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1、 勾股定理竞赛试卷(含解答)精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 八年级数学勾股定理竞赛试卷（时间：120 分钟，总分：120 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1、ABC周长是 24，M是 AB的中点 MC=MA=5，则ABC的面积是（）A12;B 16;C 24;D 30 2、如图，在正方形 ABCD 中，N是 CD的中点，M是 AD上异于 D的点，且NMB=MBC，则AM：AB=（）A31;B 33;C 21;D 63 第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图 3、如图，已知 O是矩形 ABCD 内一点，且 OA=1，OB=3，OC=4，那么
2、 OD的长为（）A.2;B.22;C.23;D.3 4、如图，P为正方形 ABCD 内一点，PA=PB=10，并且 P点到 CD边的距离也等于 10，那么，正方形 ABCD 的面积是（）A200;B 225;C 256;D150+102 5、如图，矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AB、AC上各取一点 N、M，使得 BM+MN 的值最小，这个最小值为（）已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料
3、如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A12;B 102;C 16;D 20 二、填空题（每小题 5 分，共 25 分）第（5）题图 6、如图，ABC中，AB=AC=2，BC边上有 10 个不同的点1021,PPP，记 CPBPAPMiiii2（i=1，2，10），那么，1021MMM=_。第（6）题图 7、如图，设MPN=20，A为 OM上一点，OA=43，D为 ON上一点，OD=83，C为 AM上任一点，B是 OD上任意一点，那么折线 ABCD 的长最小为_。第（7）题图 第（8
4、）题图 8、如图，四边形 ABCD 是直角梯形，且 AB=BC=2AB，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形 ABCD 的面积=_。9、若 x+y=12，那么9422yx的最小值=_。已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 10、已知一个直角三角形的边长都是整
5、数，且周长的数值等于面积的数值，那么这个三角形的三边长分别为_。三、解答题（共 70 分）11、（本题 10 分）如图ABC三边长分别是 BC=17，CA=18，AB=19，过ABC内的点 P向ABC三边分别作垂线 PD，PE，PF，且 BD+CE+AF=27，求 BD+BF的长度。12、（本题 15 分）如图，在ABC中，AB=2，AC=3，A=BCD=45，求 BC的长及BDC的面积。13、（本题 15 分）设 a,b,c,d都是正数。求证：addbacbcddca2222222222 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填
6、空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 14、（本题 15 分）如图，四边形 ABCD 中，ABC=135，BCD=120，AB=6，BC=5-3，CD=6，求 AD。15、（本题 15 分）如图，正方形 ABCD 内一点 E，E到 A、B、C三点的距离之和的最小值为62，求此正方形的边长。答案 一、选择题 1C 2A 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一
7、点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 3B 4C 5C 解答：1MA=MB=MC=5，ACB=90 知周长是 24，则 AC+BC=14，AC2+BC2=102，2AC BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4 24 2421BCACSABC 2如图，延长MN 交 BC的延长线于T
8、，设 MB的中点为O，连 TO，则BAM TOB AM：MB=OB：BT MB2=2AM BT （1）令 DN=1，CT=MD=k，则 AM=2 k 所以 BM=222)2(4kAMAB BT=2+k代入（1），得 4+(2 k)2=2(2 k)(2+k)所以 k=34 所以 AM：AB=32：2=31 3如图，过 O作 EFAD于 E，交 BC于 F；过 O作 GH DC于 G，交 AB于 H 设 CF=x，FB=y,AH=s,HB=x,所以 OG=x,DG=s 32-y2 所以 OF2=OB2-BF2=OC2-CF2 即 42-x2=所以 x2-y2=16 9=7 （1）同理有 OH2=1
9、2-s2=32-t2 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以 t2-s2=32-12=8 （2）又因为 OH2+HB2=OB2 即 y2+t2=9（1）-（2）得(x2+s2)(y2+t2)=12 2 2 2 2 所以 OD2=x2+s2=(y2+t2)1
10、=9 1=8 所以 OD=22 4如图，过 P作 EFAB于 E，交 CD于 F，则 PFCD 所以 PF=PA=PB=10，E为 AB中点 设 PE=x，则 AB=AD=10+x 所以 AE=21AB=21(10+x)在 RtPAE中，PA2=PE2+AE2 所以 102=x2+21(10+x)2 所以 x=6 所以正方形 ABCD 面积=AB2=(10+6)2=256 5如图，作 B关于 AC的对称点 B，连 A B，则 N点关于 AC的对称点 N在 A B上，这时，B到 M到 N的最小值等于 BM N的最小值，等于B到 A B的距离 BH，连 B与 A B和 DC的交点 P，则ABPS=
11、21 20 10=100，由对称知识，PAC=BAC=PCA 所以 PA=PC，令 PA=x，则 PC=x，PD=20 x，在 RtADP中，PA2=PD2+AD2 所以 x2=(20 x)2+102 所以 x=12.5 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除
