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1、半群与群环与域半群与群环与域现在学习的是第1页，共39页13.1 半群和独异点的定义及性质半群和独异点的定义及性质定定义义13.1.1 给给定定，若若 满满足足结结合合律律，则则称称为为半半群群。即即对对S中中的的任任意意元元素素x,y,z，有有(x y)z=x(y z)。可可见见，半半群群就就是是由由集集合合及及其其上上定定义义的的一一个个可可结结合合的二元运算组成的的二元运算组成的代数结构代数结构。现在学习的是第2页，共39页定定义义13.1.2 给给定定，若若是是半半群群且且有有幺幺元元，换换句句话话说说，若若满满足足结结合合律律且且拥拥有有幺幺元，则称元，则称为为独异点独异点。可以看出
2、，独异点是含有幺元的半群。因此有可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做些著作者将独异点叫做含幺半群含幺半群。有时为了强调。有时为了强调幺元幺元e，独异点表示为，独异点表示为。现在学习的是第3页，共39页例例13.1.1 给定给定和和，其中，其中N为为自然数集合，自然数集合，+和和为普通加法和乘法。由普通加为普通加法和乘法。由普通加法和乘法满足封闭性和结合律易知，法和乘法满足封闭性和结合律易知，和和都是半群，而且还是独异点。因为都是半群，而且还是独异点。因为0是是+的的幺元，幺元，1是是的幺元。的幺元。现在学习的是第4页，共39页例例 由有限字母表由有限字母表所组成的字母串
3、集合所组成的字母串集合*与与并置运算并置运算所构成的代数结构所构成的代数结构是个独异是个独异点。点。因为首先它满足结合律，例如因为首先它满足结合律，例如ab/(cd/ef)=(ab/cd)/ef=abcdef.其次，它有一个幺元其次，它有一个幺元，使得对，使得对*内任意内任意一元素一元素A，有，有 /A=A/=A.故故是个独异点。是个独异点。显然，我们令显然，我们令+*，则，则是是一个半群。一个半群。现在学习的是第5页，共39页关于独异点，有下面二个性质：关于独异点，有下面二个性质：定定理理13.1.5 设设为为独独异异点点，则则关关于于的运算表中任两列或任两行均不相同。的运算表中任两列或任两
4、行均不相同。证明：证明：对任意对任意a,bM，且，且ab，有，有eaabeb 和和aeabbe即在即在的运算表中任两列或任两行均不相同。的运算表中任两列或任两行均不相同。注注意意：这这个个定定理理对对半半群群不不一一定定成成立立，这这个个定定理的成立完全是由于幺元的存在。理的成立完全是由于幺元的存在。现在学习的是第6页，共39页定理定理13.1.6 给定独异点给定独异点，对任意，对任意a，bM且且a，b均有逆元，则均有逆元，则(1)(a-1)-1=a。(2)ab有逆元，且有逆元，且(ab)-1=b-1a-1。证明：证明：(1)因为因为a-1是是a的逆元，即的逆元，即aa-1=a-1a=e，故，
5、故(a-1)-1=a。(2)因为因为(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e，同理，同理(b-1a-1)(ab)=e，故故(ab)-1=b-1a-1。现在学习的是第7页，共39页定义定义 如果半群如果半群中的集合中的集合S是有限的，是有限的，则称半群为则称半群为有限半群有限半群。有限半群有下面有趣的定。有限半群有下面有趣的定理：理：定理定理13.1.1 为有限半群，则为有限半群，则(x)(xSx x=x)。此定理告诉我们，此定理告诉我们，有限半群存在等幂元有限半群存在等幂元。顺便强调，半群中的顺便强调，半群中的a的的n(nZ+)次幂的定义次幂的定义与前面代数结构
