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1、北京市 Earlybird 第四单元 三角形 第十九课时 全等三角形 基础达标训练 1.下列说法正确的是()A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 B.全等三角形是指面积相等的两个三角形 C.两个等边三角形是全等三角形 D.全等三角形是指两个能完全重合的三角形 2.如图，在 AB C 和 DEF 中，AB DE，B DEF，补充下列哪一条件后，能应用“SAS”判定 ABC DEF()第 2 题图 A.A D B.ACB DFE C.AC DF D.BE CF 3.如图，ABC AEF，AB AE，B E，则对于结论 AC AF，FAB EAB，EF BC，EAB FAC，其 中 正 确 结 论
2、 的 个 数 是()北京市 Earlybird 第 3 题图 第 4 题图 4.(2017 眉山)如图，EF过 ABCD 对角线的交点 O，交 AD 于 E，交 BC于 F，若 ABCD 的周长为 18，OE 1.5，则四边形 EFCD 的周长为()A.14 B.13 C.12 D.10 5.(2017 黔东南州)如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB CE，AC DF，请你添加一个适当的条件 _使得 ABC DEF.第 5 题图 第 6 题图 6.如图，Rt ABC Rt DCB，两斜边交于点 O，如果 AC 3，那么 OD 的长为 _ 7.(2017 达州)ABC 中，AB 5
3、，AC 3，AD是 ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m的取值范围是 _ 第 8 题图 8.(2017 新疆建设兵团)如图，在四边形 ABCD 中，AB AD，CB CD，对角线 AC，BD相交于点 O，下列结论中：ABC ADC；AC与 BD相互平分；AC，BD分别平分四边形ABCD 的两组对角；四边形 ABCD 的面积 S12AC BD.正确的是 _(填写所有正确结论的序号)9.(6 分)(2017 云南)如图，点 E、C在线段 BF上，BE CF，AB DE，AC DF.如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得
4、第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 求证：ABC DEF.第 9 题图 10.(6 分)(2017 南充)如图，DE AB，CF AB，垂足分别是点 E，F，DE CF，AE BF.求证：AC BD.第 10 题图 11.(6 分)(2017 郴州)已知 ABC 中，ABC ACB，点 D、E分别为边 AB、AC的中点 求证：BE CD.第 11 题图 12.(8 分)(2017 株州模拟)已知 ABN 和
5、 ACM 位置如图，AB AC 3，BD CE 2，B C.(1)求证：12；(2)若 CM A B，求线段 CM 的长度 如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 第 12 题图 13.(8 分)(2017 苏州)如图，A B，AE BE，点 D在 AC边上，12，AE和 BD相交于点 O.(1)求证
6、：AEC BED；(2)若142，求 BDE 的度数 第 13 题图 14.(8 分)(2017 湘潭)如图，在 ABCD 中，DE CE，连接 AE并延长交 BC的延长线于点 F.(1)求证：ADE FCE；(2)若 AB 2BC，F36，求 B的度数 第 14 题图 15.(8 分)(2017 广西四市)如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD相交于点 O，点 E，F 在 BD上，BE DF.(1)求证：AE CF；如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为
7、则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird(2)若 AB 6，COD 60，求矩形 ABCD 的面积 第 15 题图 16.(8 分)(2017 长沙中考模拟卷一)如图，已知 ABC 是等边三角形，点 D、E分别是 AC、BC上的两点，AD CE，且 AE与 BD交于点 P，BF AE于点 F.(1)求证：ABD CAE；(2)若 BP 6，求 PF 的长 第 16 题图 能力提升训练 1.在等腰 Rt ABC 中，BAC 90，D是 AC的中点，EC BD于 E，交 BA的
