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1、精品文档 精品文档 2014 高考真题全国新课标卷(理科数学)一、选择题 1.2014 高考真题 新课标全国卷 已知集合 Ax|223xx0，Bx|2x 0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为()A.3 B.3 C.3m D.3m【测量目标】双曲线及点到直线的距离.【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离.【参考答案】A【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为 xmy0.根据双曲线方程得2=3am，23b=，所以 c33m，双曲线的右焦点坐标为(33m，0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|33|1mm3.【难易程度】容易题 5.2014 高考真题 新课标全
2、国卷 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()精品文档 精品文档 A.18 B.38 C.58 D.78【测量目标】概率计算【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率【参考答案】D【试题解析】每位同学有 2 种选法，基本事件的总数为4216=，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有 2 个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为271.168【难易程度】容易题 6.2014 高考真题 新课标全国卷圆 O 的半径为 1，A是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线
3、，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图像大致为()A(ZX056)B(ZX057)C(ZX058)D(ZX059)【测量目标】函数图像【考查方式】根据题意判断函数图像【参考答案】C 【试题解析】根据三角函数的定义，点 M(cos x，0)，OPM 的面积为12|sin xcos x|，在直角三角形 OPM 中，根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离，即 f(x)|sin xcos x|12|sin 2x|，且当 x2时上述关系也成立，故函数f(x)的图像为选项 C 中的图像.【难易程度】容易题 7.2014 高考真题 新课标全国
4、卷 执行如图 12 所示的程序框图，若输入的 a，b，k分别为 1，2，3，则输出的M()第 7 题图(ZX035)精品文档 精品文档 A.203 B.165 C.72 D.158【测量目标】程序框图【考查方式】给出程序框图求输出结果【参考答案】D 【试题解析】逐次计算，依次可得：M32，a2，b32，n2；M83，a32，b83，n3；M158，a83，b158，n4.此时输出 M，故输出的是158.【难易程度】容易题 8.2014 高考真题 新课标全国卷 设 0,2，0,2，且 tan 1sincos，则()A.3 2 B.3 2 C.2 2 D.2 2【测量目标】三角恒等变换【考查方式】
5、给出,的范围利用三角恒等变换求解.【参考答案】C【试题解析】tan 1sincos222cossin22cossin22cossin22cossin221tan21tan2tan42，因为 0,2，所以42,4 2，又 0,2且 tan tan42，所以 42，即 2 2.【难易程度】中等题 9.2014 高考真题新课标全国卷 不等式组124xyxy的解集记为 D，有下面四个命题：p1：(x，y)D，x2y2;p2：(x，y)D，x2y2;p3：(x，y)D，x2y3;p4：(x，y)D，x2y1.其中的真命题是()A.23pp，B.12pp，14pp，D.13pp，【测量目标】考查线性规划中
6、目标函数的最值、全称命题与特称命题【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误【参考答案】B【试题解析】不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示，设目标函数 zx2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点 A(2，1)处取得最小值，且minz220，即 x2y 的取值范围是0，)，故命题12pp，为真，命题34pp，为假.精品文档 精品文档 第 9 题图(ZX060)【难易程度】中等题 10.2014 高考真题 新课标全国卷 已知抛物线 C：28yx=的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF与 C 的一个交点.若FPFQ4，则|QF|()A.72 B.3 C.52
7、 D.2【测量目标】抛物线定义与性质【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度【参考答案】B 【试题解析】由题知 F(2，0)，设 P(2，t)，Q(00 xy，)，则FPuuu r(4，t)，FQuuu r(002xy，)，由 FP4FQ，得44(0 x2)，解得0 x1，根据抛物线定义得|QF|0 x23.【难易程度】中等题 11.2014 高考真题 新课标全国卷 已知函数 f(x)3231axx，若 f(x)存在唯一的零点0 x，且0 x0，则 a 的取值范围是()A.(2，)B.(1，)C.(，2)D.(，1)【测量目标】利用导函数求零点【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值
