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1、教育资源 教育资源 解直角三角形应用题 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：C=90A+B=90 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。A=30 可表示如下：BC=21AB C=90 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 可表示如下：CD=21AB=BD=AD D为 AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即222cba 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ACB=90 BDADCD2 CD AB
2、 ABBDBC2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 考点二、直角三角形的判定 （35 分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数的概念 （38 分）1、如图，在ABC中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即casin斜边的对边AA 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即cbcos斜边的邻边AA 锐角 A的对边与邻边的比叫做A
3、的正切，记为 tanA，即batan的邻边的对边AAA 教育资源 教育资源 锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切，记为 cotA，即abcot的对边的邻边AAA 2、锐角三角函数的概念 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0 30 45 60 90 sin 0 21 22 23 1 cos 1 23 22 21 0 tan 0 33 1 3 不存在 cot 不存在 3 1 33 0 4、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系 sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A)tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90
4、A)（2）平方关系 5、锐角三角函数的增减性 当角度在 0 90 之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 （35）1、解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据 在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c（1）三边之间的关系：222c
5、ba（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A+B=90（3）边角之间的关系：初三数学解直角三角形的应用 知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：解直角三角形的应用（3）倒数关系 tanAtan(90 A)=1（4）弦切关系 tanA=AAcossin 教育资源 教育资源 学习目标 1.了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。2.掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。3.会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。二.重点、难点：1.仰角、俯角 在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。视线在水平线下方的叫做俯角。2.坡度 坡面的铅直高度 h 和水平宽度 L的
6、比叫做坡度（或叫坡比），用字母 i 表示，即ihL。如果把坡面与水平面的夹角记作（叫做坡角），那么ihLtan。3.直角三角形在实际问题中的应用 在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。教学难点 运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。【典型例题】例 1.“曙光中学”有一块三角形形状的花圃 ABC，现可直接测量到A=30，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。解：分两种情况计算 （1）如图 1，过 C作 CD AB于 D，
7、则 图 1 DBCBCD2215，故 SABCDABC121220 31520200 3150()()（米2）（2）如图 2，过 C作 CD AB且交 AB的延长线于 D，图 2 由（1）可得 CD=20，ADDB20 315，所以 SABCDABC12200 3150()（米2）点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。例 2.某片绿地的形状如图 3 所示，其中A=60，AB BC，AD CD，AB=200m，CD=100m，求 AD、BC的长。（精确到 1m，31732.）图 3 解：延长 AD，交 BC的延长线于点 E，可构成两个直角三角形，在 RtABE中，A=6
8、0，AB=200m BEABAtan200 3(m)在 RtCDE中，CED=30，CD=100m 点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。例 3.如图 4 所示，某电视塔 AB和楼 CD的水平距离为 100 米，从楼顶 C处及楼底 D处测得塔顶 A的仰教育资源 教育资源 角分别为 45和 60，试求塔高和楼高。图 4 （精确到 0.1m，参考数据：214142317320.，）解：在 RtADB中，ADB=60，DB=100m，在ACE中，ACE=45 AE=CE=100 答：电视塔高是 173.2m，楼高是 73.2m。点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时
