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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解直角三角形及其应用知识点回顾知识点 1：解直角三角形 1 、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：两条直角边a、b其解法： c=22ba，用 tanA= ,求得 A， B=90 A斜边和一条直角边c、a其解法： b=22ac，用 sinA= ，求得 A，B=90 A（2）一边和一锐角：一条直角边a 和锐角 A： B=90 A；用 tanA=ba, 求得 b= ；用 sinA=ca，求得 c= 斜边c 和锐角A： B=90 A；用sianA=ca, 求得 a= ；用cosA=cb,求得b= 2、解
2、直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时， 就用正弦或余弦； 无斜边时， 就用正切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据【友情提示】解题时方法要灵活，选择关系时尽量考虑用原始数据，减小误差；斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。例 1： （08 年宁夏中考）如图，在ABC中，C=90， sinA=54，AB=15，求ABC的周长和tanA的值解析： 应用直角三角形边角关系求出各边长，再求出周长与tanA 的值。解： 在Rt
3、ABC中, C=90, AB=15 Asin=ABBC=54, 12BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思912152222BCABACABC的周长为36 tanA=34ACBC同步检测一：1 （ 2009湖南省益阳市）如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A. cos5 B. cos5C. sin5 D. sin52 （2008 湖南益阳）AC是电杆AB的一根拉线，测得BC=6 米，ACB=52，则拉线AC
4、的长为 ( ) A. 526sin米 B. 526tan米C. 6 cos52米D. 526cos米3. (20XX 年乐山市 )如图 AD CD ，AB 13，BC 12，CD 3，AD 4，则 sinB= （）A、513B、1213、35、45答案： 1B.2 D3A知识点 2：解直角三角形的应用（1）仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 . 5 米A B 图 3 A B C B D C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,
5、熟读而精思（2）方位角?指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900 的角 , 叫做 . ?如图：点A在 O的北偏东30?点 B在点 O的南偏西45（西南方向）注意：方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。（3）坡度的概念，坡度与坡角的关系。如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 ( 或坡比 ) ，记作 i ，即 i ，坡度通常用l ：m的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i lh= ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。【友情提示】在解直角三角形的应用题时，要注意以下各点：
6、3045B O A 东西北南铅直视线仰角俯角视线水平线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义；认真分析题意，画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形，但可通过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。选择合适的边角关系，使运算尽可能简便，并且不容易出错；按题目中已知数的精确度进行近似计算，并按题目要求精确度确定答案，注明单位。例 2： （08 年河北）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点O）的南
7、偏东45方向的B点生成， 测得1006kmOB台风中心从点B以 40km/h 的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C处因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏西60方向继续移动以O为原点建立如图12 所示的直角坐标系（1） 台风中心生成点B的坐标为， 台风中心转折点C的坐标为； （结果保留根号）（2）已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市（设为点A）位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？解析： 过点 C作 CD OA于点 D ，构造直角三角形求出CA的长，然后根据速度求台风从生成到最初侵袭该
8、城要经过的时间。解： （1）(100 31003)B，(100 3 200100 3)C，；（2）过点C作CDOA于点D，如图 2，则100 3CD在RtACD中，30ACD，100 3CD，3cos302CDCA200CA20020630，5611，台风从生成到最初侵袭该城要经过11 小时x/kmy/km北东A O B C 6045图 12 x/kmy/kmA O B C 6045图 2 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ABCD例 3：（ 09 年广东深圳） 如图，斜坡
