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1、1 1 11.1 半群与独异点11.2 群的定义与性质第十一章 半群与群11.3 子群11.4 循环群与置换群2 2 一、半群1、定义：满足结合律的代数系统 称为半群。例1、(1)，都是半群。(2)是半群，其中 表示集合的对称差运算。1111.1 1 半群与独异点半群与独异点满足交换律的半群称为可交换半群。3 3 2、独异点(含幺半群)：记作如例1中除了不是独异点外，其余的均是独异点，分别记作，。若半群含有幺元，则称为独异点(含幺半群)。4 4 可结合非空集合G及二元运算代数系统可交换 对G封闭半群有幺元交换半群 含幺半群交换含幺半群5 5 3、半群中元素幂。定义运算的幂，指的是：(为正整数)
2、(为非负整数)6 6 4、子半群。半群的子代数叫子半群，独异点的子代数叫子独异点。例如：，都是 的子半群，且 是 的子独异点。7 7 例1、为正整数集，定义，问 是半群吗？是独异点吗？解：因 是 上的二元运算，且满足结合律，故 是半群；1是的幺元，故 是独异点。8 8 例2、设是半群，且，求证：。证明：因为，由于 是半群，运算 封闭，因此或若，则若，则故不论怎样，都有。9 9 例3、定义上的二元运算 如下：其中+是实数集 上的普通加法。(1)是半群吗？解：运算 封闭，且满足结合律，故 是半群。(2)是独异点吗？解：是幺元，故 是独异点。10 10 1、定义代数系统 满足：结合律，有幺元，任意元
3、有逆元，则称 为群。11.2 群的定义与性质1 1 1 1 例2、(1)，都是群，因任意元素 的逆元 存在，而，不是群，没有幺元，除0外，其余元素都没有逆元。(2)不是群，因不是所有的 阶矩阵都可逆。12 12(3)是群，为幺元，(4)是群，0为幺元，2、交换群(也称阿贝尔 群)。如例2中的，都是阿贝尔群。，13 13 可结合非空集合G及二元运算代数系统可交换 对G封闭半群有幺元交换群（阿贝尔群）含幺半群群G中元素有逆元14 14 例3、举两个是独异点，但不是群的例子。解：(1)，其中 是实数集，为数的乘法，是半群，且1为幺元，故为独异点，但，0无逆元，故不是群。(2)，其中 为全体 有理数矩
4、阵的集合，为矩阵的乘法运算。显然 对 封闭，满足结合律，幺元是阶单位矩阵，因此是独异点。但 中行列式值为0的矩阵都无逆矩阵，故不是群。15 15(1)是群吗？解：，故 是 的逆元，所以是群。例3、定义上的二元运算 如下：其中+是实数集 上的普通加法。16 16(2)是阿贝尔群吗？解：满足交换律，是阿贝尔群。例3、定义上的二元运算 如下：其中+是实数集 上的普通加法。17 17 例4、设是一个群，定义，有证明 也是一个群。证明：显然，是 上的二元运算，(1)证结合律成立。，有18 18(2)是 的幺元。，有(3)，证 是 在中的逆元，19 19 由以上，是一个群。20 20 例5、四元群。，运算
5、 由下表给出：21 21 3、群的阶。有限群 的阶，记。例如：的阶为，四元群的阶为4。22 22 4、群中元素的幂。对于群，定义：则可以把独异点中的关于 的定义扩充为：为非负整数)(为正整数)(有关幂的两个公式：23 23 5、群中元素 的阶(或周期)。群 中元素 的阶成立的最小正整数 使。例如：四元群中，的阶都是2，记。的阶为1，记。24 24 例6、，求模6的加群中各元素的阶。解：因，即，所以。同理可得：，。25 25 6、群的性质。(1)，。(2)若，则 中无零元。(3)中消去律成立，即若，则，若，则。26 26 6、群的性质。(4)幺元是群中唯一的幂等元。不同行(列)的排列不同。(5)
6、，方程 和 在中有唯一解。(6)有限群的运算表中，每一行(每一列)都是 中元素的一个排列。27 27 例7、证明是阿贝尔群当且仅当对，。证明：设 为阿贝尔群，则，有，故28 28 反之，设，即，即，由消去律，得，故 为阿贝尔群。29 29 例8、如果中的每一个元素 都满足，则 是阿贝尔群。证明：，由题设知，从而，所以 是阿贝尔群。30 30 1、定义：设群，是 的非空子集，若 为群，则称 为 的子群，记作。例8、(2)四元群，有5个子群：，其余均为真子群。其中 和 是平凡子群，11.3 子群31 31 2、判定。定理：设 为群，是 的非空子集，若对任意，都有，则 是 的子群。例9、设和 都是群