9、要找合适的直角三角形。例 4.如图 5，在比水面高 2m的 A地，观测河对岸有一直立树 BC的顶部 B的仰角为 30，它在水中的倒影 BC 顶部 B的俯角是 45，求树高 BC（结果保留根号）图 5 解：设树高 BC=x(m)，过 A作 AE BC于 E，在 RtABE中，BAE=45，AE BC 又B EB CECBCADx 2 答：树高 BC为()42 3m 点拨：树与树的倒影长度相等，即 BC=BC，是此题的隐含条件。例 5.为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图 6，堤的上底宽 AD和堤高 DF都是 6米，其中B=CDF。图 6 （1）求证：ABE CDF；（2）如果
10、tanB=2，求堤的下底 BC的长。（1）证明：AE BC，DF BC B=CDF ABE CDF （2）解：在 RtABE中，tan BAEBE2，在 RtCDF中，tantanCDFCFDFB2 CF=2DF=12 答：堤的下底 BC的长是 21m。点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。例 6.如图 7，水库的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝高 23m，斜坡 CD坡度 i=1：1，斜坡 AB坡度i 13：，求斜坡 AB的长及坡角和坝底宽 AD（精确到 0.1m）。图 7 解：过 B，C两点分别作 BE AD于 E，CFAD于 F，
11、则 ECF 23m，在 RtABE中，tan i1333 教育资源 教育资源 在 RtCFD中，iCFFD11 FD=CF=23（m）答：斜坡 AB长 4m，坡角为 30，坝底宽 AD约为 68.8m。点拨：求出近似值要符合题目要求。例 7.如图 8，某轮船沿正北方向航行，在 A点处测得灯塔 C在北偏西 30，船以每小时 20 海里的速度航行 2 小时到达 B点后，测得灯塔 C在北偏西 75，问当此船到达灯塔 C的正东方时，船距灯塔 C有多远？（结果保留两位有效数字）？图 8 解：在ABC中，AB=20 2=40（海里），A=30 ，BCA 753045过 B作 BE AC于 E 则AEABc
12、os30403220 3（海里）BEABsin30401220（海里）ACAECEBE20 320 3202031()（海里）过 C作 CD AB于 D，则CDCAsin().30103127 32（海里）答：船到达灯塔正东时，它距灯塔 27.32 海里。点拨：搞清方向角的概念，同时会找合适的直角三角形。例 8.今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在 A处测得航标 C在北偏东 60方向上，前进 100 米到达 B处，又测得航标 C在北偏东45方向上，如图 9，在以航标 C为圆心，120 米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续
13、前进，是否有被浅滩阻碍的危险？图 9 解：如图 9，过点 C作 CD AB，设垂足为 D，在 RtADC中，在 RtBDC中，136.5 米120 米，故没有危险。答：若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。点拨：熟记特殊三角函数值，注意所求结果符合实际情况，情景应用题。例 9.如图 10，某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资由 A处运往正西方向的 B处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海里/时的速度由 A向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。图 10 （1）问：B处是否会受到台风的影响
14、？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货？（214317，.）。解：（1）过点 B作 BC AC于 D，依题意，BAC=30 在 RtABD中，B处会受到台风的影响。教育资源 教育资源 （2）以点 B为圆心，200 海里为半径作圆交 AC于 E，F 由勾股定理，求得DEAD120160 3，AEADDE()160 3120（海里）t 160 31204038.（小时）该船应在 3.8 小时内卸完货物。点拨：不是纯数学化的“已知”，“求解”的模式，而是结合一种情景，一种实际需求，以解决一种实际问题为标志，旨在考查学生的数学应用能力。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一
15、.选择题：1.如果坡度的余弦值为3 1010，那么坡度比为（）A.110：B.310：C.1：3 D.3：1 2.如果由点 A测得点 B在北偏东 15的方向，那么由点 B测点 A的方向为（）A.北偏东 15 B.北偏西 75 C.南偏西 15 D.南偏东 75 3.如图 1，两建筑物的水平距离为 a 米，从 A测得 D点的俯角为，测得 C点的俯角为，则较低建筑物 CD的高为（）A.a米 B.a cot米 C.a cot米 D.a(tantan)米 4.如图 2 斜坡 AB和水平面的夹角为，下列命题中，不正确的是（）A.斜坡 AB的坡角为 B.斜坡 AB的坡度为BCAB C.斜坡 AB的坡度为t
16、an D.斜坡 AB的坡度为BCAC 二.填空题 教育资源 教育资源 5.在ABC中，C=90，若a 8 5，b 8 15，则 c=_，A=_，B=_。6.一物体沿坡度为 1：8 的山坡向上移动65米，则物体升高了_米。7.RtABC中，一锐角的正切值为 0.75，周长是 36，则它的两条直角边的和是_。8.在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角 45，沿水平方面，再向塔底前进 a 米，又测得塔尖的仰角为 60，那么电视塔为_。9.如图 3，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需_米。（精确到 0.1米）。图 3 三.解答题 10.如图 4，要测池塘 A、B两端的距离，可以在
17、平地上与 AB垂直的直线 BF上取一点 C，使FCA=120，并量得 BC=20m，求 A，B两端的距离（不取近似值）。图 4 11.从一船上看到在它的南偏东 30的海面上有一座灯塔，船以 30 海里/时的速度向东南方航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，求这时船与灯塔的距离。参考答案 一.选择题：1.C 2.C 3.D 4.B 二.填空题 5.16 5，30，60 6.1米 7.21 8.1233()a米 9.5.5米 三.解答题：10.解：根据题意，有ABC=90 在 RtABC中，ACB=180 FCA=180 120=60 答：A、B两端之间的距离为20 3m。11.解：如图 5 所示，AC301215 图 5 在 RtCOB中，在 RtCOB中，答：此时船与灯塔的距离约为 4.48 海里。