9、AC的坡度（坡比）为 1:3，AC 10 米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB14 米试求旗杆BC的高度解析： 延长 BC交 AD于 E点，构造直角三角形，由坡比为13，可知 CAE=30 ，运用解直角三角形知识可求出CE、AE的长度，在Rt ABE中运用勾股定理，可求得BE ，BC=BE-CE. 解： 延长BC交AD于E点，则CEAD在 RtAEC中，AC10， 由坡比为 13 可知：CAE30，CEAC sin30 10125，AEACcos30 1032 5 3 在 RtABE中，BE22ABAE2214(5 3) 11BEBCCE，BCBECE 11-56（米
10、） 答：旗杆的高度为6 米例 4： （09 年四川成都）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度如图， 他们先在点C测得教学楼 AB的顶点 A的仰角为30，然后向教学楼前进 60 米到达点D，又测得点A的仰角为45。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度 ( 计算过程和结果均不取近似值) 解析： 由仰角的定义可知ABD=45 ，ACE=30 ，在 RtABC中运用解直角三角形知识可以求得 BC=3AB ，由 BC-BD=CD, 得3AB-AB=60 ， AB=30 （3+1）米。解： 如图，由已知可得ACB=30 ， AD
11、B=45 在 RtABD中， BD=AB. 又在 RtABC中， tan30 =BCAB，BCAB=33，即 BC=3AB. BC=CD BD，3AB=CD AB ，即（31）AB=60. A B C D E A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思AB=1360=30（31） （米）答：教学楼的高度为30（31）米 . 同步检测二：1. （2009黑龙江省哈尔滨市）如图，一艘轮船以每小时20 海里的速度沿正北方向航行，在 A处测得灯塔C在北偏西30方向，轮船航行2
12、小时后到达B处，在 B处测得灯塔C在北偏西 60方向 当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离 （结果保留根号）2. （ 2009内蒙古包头市）如图，线段ABDC、分别表示甲、乙两建筑物的高，ABBCDCBC，从B点测得D点的仰角为 60从A点测得D点的仰角为30，已知甲建筑物高36AB米（1）求乙建筑物的高DC；（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC（结果精确到0.01 米） （参考数据：21.41431.732，）3. （2009山西省）有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，ADBCEF，为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB
13、的D 乙C B A 甲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思长为 12 米，迎水坡上DE的长为 2 米，135120BADADC ， ，求水深（精确到0.1 米，21.411.73，3）参考答案：1. 解：由题意得CAB=30 ， CBD=60 ， ACB=30 ACB= CAB ， BC=AB=20 2=40 CDB=90 ， sin CBD=BCCD，即 sin60 =BCCD=23CD=BC 23=4023=203此时轮船与灯塔C的距离为 203海里 . 2. 解： （1）过
14、点A作AECD于点E，根据题意，得6030DBCDAE ，36AEBCECAB，米，设DEx，则36DCDEECx，在RtAED中，tantan30DEDAEAE，33AExBCAEx，在RtDCB中，36tantan6033DCxDBCBCx，3361854xxxDC，（米）A B C D E F 水深M G H D 乙C B A 甲E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）3BCAEx，18x，31818 1.73231.18BC（米） 3. 【解析】分别过点A、D 作梯
15、形的高，图形便分为两个直角三角形和一个矩形，在直角三角形中利用锐角三角函数计算出AM 、DG 、DH ，即可求出水深. 【答案】解：分别过AD、作AMBC于MDGBC，于G过E作EHDG于H，则四边形AMGD为矩形,135120ADBCBADADC ， 456030BDCGGDC ， ， 在RtABM中，2sin126 22AMABB6 2DG在RtDHE中，3cos232DHDEEDH6 21.41 1.73HGDGDH-3 66.7答：水深约为6.7 米随堂检测：1.（09 年福建漳州）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A34B43 C35D452.（09 年河北）如图是某
16、商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，ABC=150，BC的长是 8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）A833 m B4 m C 4 3 m D8 m （第 1 题）A B C D 150第 2 题h 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3. (09年湖北恩施 ) 如图，在 ABC中， C=90 , B=60, D是 AC上一点，ABDE于E, 且, 1,2 DECD则BC的长为 ( ) A. 2 B. 334 C.32 D.
