点阵的点的个数都能瞬间求出来。也就是说：是第几个点阵，就用几乘几（板书）师：如果一个点阵它有 81 个点，它应该是第几个点阵？每行有几个点？每列有几个点？（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）B、第 2 个规律 师：刚才我们是怎样观察的？（
8、横着数和竖着数）正方形点阵还有没有其它的观察方法呢？能不能换个角度观察？斜着看又可以得到什么新的与序号有关的算式呢？请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。（投影）观察并思考 教育资源 教育资源（1）分别用算式表示每个点阵点的个数。（2）你发现了什么规律？学生汇报，教师板书 第 1 个：1=1 第 2 个：1+2+1=4 第 3 个：1+2+3+2+1=9 第 4 个：1+2+3+4+3+2+1=16 第 N个：1+2+3+N+3+2+1 师：谁发现什么规律呢？生：如第 2 个点阵就从 1 加到 2 再加回来，第 3 个点阵就从1 加到 3 再加回来，第 4 个点阵就从 1 加到 4 再加回来。
9、师小结：第几个点阵就从 1 连续加到几，再反过来加回到 1这个规律。刚才是横竖数，第几个点阵就是几乘几。C、第 3 个规律 师：刚才同学们发现了点阵中的两个规律，这些点阵中还有其它的规律吗？还能换个角度去思考吗？（出示教材第 82页第（3）题图），老师把第 5 个点阵中的点用五条折线划分，这样划分后，看看你又有什么新发现呢？师：我们把第 1 个折现内的点看成第一个点阵，该用什么算式表示？其他呢？小组讨论，列出算式，全班汇报。小组代表汇报。教育资源 教育资源 生：（总结）每用折线画一次后，点阵中的个数是 1 1 1 3 4 1 3 5 9 1 3 5 7 16 师：（总结）这样划分后，点阵中的规
10、律是：1，1 3，1 3 5，1 3 5 7，师：第 1 个点阵是 1，第 2 个点阵是在第 1 个的基础上多 3个，第 3 个点阵呢？有的学生可能说：这次都是奇数相加。教师问：从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？通过这样的提问，引导学生说出第几个点阵就从 1 开始加几个连续奇数。师：真了不起。这种划分方法，我们可以叫做折线划分法。第几个点阵，就是从 1 开始加几个连续奇数。通过研究点阵，我们发现这组正方形点阵中有很多规律。这3 种规律是从不同的角度观察出来的，无论你从什么角度去观察，得到的结论都与它的序号有关系，所以我们以后再研究点阵的时候，都要想一想跟它的序号有什么关系，这样才能
11、更简单。（在这里，教师不是让学生发现规律就结束了，而是让学生活学活用这些规律。让学生体会到我们刚才发现的正方形点阵中的规律，其实就是一个完全平方数的规律，它可以应用到所有的完全平方数。）刚才这 3 种方法，哪一种更简便？你更喜欢哪一种？那么我教育资源 教育资源 们再研究正方形点阵的时候，用哪一种更简便？但点阵是丰富的，多变的，不仅只有正方形点阵，还有其他图形的点阵。这时，我们就需要开拓自己的思维，多想一些方法来研究它们与序号之间的关系。有没有兴趣再研究其他图形的点阵？（在刚才的新课教学的环节中，学生经历了观察、思考、合作、交流、表达等过程，培养了观察能力、想象能力、概括能力。并深刻体验到数与形
12、，数与式，式与式之间的联系，培养学生利用数形结合的思想来解决问题的意识和能力。）三、牛刀小试 1.（课件出示教材第 83 页试一试第 1 题）师：你们能用刚学过的几种方法中发现这个点阵的规律吗？生：竖排横排：12，23，34，45 师：与它们的序号有什么关系？都是序号和它后面相邻的两个自然数的乘积。在点子图上画出第 5 个点阵。小组交流，研究：上面的点阵还有其他的规律吗？生：（1）两个两个数：12，32，62，102，152（2）斜着一层一层数：1+1，1+2+2+1，1+2+3+3+2+1，1+2+3+4+4+3+2+1 2.师：同学们真善于发现和创造规律。除了正方形和长方形点阵外，还有很多
13、其它形状的点阵，我们研究他们，同样会有很大的收获。看看，这是一组什么形状的点阵？（课件出示试一试第 2 题三角形点阵图）你能用一层一层数的方法，表示你发现的规律吗？展示，根据你发现的规律画出第五个教育资源 教育资源 点阵。生；1，1+2，1+2+3，1+2+3+4 师：其他同学看明白了吗？有什么规律？（第几个点阵，就从 1 加到几。）上面的点阵还有其他的规律吗？学生思考，指名说。（投影显示）四、兴趣优在：（课件出示教材第 83 页练一练）第 2 题：按规律画出下一个图形。师：这道题就象梅花桩，指第一个，走了几个梅花桩？生：3 个。师：指第二个，共走了几个梅花，增加几个桩？生：7 个，增加了 4
14、 个。师：指第三个，共走了几个梅花桩，又增加了几个桩？生：13 个，又增加了 6 个。师：如果再往下走，你们想想会再多走几个桩，你能写出算式吗？写完算式，学生自己独立画出点阵。小组合作，讨论点阵中蕴涵的规律，然后汇报交流。生：交流，探索总结规律 教育资源 教育资源（这一题与前几个题区别很大，前几题的点阵可以看作规则的几何图形，这一题点阵图不规则，要画出下一个图形，既要抓住数量的变化，又要抓住形状的变化。进一步体会到数形结合的重要。）五、知识拓展 欣赏生活中的点阵图片。思考：生活中有哪些地方运用点阵的知识？（座位、站排做操、楼房的窗子等。师：点阵不只是点，很多有规律的排列，都可以看成点阵。投影跳棋、围棋、十字绣、花坛里的鲜花、水晶灯等图片。六、课堂小结 师：同学们今天学习了这么多的点阵，有没有收获，哪些收获？七、课后操作 自创新的点阵图，并说出点阵规律。