12、因为ABPS=21PA BH 所以 BH=165.1221002PASABP 二、填空题 140；212；3223415；413；56，8，10 或 5，12，13 解答：1如图，作 AD BC于 D，在 RtABD和 RtAPiD中，AB2=AD2+BD2 222DPADAPii 所以22222)(DPADBDADAPABii BPCPDPBDDPBDDPBDiiiii)(22 所以422ABBPCPAPiii 所以4iM 所以401021MMM 1如图，作 A关于 ON的对称点 A，D关于 OM的对称点 D，连结 AB，CD，则 AB=AB，CD=CD，从而 AB+BC+CD=AB+BC+
13、CDAD 因为AON=MON=MOD=20，所以AOD=60 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 又因为 OA=OA=43，OD=OD=83，所以 OD=2OA 即ODA为直角三角形，且OAD=90 所以 AD=12)34()38(222 2 OAOD 所以
14、，折线 ABCD的长的最小值是 12 3如图，作 PM AB于 M，PNBC于 N，设 AB=m,PM=x,PN=y，则)3(9)()2(1)()1(4222222yxmymxyx 由（2）、（3）分别得，12222ymymx （3）92222xmxmy （4）将（1）代入（4）得;2303222mmymym 将（1）代入（5）得;2505222mmxmxm 把 x,y 的表达式分别代入（1）得0171024 mm 因为 m20 所以 m2=5+22 所以 AB=22521,225,225ADBCm 所以223415)(21ABBCADSABCD 4如图，AB=12，AC=2，BD=3，且 A
15、B AC，AB BD，P在 AB上且 PA=x，PB=y，连 PC，PD，在 RtCAP和 RtDBP中 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 9,4222222yPBBDPDxPAACPC 如图，P点在0P位置时，PC+PD 的值最小，为线段CD的长度，而
16、CD=1312)32(22 所以9422yx的最小值为 13。5设三边长为 a,b,c，其中 c 是斜边，则有)3(2)1(222abcbacba（2）代入（1）得222)2(baabba 即0)844(4baabab 因为 ab0 所以 ab 4a 4b+8=0 所以484ba(a,b为正整数)所以 b 4=1，2，4，8，所以 b=5，6，8，12；a=12，8，6，5；c=13，10，10，13，所以，三边长为 6，8，10 或 5，12，13 三、解答题 1如图,连结 PA,PB，PC，设 BD=x，CE=y，AF=z，则 DC=17-x，EA=18 y，FB=19 z 在 RtPBD
17、和 RtPFB中，有2222)19(PFzPDx 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 同理有：22222222)18()17(PEyPFzPDxPEy 将以上三式相加，得222222)19()18()17(zyxzyx 即 17x+18y+19z=487 又
18、因为x+y+z=27，所以 x=z 1,所以 BD+BF=x+(19 z)=z 1+19 z=18 2如图，作CE AB于 E，则 CE=AE=2622AC 所以 BE=AB-AE=2-26426 又222BECEBC 所以 BC=1662722BECE 再过 D作 DF BC，交 CB延长线于 F，并设 DF=CF=x，则 BF=x BC=x+1-6 又 RtDFB RtCEB，所以 DF：BF=CE：BE，即 x：(x+1-6)=264:26 所以 x=2623 所以4692623)16(2121DFBCSBCD 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方
19、形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2如图，构造一个边长为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD，在 RtABE中，BE=22ABAE 所以 BE=cddcadca2)(22222 在 RtBCF中，BF=abdbadbaCFBC2)(2222222 在 R t DEF中，EF=2222cbDFDE 在BEF中，BE+EFBF 即ab
20、dbacbcddca2222222222 3如图，过 A作 AE BC交 CD于 E，则1=45，2=60，过 B作 BFAE于 F，作 CG AE于 G，则 RtABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，又因为 AB=6，BC=5-3，所以 BF=AF=22AB=3，所以 CG=BF=3，所以 CE=32CG=2，EG=31CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过 D作 DM AE延长线于 M MED=180 -AED=180 -BCD=180 -120=60 所以 EM=21DE=2，DM=23DE=23 已知是矩形内一点且那么的长为如图
21、为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 在 RtAMD 中，AD=192)32()26(2222DMAM 5如图，以 A为中心，将 ABE旋转 60到 AMN，连 NB，MB，则 AE+EB+EC=AN+MN+EC 因为 AE=AN，NAE=60 所以 AE=NE 所以 AE+EB+EC=MN+NE+EC 当 AE+EB+EC取最小值时，折线 MNEC 成为线段，且 MC=62，MBC=150 在 RtPMC中，设 BC=x，PM=xPBx23,2 所以222)23()2()62(xxx 所以 x=2,BC=2 已知是矩形内一点且那么的长为如图为正方形内一点并且点到边的距离也等于那么正方形的面积是如图矩形中若在上填空题每小题分共分第题图如图中边上有个不同的点记那么题图如图设为上一点为上一点为上任一点是上任意一点那请联系网站删除精品好资料如有侵权请联系网站删除已知一个直角三角形的边长都是整数且周长的数值等于面积的数