8、范围【参考答案】C 【试题解析】当 a0 时，f(x)231x，存在两个零点，不符合题意，故 a0.由 2360fxaxx=，得 x0 或 x2a.若 a0，即可解得 a0，则 f x极大值f(0)10，此时函数 f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为(，2).【难易程度】中等题 12.2014 高考真题 新课标全国卷 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()精品文档 精品文档 第 12 题图(ZX061)A.6 2 B.6 C.4 2 D.4【测量目标】三视图【考查方式】根据三视图求棱长
9、【参考答案】B 【试题解析】该几何体是如图所示的棱长为 4 的正方体内的三棱锥11-E CC D(其中 E 为1BB的中点)，其中最长的棱为1D E22(4 2)26.第 12 题图(ZX062)【难易程度】容易题 二、填空题 13.2014 高考真题 新课标全国卷8()()xy xy的展开式中27x y的系数为_.(用数字填写答案)【测量目标】二项式定理【考查方式】利用二项式定理求某项的系数.【参考答案】20 【试题解析】8()xy的展开式中7xy的系数为78C=8，26x y的系数为68C28，故8()()xy xy的展开式中28x y的系数为 82820.【难易程度】容易题 14.201
10、4 高考真题 新课标全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_.【测量目标】考查逻辑思维能力【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力【参考答案】A【试题解析】由于甲没有去过 B 城市，乙没有去过 C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为 A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为 A城市.【难易程度】容易题 精品文档 精品文档 15.2014 高考真题 新课标全国卷 已知 A，B，C
11、 为圆 O 上的三点，若AOuuu r12(ABuuu rACuuu r)，则ACuuu r与ABuuu r的夹角为_.【测量目标】圆的性质与向量运算.【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角【参考答案】.90 【试题解析】由题易知点 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，故在ABC 中，BC 对应的角 A为直角，即ACuuu r与ABuuu r的夹角为 90.【难易程度】容易题 16.2014 高考真题 新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为_.【测量目标】考查
12、正弦定理与余弦定理及基本不等式.【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积【参考答案】3【试题解析】根据正弦定理和 a2 可得(ab)(ab)(cb)c，故得222bcabc=，根据余弦定理得 cos A2222bcabc 12，所以 A3.根据及222bcabc=基本不等式得22bcbca，即 bc4，所以ABC 面积的最大值为134322.【难易程度】中等题 三、解答题 17.2014 高考真题 新课标全国卷 已知数列na的前 n 项和为nS，1a1，na0，1nna a1nS，其中 为常数.(1)证明：2.nnaa-=(2)是否存在 ，使得na为等差数列？并说明理由
13、.【测量目标】考查等差数列【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得na为等差数列的参数【试题解析】(1)证明：由题设，11nnna aS=，1211nnnaaS=，两式相减得121()nnnnaaaa=.因为10na，所以2nnaa=.(2)由题设，1a1，12a a11S，可得2a 1，由(1)知，3a 1.若na为等差数列，则2132aaa=，解得 4，故24nnaa-=.由此可得21na是首项为 1，公差为 4 的等差数列，21na4n3；2na是首项为 3，公差为 4 的等差数列，241nan=.所以na2n1，1nnaa2.因此存在 4，精品文档 精品文档 使得数列na为等差数
14、列.【难易程度】中等题 18.2014 高考真题 新课标全国卷 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：第 18 题图(ZX063)(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差2s(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(2)，其中 近似为样本平均数，2近似为样本方差2s.(i)利用该正态分布，求 P(187.8Z212.2)；(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8
15、，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求 EX.附：15012.2.若 ZN(，2)，则 p(Z )0.682 6，p(2 Z 2)0.954 4.【测量目标】考查平均数和方差及正态分布【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s分别为：平均数1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200.2s2(30)-0.022(20)-0.092(10)-0.2200.332100.24 2200.082300.02150.(2)(i)由(1)知，ZN(2