8、延长线于点 F，若 BF 12，则 FBC 的面积为()A.40 B.46 C.48 D.50 第 1 题图 第 2 题图 2.如图，点 C为线段 AB上一点，DAC、ECB 都是等边三角形，AE、DC交于点 M，DB、EC交于点 N，DB、AE交于点 P，连接 MN，下列说法中正确的个数有()MN AB；DPM 60；DAP PEC；ACM DCN；若 DBE 30，则 AEB如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论
9、的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 80.A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 3.(2017 哈尔滨)如图，点 P 为定角 AOB 的平分线上的一个定点，且 MPN 与 AOB 互补，若 MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB相交于 M、N两点，则以下结论：(1)PM PN恒成立；(2)OM ON 的值不变；(3)四边形 PMON 的面积不变；(4)MN 的长不变，其中正确的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1 第 3 题图 4.(9 分)(2017 重庆 B 卷)如图，AB
10、C 中，ACB 90，AC BC，点 E 是 AC上一点，连接 BE.(1)如图，若 AB 4 2，BE 5，求 AE的长；(2)如图，点 D是线段 BE延长线上一点，过点 A作 AF BD于点 F，连接 CD，CF.当 AF DF时，求证：DC BC.第 4 题图 5.注重开放探究(9 分)已知四边形 ABCD 中，AB AD,AB AD，连接 AC，过点 A作 AE AC，且使 AE AC，连接 BE，过点 A作 AH CD于 H，交 BE于 F.(1)如图，当 E 在 CD的延长线上时，求证：ABC ADE；BF EF；如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结
11、论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird(2)如图，当 E 不在 CD的延长线上时，BF EF还成立吗？请证明你的结论 第 5 题图 拓展培优训练 如图，在 ABC 中，BAC、BCA 的平分线相交于点 I，若 B 35，BC AI AC，则B A C的度数为 _ 第 1 题图 答案 1.D 2.D 3.C 4.C【解析】四边形 ABCD 是平行四边形，OA OC，AD
12、 BC，DAC ACB，在 OAE和 OCF中，DACACBOA OCAOECOF，OAE OCF(ASA)，CF AE，OE OF，OE 1.5，EF 2OE 3，ABC D的周长为 18，AD DC 9，四边形 EFCD 的周长 DE EF CF C D DE AE CD EF AD CD EF 9 3 12.5.AC DF(答案不唯一)【解析】FB CE，B C EF，AC DF，ACB DFE，由三角形全等的判定定理可知添加的条件为：AC DF(SAS)或 B E(ASA)或 A D(AAS)6.1.5【解析】如解图，连接 AD，Rt ABC Rt DCB，ABC BCD 90，且如图
13、在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird AB CD，AB CD，四边形 ABCD 是矩形，OD 12BD 12AC 1.5.第 6 题解图 7.1 m 4【解析】如解图，延长 AD 到点 E，使 AD ED，连接 CE，AD是 ABC 的中线，BD CD，在 ABD 和 ECD 中，BD CD，DE AD
14、，ADB EDC，ABD ECD，AB EC，在 AEC 中，AC EC AE，且 EC AC AE，即 AB AC 2AD，AB AC 2AD，2 2AD 8，1 AD 4，即 1 m 4.第 7 题解图 8.【解析】在 ABC 与 ADC 中，AB ADBC DCAC AC，ABC A D C(SSS)，ABC ADC，故正确；ABC ADC，BAC DAC，BCA DCA，AC平分 BAD 和 BCD，而 AB与 BC不一定相等，BD不一定平分 ABC 和 ADC，故错误；又 AB AD，BAC CAD，OB OD，AC，BD互相垂直，但不互相平分，故错误；AC，BD互相垂直，四边形 A
15、BCD 的面积 S12AC BO 12AC OD 12AC BD.故正确，综上所述，正确的结论是.9.证明：BE CF，如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird BE EC CF EC，即 BC EF，在 ABC 和 DEF 中，AB DEBC EFAC DF，ABC DEF(SSS)ABC DEF.1
