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1、1）3）在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命分别为随机变量分别为随机变量 X,Y，它们相互独立同分布。我们它们相互独立同分布。我们想知道系统寿命想知道系统寿命 Z 的分布。的分布。这就是求这就是求随机变量函数的分布问题。随机变量函数的分布问题。2）随机变量函数的分布随机变量函数的分布3.4 3.4 多维多维随机变量函数的分布随机变量函数的分布一般情形求随机变量函数分布的一般情形求随机变量函数分布的方法方法和的分布和的分布最值分布最值分布离散型随机变量、离散
2、型随机变量、一、二维随机变量函数的概念一、二维随机变量函数的概念定义：设设Z=g(X,Y)是定义在随机变量是定义在随机变量(X,Y)一切可能取值一切可能取值(x,y)的集合上的函数，如果对于的集合上的函数，如果对于(X,Y)每一对取值每一对取值(x,y)，另一，另一个个随机变量随机变量Z相应地取值为相应地取值为z=f(x,y),于是确定一个随机变量于是确定一个随机变量Z，称，称Z为为(X,Y)的函数。的函数。记为：记为：Z=g(X,Y).说明：说明：二维随机变量二维随机变量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)是一维随机变量，是一维随机变量，若设若设(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度
3、函数为z=f(x,y),则二维随机变量则二维随机变量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量是一维连续型随机变量.随机变量函数的分布随机变量函数的分布解题步骤解题步骤：已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为f(x,y),g(x,y)是二元连续函数，欲求随机变量是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g(X,Y)的的概率密度。概率密度。随机变量函数的分布随机变量函数的分布二、和二、和Z=X+Y的分布的分布1.1.离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布例例 1 随机变量函数的分布随机变量函数的分布设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合
4、分布律为的联合分布律为令令:Z=X+Y,试求试求随随机变量机变量Z的分布律的分布律.解解 由随机变量由随机变量X,Y的取值的取值,知知Z的可能取值是的可能取值是1,2,3.随机变量函数的分布随机变量函数的分布由此得由此得 Z=X+Y的分布律的分布律2.2.连续型随机变量和的分布连续型随机变量和的分布x+y=z 设设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密是二维连续型随机变量，其联合概率密度度随机变量函数的分布随机变量函数的分布函数为函数为f(x,y),令：令：Z=X+Y.试求随机变量试求随机变量Z的密度的密度函函数数fZ(z).1.计算随机变量计算随机变量Z=X+Y的分布函数的分布函数FZ
5、(z).同理可得同理可得（1）（2）随机变量函数的分布随机变量函数的分布 利用分布函数与密度函数的关系利用分布函数与密度函数的关系,对对FZ(z)求求导导,得得Z=X+Y的密度函数的密度函数:随机变量函数的分布随机变量函数的分布 如果随机变量如果随机变量X,Y相互独立相互独立,则有则有于是于是,(1)(2)式可写式可写为为:我们称上式为函数我们称上式为函数fX(x)与与 fY(y)的卷积的卷积.记为记为:fX(x)*fY(y).例例2设随机变量设随机变量X和和Y相互独立，相互独立，X服从区间服从区间(0,1）上上的均匀分布，的均匀分布，Y服从服从=1=1的指数分布的指数分布.令令Z=X+Y,试
6、求试求随机变量随机变量Z的密度函数的密度函数.随机变量函数的分布随机变量函数的分布解解 由题意由题意知知:设随机变量设随机变量Z=X+Y的密度函数的密度函数fZ(z),则有则有随机变量函数的分布随机变量函数的分布(1)若若z0,0,则则fZ(z)=0不可能事件的概率等于不可能事件的概率等于0.(2)若若0z1,(3)若若z1,于是得随机变量于是得随机变量X+Y的密度函数为的密度函数为例例3:设随机变量设随机变量X X和和Y Y相互独立，相互独立，XN(0,1),YN(0,1)随机变量函数的分布随机变量函数的分布令令Z=X+Y,试求随机变量试求随机变量Z的密度函数的密度函数.解解 由题意由题意知
7、知:设随机变量设随机变量Z=X+Y的密度函数的密度函数fZ(z),则有则有结论结论1：结论结论2：随机变量函数的分布随机变量函数的分布如果如果随机变量随机变量X1 1,X2,Xn相互独立，且相互独立，且YN(2,22),令令Z=X+Y,则则Z N(1+2,12+22).XiN(i,i2)(i=1,2,n),又又a1 1,a2,an为为n个个实常数实常数,令令如果如果随机变量与随机变量与Y相互独立，且相互独立，且XN(1,12),三、三、极值分布极值分布 设设(X,Y)是二维独立随机变量，其联合分布函数是二维独立随机变量，其联合分布函数X与与Y相互独立相互独立随机变量函数的分布随机变量函数的分布
8、为为F(x,y),),边缘分布函数分别为边缘分布函数分别为FX(x)和和FY(y).X与与Y相互独立相互独立推论：推论：随机变量函数的分布随机变量函数的分布设设X1 1,X2,Xn是是相互独立的连续型随机变量，相互独立的连续型随机变量，Xi的分布函数是的分布函数是Fi(x),令令试求试求随机变量随机变量M与与N的分布函数的分布函数.解解 设设随机变量随机变量M与与N的分布函数分别为的分布函数分别为FM(x)和和FN(x).X与与Y相互独立相互独立随机变量函数的分布随机变量函数的分布X与与Y相互独立相互独立例例4 设随机变量设随机变量X和和Y相互独立相互独立，XB(1,p),YB(1,p)随机变
9、量函数的分布随机变量函数的分布和和的的联联合分布律与合分布律与和和的各自的各自边缘边缘分布律分布律，并并试求随机变量试求随机变量判断判断和和是否相互独立是否相互独立.解解 由由随机变量随机变量X与与Y的取值都为的取值都为0,1 的取值为的取值为0,1 随机变量函数的分布随机变量函数的分布于是于是和和的的联联合分布律与合分布律与和和的各自的各自边缘边缘分布律分布律:同理同理 因因为为0p1,所以所以:随机随机变变量量和和不独立不独立.例例5:设有设有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xi(i=1,2,3,4,5)都服从参数为都服从参数为的指数分布的指数分布
10、.1.1.若将这若将这5个电子装置并联，组成整机，求此整机的个电子装置并联，组成整机，求此整机的寿命寿命M的分布。的分布。2.2.若将这若将这5个电子装置串联，组成整机，求此整机的个电子装置串联，组成整机，求此整机的寿命寿命N的分布。的分布。随机变量函数的分布随机变量函数的分布解解 Xi服从参数为服从参数为的指数分布的指数分布.Xi的概率密度函数为的概率密度函数为:Xi的分布函数为的分布函数为:5个电子装置并联时个电子装置并联时,若有一个工作，则整机就工作若有一个工作，则整机就工作其概率密度函数为：其概率密度函数为：M的分布函数为：的分布函数为：随机变量函数的分布随机变量函数的分布1.1.整机的寿命整机的寿命X1 1,X2,X5独立同分布独立同分布2.整机的寿命整机的寿命N的分布函数为：的分布函数为：N N的概率密度函数为：的概率密度函数为：随机变量函数的分布随机变量函数的分布5个电子装置串联时个电子装置串联时,有一个不工作，则整机就不工作有一个不工作，则整机就不工作X1 1,X2,X5独立同分布独立同分布