16、00，150)，从而 P(187.8Z212.2)P(20012.2Zb0)的离心率为32，F 是椭精品文档 精品文档 圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点.(1)求 E 的方程；(2)设过点 A的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ的面积最大时，求 l 的方程.【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程【试题解析】(1)设 F(c，0)，由条件知，22 33c，得 c3.又32ca，所以 a2，2221bac=.故 E 的方程为2214xy.(2)当 lx 轴时不合题意，
17、故可设 l：ykx2，11()P xy，22()Q xy，.将 ykx2 代入2214xy得22(14)1612 0kxkx=，当216(43)0k=，即234k 时，21,2282 4341kkxk，从而212|1|PQkxx22241?4341kkk.又点 O 到直线 l 的距离 d221k.所以OPQ 的面积OPQS12d|PQ|.224 4341kk，设243k t，则 t0，OPQS244.44tttt因为 t4t4，当且仅当t2，即 k72时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k72，l 的方程为 y72x2或 y72x2.【难易程度】较难题 21.2014 高考真题 新
18、课标全国卷 设函数 f(x)1ln xxbeaexx，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 ye(x1)2.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1.【测量目标】考查导数的应用【考查方式】给出函数及切线方程求参数 a,b;完成证明【试题解析】(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，-1-12()ln xxxxabbfxaexeeexxx，由题意可得 f(1)2，1f e，故 a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)-12ln xxexex，从而 f(x)1 等价于-2ln .xxxxee设函数g(x)xln x，则 gx1ln x，所以当 x10,e时，gx 0.故 g(x)在
19、10,e精品文档 精品文档 上单调递减，在1,e上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g1e 1e.设函数 h(x)2xxee，则 e(1)xh xx，所以当 x(0，1)时，0h x；当 x(1，)时，0h x.故 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而 h(x)在(0，)上的最大值为 h(1)1e.因为minmax1()(1)()gxghhxe ，所以当 x0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.【难易程度】较难题 22.2014 高考真题 新课标全国卷 选修 41：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的延长线
20、交于点 E，且 CBCE.(1)证明：DE；(2)设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MBMC，证明：ADE 为等边三角形.第 22 题图(ZX040)【测量目标】圆的性质【考查方式】根据圆的性质证明【试题解析】(1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，所以DCBE.由已知得CBEE，故DE.(2)设BC 的中点为 N，连接 MN，则由 MBMC 知 MNBC，故 O 在直线 MN 上.又 AD 不是O 的直径，M 为 AD 的中点，故 OMAD，即 MNAD，所以 ADBC，故ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，所以ADE 为等边三角形.【难易程度】容易题 第 22
21、 题图(ZX041)23.2014 高考真题 新课标全国卷 选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C：22=149xy，直线 l222xtyt (t 为参数).(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；精品文档 精品文档(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值.【测量目标】考查参数方程 【考查方式】考查参数方程与普通方程的转换，并求|PA|的最大值与最小值 【试题解析】(1)曲线 C 的参数方程为2cos3sinxy(为参数)，直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin
22、)到 l 的距离 d55|4cos 3sin 6|，则|PA|sin30do2 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.【难易程度】中等题 24.2014 高考真题 新课标全国卷 选修 45：不等式选讲 若 a0，b0，且11ab ab.(1)求33ab的最小值.(2)是否存在 a，b，使得 2a3b6？并说明理由.【测量目标】不等式的运用 【考察方法】利用不等式求最值，求满足条件的参数的值 【试题解析】(1)由ab1a1b2ab，得 ab2，当且仅当 ab2时等号成立.故33ab233a b42，当且仅当 ab2时等号成立.所以33ab的最小值为 42.(2)由(1)知，2a3b26 ab43由于 436，从而不存在 a，b，使 2a3b6.【难易程度】中等题