7、 的子群，证明 也是 的子群。因 都是 的子群，故，从而，证明：，则 且，由判定定理知，为 的子群。32 32 3、生成子群，中心。(1)生成子群：设 为群，记例10、，群中由2生成的子群同理，。33 33 3、生成子群，中心。(1)生成子群：设 为群，记(2)中心：设 为群，记，称 为群 的中心。34 34 1、定义：群 中若存在 使得，则称 为循环群，记，称 为 的生成元。在循环群 中，生成元 的阶与群 的阶一样。循环群都是阿贝尔群。循环群的子群都是循环群。11.4 循环群与置换群一、循环群35 35 2、循环群的典型例子。例1、是循环群，其生成元为1和1，因为任何整数都可由若干个1或者若
8、干个1相加而得到。是无限阶循环群，其子群除了 外都是无限阶循环群，如，其中36 36 例2、是 阶循环群，中与 互质的数均可作为生成元。阶循环群 的子群的阶都是 的正因子，对于 的每个正因子，在 中只有一个 阶子群，就是由 生成的子群。如：，其生成元有(均与12互质)。即37 37 12的正因子有，则 的子群有：1阶子群2阶子群3阶子群38 38 4阶子群6阶子群12阶子群39 39 定义11.15 设S1,2,n，S上的任何双射函数：SS称为S上的n元置换。一般将n元置换记为例如：S1,2,3,4,5，则都是5元置换。二、置换群40 40 n元置换的乘法定义11.16 设,是n元置换，则和的
9、复合也是n元置换，称为与的乘积，记作。例如上面的5元置换和有41 41 n n元置换的分解式 元置换的分解式(1)k阶轮换与轮换分解方法定义11.17设是S=1,2,n上的n元置换。若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1且保持S中的其他元素不变,则称为S上的k阶轮换,记作(i1i2ik).若k=2,这是也称为S上的对换。42 42 q 例如5元置换分别是4阶和2阶轮换=（1234）,=（13），其中也叫做对换。设S=1,2,n,对于任何S上的n元置换一定存在着一个有限序列i1,i2,ik,k1,使得(i1)=i2,(i2)=i3,(ik-1)=ik,(ik)=i1
10、q任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。43 43 q例 设S=1,2,8,是8元置换。q的轮换表示式=(1 5 2 3 6)(4)(7 8)的分解式=(1 8 3 4 2)(5 6 7)44 44 q为了使得轮换表达式更为简洁,通常省略其中的1阶轮换,例如可以写作(1 5 2 3 6)(7 8),如果n元置换的轮换表示全部是1阶轮换。q例如8元恒等置换(1)(2)(8),那么只能省略其中的7个1阶轮换,可将它简记为(1)。45 45 对换与对换分解方法对换与对换分解方法q设S=1,2,n,=(i1i2ik)是S上的k阶轮换,那么可以进一步表成对换之积,即(i1i2ik)=(i1i2)(i1
11、i3)(i1ik)q回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置换都可以表成对换之积。46 46 q例如8元置换q的对换表示式分别为=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)=(1 8 3 4 2)(5 6 7)=(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7)47 47 nn元置换群元置换群q考虑所有的n元置换构成的集合Sn.任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,Sn关于置换的乘法是封闭的。置换的乘法满足结合律。恒等置换(1)是Sn中的单位元。对于任何n元置换Sn,逆置换-1是 的逆元。q这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群,称为n元置换群。48 48 可结合非空集合G及二元运算代数系统可交换 对G封闭半群有幺元交换群（阿贝尔群）含幺半群群G中元素有逆元若有G=循环群49 49 习题十一8，10，11，12，17，18，19，26，30，31，32作业作业