6、中的定义一样，为与前面代数结构中的定义一样，为现在学习的是第8页，共39页定定义义13.1.3 给给定定半半群群，若若 是是可可交交换换的的，则则称称是是可可交交换换半半群群。类类似似地地可可定定义义可可交交换换独异点独异点。例例13.1.2 给给定定和和，其其中中P(S)是是集集合合S的的幂幂集集，和和为为集集合合上上的的并并与与交交运运算算。可可知知和和都都是是可可交交换换半半群群。不不仅仅如如此此，它它们们还还都都是是可可交交换换独独异异点点，因因为为与与S分别是它们的幺元。分别是它们的幺元。现在学习的是第9页，共39页定定义义13.1.4 给给定定半半群群和和gS，以以及及自自然然数数
7、集集合合N，则则称称g是是半半群群的的生生成成元元:=(x)(xS(n)(nNx=gn)。此此时时也也称称元元素素g生成半群生成半群，而且称此半群为，而且称此半群为循环半群循环半群。类类似似地地可可定定义义独独异异点点的的生生成成元元g和和循环独异点循环独异点，并且规定，并且规定g0=e。对于循环独异点，有下面的性质：对于循环独异点，有下面的性质：现在学习的是第10页，共39页定理定理13.1.2 每个循环独异点都是可交换的。每个循环独异点都是可交换的。证证明明：设设为为独独异异点点且且g为为其其生生成成元元，则对任意则对任意a,bM，存在，存在m,nN，使得，使得a=gm,b=gn，(注意注
8、意gm=g g g，有，有m个个g)从而有从而有a b=gm gn=gm+n=gn+m=gn gm=b a。故故 是是可可交交换换的的，从从而而循循环环独独异异点点是可交换的。是可交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。显然，每个循环半群也是可交换的。现在学习的是第11页，共39页例例13.1.3 给给定定，其其中中N为为自自然然数数，+为为普通加法，则普通加法，则是无穷循环独异点。是无穷循环独异点。证证明明：易易知知，为为无无穷穷半半群群，且且幺幺元元为为0。下下证证，为为循循环环半半群群。关关键键是是找找到到它它的的生生成成元元。事事实实上上，易易知知，1为为其其生生成成元元。因因为为对对
9、任任意意mN，存在，存在mN，使得，使得m=1+1+1(m个个1)=1m,故故1为为的的生生成成元元。从从而而是是无无穷穷循循环独异点。环独异点。的确是可交换的。的确是可交换的。现在学习的是第12页，共39页定定义义13.1.6 给给定定半半群群及及非非空空集集T S，若若T对对 封闭，则称封闭，则称为为的的子半群子半群。类类似似地地，可可以以定定义义独独异异点点的的子子独独异点异点，显然，这里要求，显然，这里要求eP。定定义义：如如果果子子半半群群有有生生成成元元，则则称称此此子子半半群群为为循环子半群循环子半群。对于子半群和子独异点分别有下面的性质：对于子半群和子独异点分别有下面的性质：现
10、在学习的是第13页，共39页定理定理13.1.3 给定半群给定半群及任意及任意aS，则，则是循环子半群。是循环子半群。证证：因为：因为是半群，故对任意是半群，故对任意aS，aiS，其中，其中iZ+，则，则a，a2，a3，S。显然，显然，a是是的生成元。的生成元。故故是循环子半群。是循环子半群。现在学习的是第14页，共39页定定理理13.1.4 给给定定可可交交换换独独异异点点，若若P为其等幂元集合，则为其等幂元集合，则为子独异点。为子独异点。现在学习的是第15页，共39页13.4 群的基本定义及性质群的基本定义及性质定定义义13.4.1 给给定定，若若是是独独异异点且每个元素存在逆元，或者说点