17、344.（09 年遂宁）如图，已知ABC 中， AB=5cm ， BC=12cm ，AC=13cm ，那么 AC边上的中线BD的长为 cm.5. （09 年益阳）如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到CBA，使点B与C重合，连结BA，则CBAtan的值为 . 6.（09 年朝阳）如图，ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DEAB于点E，DFAC于点F若2BC，则DEDF_7. （09 年温州） ABC中， C=90， AB=8，cosA=43，则 AC的长是8.计算：01)2008(260cos. 9. 计算：10182sin 45(2)310. （08 年绍兴
18、）地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援如图，汽车在一条南F E B C D A （第 6题图）A C(B)B AC（第 5 题）图5EDCBA（第 3 题）（第 4 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载 GPS （全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西25方向，汽车以35km/h 的速度前行2h 到达B处， GPS显示村庄C在北偏西52方向（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到该公路的距离 （结果精确到0.1km）（参考数据：
19、sin 260.438 4，cos260.898 8，sin520.788 0，cos520.615 7）11. （08 年青岛）在一次课题学习课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB2 米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角 为 18.6 ，最大夹角 为 64.5 请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳蓬中CD的长是多少米？（结果保留两个有效数字）（参考数据：sin18.6 0.32 ，tan18.6 0.34 ，sin64.5 0.90 ，tan64.5 2.1 ）12. （09 年广东省）如图所
20、示，A、B两城市相距100km 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB） ，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上 已知森林保护区的范围在以P点为圆心， 50km为半径的圆形区域内请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？（参考数据：31.73221.414，）A DB A N B C （第 10 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思13. （ 09 年黄冈） 如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心 （记作点M）位于滨海
21、市 （记作点A）的南偏西15，距离为61 2千米，且位于临海市（记作点B）正西方向60 3千米处台风中心正以72 千米 / 时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变） ， 距离台风中心60 千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？随堂检测答案：1.A 2.B 3.B 4.2135. 31 6.37. 6 8.解：原式 =12121=2 9.解：10182sin 45(2 )322221322210.解：过C作CDAB，交AB于D（1）52CBD，2
22、6A，A M B （滨海市）（临海市）A 第12 题B F E P 4530A N B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思26BCA，70BCAB，即B处到村庄C的距离为70km（2）在RtCBD中，sin52CDCB70 0.788055.2即村庄C到该公路的距离约为55.2km11.解：设 BC的长为 x 米，则 AC的长为（ 2x）米，由于 为 18.6 ， 为 64.5 ，所以 ADC ， CDB 在 RtACD中， AC（ x2）米， ACD 90， ADC 6
23、4.5 ， CD 0tan64.5AC在 RtBCD中， BCx 米， ACD 90， BDC 18.6 ， CD 0tan18.6BC0tan64.5AC0tan18.6BC， tan18.6 （ x2） tan64.5 x 即 x1.5 ， BC1.5 米，CD 1.50.324.7 （米）答：遮阳蓬中CD的长是 4.7 米. 12.解：过点P作PCABC，是垂足，则3045APCBPC ，ACPC tan30BCPE ，tan45, ACBCAB，PC tan30PCtan45=100，311003PC，P 答案 12 题图F B C A E 精选学习资料 - - - - - - - -
24、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思50 335031.73263.450PC答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区13. 解： （1）设台风中心运行的路线为射线MN于是601545AMN ，906030BMN 过点A作1AHMN于H，故1AMH为等腰直角三角形61 2AM，故16160AH滨海市不会受到台风的侵袭再过B作2BHMN于2H由于60 3MB，230H MB ，故230 360BH故临海市会受到台风侵袭（2）以点B为圆心， 60 为半径作圆与射线MN分别交于12T T故1260BTBT在12BT H中，212130 33sin602BHBT HBT故锐角1260BT H 又12BTBT ，故12BT H为等边三角形12TT当台风中心点Q位于线段12TT内时，160QBT B，点B在以Q为圆心， 60为半径的圆的圆形区域内，此时临海市会受到台风侵袭，即台风中心经过线段12TT上所用的时间605726（小时）临海市受到台风侵袭时间为56小时A M B （滨海市）（临海市）60 361 2T1 H1 H2 T2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页