11、且每个元素存在逆元，或者说是是可可结结合合的的，关关于于 存存在在幺幺元元，G中中每个元素关于每个元素关于 是可逆的，则称是可逆的，则称是是群群。可可见见，群群是是独独异异点点的的特特例例，或或者者说说，群群比比独独异点有更强的条件。异点有更强的条件。现在学习的是第16页，共39页例例13.4.1 给定给定和和，其中，其中Z和和Q分别是整数集合和有理数集合，分别是整数集合和有理数集合，+和和是一般加法是一般加法和乘法。可知和乘法。可知是群，是群，0是幺元，每个元素是幺元，每个元素iZ的逆元是的逆元是-i；不是群，不是群，1是幺元，是幺元，0无无逆元。但逆元。但便成为群。便成为群。现在学习的是第
12、17页，共39页定义定义13.4.3 设设是群，是群，aG，nZ，则，则a的的n次幂为次幂为性质：性质：aG，m,nZ，有，有am an=am+n，(am)n=amn。注：群中元素定义了负整数次幂，这与半群注：群中元素定义了负整数次幂，这与半群和独异点不同。和独异点不同。现在学习的是第18页，共39页群具有前面所讲半群和独异点的所有性质，群具有前面所讲半群和独异点的所有性质，这里我们介绍群特有的几个重要性质：这里我们介绍群特有的几个重要性质：定理定理13.4.1 是群是群|G|1无无零元。零元。其中其中|G|表示集合表示集合G的基数（势）的基数（势）证明证明：若：若为为的零元，又如的零元，又如
13、|G|1，则由定理则由定理12.2.5得得e。对任意。对任意xG，均有，均有 x=e，故，故 无逆元，这与无逆元，这与是群矛盾。是群矛盾。现在学习的是第19页，共39页定理定理13.4.2 是群是群中的唯一中的唯一的等幂元是幺元。的等幂元是幺元。证明证明：假定：假定aG 是等幂元，即有是等幂元，即有a a=a。于。于是，是，e=a-1 a=a-1 (a a)=(a-1 a)a)=ea=a。可见，只有幺元可见，只有幺元e为等幂元。为等幂元。现在学习的是第20页，共39页定理定理13.4.3 给定群给定群，则有，则有(a)(b)(c)(a,b,cG(a b=a c b a=c a)b=c)，即，即
14、群满足可约律群满足可约律。定理定理13.4.4 给定群给定群，则有，则有(a)(b)(a,b,G (!x)(xGa x=b)(!y)(yGy a=b)，或者或者(a)(b)(a,b,G (!x)(!y)(x,y Ga x=y a=b)即即群中方程解是唯一的群中方程解是唯一的。现在学习的是第21页，共39页定理定理13.4.5 设设为群，则为群，则(1)aG，(a-1)-1=a。(2)a，bG，ab有逆元，且有逆元，且(ab)-1=b-1a-1。证明：证明：(1)因为因为a-1是是a的逆元，即的逆元，即aa-1=a-1a=e，故，故(a-1)-1=a。(2)因为因为(ab)(b-1a-1)=a(
15、bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e，同理，同理(b-1a-1)(ab)=e，故故(ab)-1=b-1a-1。现在学习的是第22页，共39页定定义义13.4.4 给给定定群群，若若 是是可可交交换换的的，则则称称是是可可交交换换群群或或是是Abel群群。例例13.4.3 例例13.4.1中中是是Abel群。群。Abel群具有以下性质：群具有以下性质：现在学习的是第23页，共39页定理定理13.4.6 给定群给定群，(1)若若是是Abel群，则群，则(a b)n=an bn;(2)是是Abel群群(a b)2=a2 b2;下下面面介介绍绍群群中中某某个个元元素素a的的阶阶（周周期期）的的定
16、义。定义。现在学习的是第24页，共39页定义定义13.4.5 给定群给定群，a,eG，其中其中e是群的幺元，则是群的幺元，则元素元素a的阶（周期）为的阶（周期）为n:=(k)(kI+ak=e=n)，并称，并称a的阶是有的阶是有限的限的；否则，；否则，a的阶是无穷的。的阶是无穷的。例例13.4.4 任何群的幺元任何群的幺元e的阶都是的阶都是1。现在学习的是第25页，共39页定定理理13.4.7 给给定定群群，aG，且且|a|=k，p为整数，则为整数，则ap=e k|p。推推论论：若若an=e且且没没有有n的的因因子子d(1dn)使使ad=e，则，则n为为a的阶。的阶。例例13.4.5 如果如果a
17、6=e且且a2e和和a3e，则，则6是是a的阶。的阶。定定理理13.4.8 给给定定群群及及aG，则则a与与a-1具有相同的阶。具有相同的阶。现在学习的是第26页，共39页13.5 循环群和子群循环群和子群定定义义13.5.6 设设是群，若是群，若 gG，对对 xG，kZ，有，有x=gk，称，称是是循循环环群群，记记作作G=，称，称g是群是群的的生成元生成元。若存在最小正整数若存在最小正整数n，gn=e，称，称n为为生成元生成元的的阶阶或或周期周期；否；否则则称称g是是无限无限阶阶的。的。现在学习的是第27页，共39页根据生成元根据生成元g的阶，将循环群分成两类：一的阶，将循环群分成两类：一是
18、有限循环群，二是无限循环群。是有限循环群，二是无限循环群。于是若于是若G=且且g的阶为的阶为n，则，则G=g0=e，g，g2，gn-1，即，即|G|=|g|=n；否则，；否则，G=g0=e，g 1，g 2，有，有|g|G|=。如如是无限循环群，其生成元是是无限循环群，其生成元是1和和-1。对对于循于循环环群的生成元可能不只一个，如何求群的生成元可能不只一个，如何求出它的所有生成元呢？看下面出它的所有生成元呢？看下面结论结论。现在学习的是第28页，共39页定定理理13.5.6 设设是是以以g为为生生成成元元的的循循环环群，群，若若是是无无限限循循环环群群，则则群群只只有两个生成元，即有两个生成元
19、，即g和和g-1。若若是是n阶阶循循环环群群，则则群群含含有有(n)个个生生成成元元，对对于于任任何何小小于于等等于于n且且与与n互互素素的正整数的正整数p，gp是生成元。（是生成元。（P263定理定理13.5.6）其其中中，(n)是是欧欧拉拉函函数数，它它表表示示小小于于或或等等于于n且且与与n互互质质的的正正整整数数的的个个数数。如如(1)=1，(2)=1，(3)=2，(4)=2，(5)=4，(6)=2，(7)=6，(8)=4，(9)=6，。当当p是是素素数数时时，显显然然有有，(p)=p-1。（。（P194）现在学习的是第29页，共39页定义定义13.6.1 给定群给定群及非空集合及非空
20、集合H G，若，若是群，则称是群，则称为群为群的的子群。显然，子群。显然，和和都是都是的的子群子群，并且分别是，并且分别是的的“最小最小”和和“最大最大”的子群。（的子群。（P263）子群的性质：子群的性质：1.群与其子群具有相同的幺元（群与其子群具有相同的幺元（P263定理定理13.6.1）2.是是的子群的子群H对于运算对于运算 是是封闭的。（封闭的。（P264定理定理13.6.4）现在学习的是第30页，共39页例例：设设G=是是14阶阶循循环环群群，求求出出G的的所所有有生生成成元元和和G的所有子群。的所有子群。1）G的所有生成元是：的所有生成元是：a，a3，a5，a9，a11，a13。2
21、）G的的所所有有子子群群为为：e，e，a2，a4，a6，a8，a10，a12，e，a7及及G本身，共本身，共4个。个。注：注：确确定定已已知知群群的的全全部部子子群群，一一般般来来说说是是很很困困难难的的，但但从从此此例例可以看到，对于循环群而言，却是容易办到的。可以看到，对于循环群而言，却是容易办到的。一一 般般 地地，若若G是是 循循 环环 群群，且且 有有 m个个 元元 素素，m=p11p22prr，其其中中p1,p2,pr是是r个个两两两两不不同同的的素素数数，则则G共共有有(1+1)(1+2)(1+r)个两两不同的子群。个两两不同的子群。现在学习的是第31页，共39页例例：设设G1是
22、是循循环环群群，G1的的生生成成元元是是a，f是是G1到到G2的的同同构构映映射射，问问G2是是不不是是循循环环群群？如如果果是是，G2的生成元是多少？的生成元是多少？解解：记记 b=f(a)G2，则则 对对 任任 意意 xG2，cG1以以及及kZ，c=ak使使得得x=f(c)=f(ak)=(f(a)k=bk。这这说说明明G2是是由由b生生成成的的循循环环群群。G2的的生生成成元元是是b=f(a)。此此例例说说明明，循循环环群的同构映射的结果仍是循环群。群的同构映射的结果仍是循环群。现在学习的是第32页，共39页循环群的性质：循环群的性质：1.循环群的任何子群仍是循环群。（循环群的任何子群仍是
23、循环群。（P265定定理理13.6.7）2.循环群必定是循环群必定是Abel群。（联想上一章的结群。（联想上一章的结论：每个循环半群是可交换的。）论：每个循环半群是可交换的。）现在学习的是第33页，共39页14.1 环环定定义义14.1.1 给给定定，其其中中+和和都都是是二元运算，若二元运算，若是是Abel群，群，是半群，是半群，对于对于+是可分配的，即：对任意是可分配的，即：对任意x,y,zR，x (y+z)=x y+x z(y+z)x=y x+z x则称则称是是环环。现在学习的是第34页，共39页为为了了方方便便，通通常常将将+称称为为加加法法，将将称称为为乘乘法法，把把称称为为加加法法
24、群群，称称为为乘乘法法半半群群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。注注意意这这里里加加法法和和乘乘法法不不一一定定仅仅限限于于初初等等数数学学的的加加与与乘乘。同同样样，加加运运算算的的幺幺元元我我们们用用“0”表表示示，乘乘运运算算的的幺幺元元用用“1”表表示示，0与与1的的含含义义也也不一定仅限于初等代数中的不一定仅限于初等代数中的0与与1.现在学习的是第35页，共39页由于环的定义中由于环的定义中的存在，的存在，对于对于+是可分配的，即：对任意是可分配的，即：对任意x,y,zR，x (y+z)=x y+x z(y+z)x=y x+z x所以加法的幺元
25、所以加法的幺元(我们用我们用0 0表示表示)必是乘法的零必是乘法的零元，故元，故有零元。但我们知道，群中一定不有零元。但我们知道，群中一定不出现零元，因此出现零元，因此不可能是群，只是一个半不可能是群，只是一个半群。群。现在学习的是第36页，共39页定义定义 环的加法群的幺元或乘法零元称为环的加法群的幺元或乘法零元称为环环的零元的零元，以，以0示之。若示之。若aR，则其加法逆元以，则其加法逆元以a表之。表之。常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。环冠于不同的名称。现在学习的是第37页，共39页定义定义14.1.2 给定环给定环，若，若是是
26、可交换半群，则称可交换半群，则称是可交换环；若是可交换环；若是独异点，则称是独异点，则称是含幺环是含幺环(即即的幺元就称为环的幺元的幺元就称为环的幺元)；若；若满足等幂满足等幂律，则称律，则称是布尔环。是布尔环。通常用通常用1表示表示的幺元。在的幺元。在中，中，若若aR的逆元存在，则以的逆元存在，则以a-1表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。现在学习的是第38页，共39页例例14.1.1 ，和和等都是环。而且等都是环。而且除除外都是拥有加法零元外都是拥有加法零元数数0和乘和乘法幺元法幺元数数1的可交换含幺环。这里的可交换含幺环。这里Z、R、Q、E、C分别为整数集合、实数集合、有理数集分别为整数集合、实数集合、有理数集合、偶数集合和复数集合，而合、偶数集合和复数集合，而+和和分别是大家熟分别是大家熟悉的加法和乘法运算。悉的加法和乘法运算。现在学习的是第39页，共39页