16、0.证明：DE AB，CF AB，AFC BED 90，又 AE BF，A E EF BF EF，AF BE，在 ACF 和 BDE 中，AF BEAFCBEDCF DE，ACF BDE(SAS)，A B，AC BD.11.证明：ABC ACB，AB AC，点 D、E分别为边 AB、AC的中点，BD12AB，CE 12AC，BD CE，又 ABC ACB，BC CB，CBE BCD(SAS)，如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵
17、团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird BE CD.12.(1)证明：在 ABD 与 ACE 中，AB ACBCBD CE，ABD ACE(SAS)，12；(2)解：CM AB，M 1，又 C B，AMC DAB，MCABACBD，MC ABACBD92.13.(1)证明：AE和 BD相交于点 O，AOD BOE，在 AOD 和 BOE 中，A B，BEO 2，又12，1 BEO，AEC BED，在 AEC 和 BED 中，ABAE BEAECBED，AEC BED(ASA)；如图在和中补充下列哪一条
18、件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird(2)解：AEC BED，EC ED，C BDE，在 EDC 中，EC ED，142，C EDC 69，B D E C 69.14.(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，DAE CFE，又A E D FEC，DE CE，ADE FCE(AAS)；(2)解：由(1)知，A
19、DE FCE，AD FC，在 ABCD 中，AD BC，AB 2BC，AB FB，BAF F36，B 180236108.15.(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，AB CD，ABE CDF，在 ABE 与 CDF 中，AB CDABECDFBE DF，ABE CDF(SAS)，AE CF；(2)解：四边形 ABCD 是矩形，AO OB，如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题
20、图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird COD 60，AOB 60，AOB 为等边三角形，AO AB 6，AC 12，在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 BC AC2 AB2 6 3，矩形 ABCD 的面积 AB BC 66 3 36 3.16.(1)证明：ABC 是等边三角形，AB AC，BAC C，在 ABD 和 CAE 中，AB CABADCAD CE，ABD CAE(SAS)；(2)解：ABD CAE，ABD CAE，APD ABP PAB BAC 60，BPF APD 60，在 Rt BFP中，PBF 30，PF 12BP 126 3.能力提
21、升训练 1.C【解析】CE BD，BEF 90，BAC 90，CAF 90，FAC BAD 90，ABD F90，ACF F90，ABD ACF，在 ABD 和 ACF如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 中，BADCAFAB ACABDACF，ABD ACF(ASA)，AD AF，AB AC，D
22、为 AC 中点，AB AC 2AD 2AF，BF AB AF 12，3AF 12，AF 4，AB AC 2AF 8，FBC的面积12 BF AC 12128 48.2.C【解析】DAC、ECB 都是等边三角形，AC CD，BC CE，ACD BCE 60，ADC DCE 60，ACE BCD，DCE 60，AD CE，DAP PEC，故正确；在 ACE 与 DCB 中，AC CDACEBCDCE CB，ACE DCB(SAS)，C A E CDB，又 PMD AMC，DPM ACM 60，故 正 确；在 ACM与 DCN 中，CAMCDNAC CDACMDCN60，ACM DCN(ASA)，故
23、正确；CM CN，CMN 是等边三角形，CMN 60，CMN ACD，MN AB，故正确；DBE 30，BPE APD 60，AEB 90，故错误综上所述，正确的个数是，共 4 个 第 3 题解图 3.B【解析】如解图，过点 P 分别作 OA、OB的垂线 PC、PD，根据角平分线的性质可得PC PD，OP为定值，OC OD，AOB 为定角，MPN 与 AOB 互补，MPN 也为定角，CPD 与 AOB 也互补，MPN CPD，MPC NPD，MPC NPD，CM DN，MP NP，故(1)正确；OM ON OC CM OD DN，OM ON OC OD，OC OD为定长，OM ON 为定长，故
24、(2)正确；MPC NPD，S四边形 MONP SCMP S四边形 CONP SNPD S四边形 CONP S四边形 CODP，四边形 MONP 面积为定值，故(3)正确；Rt MPC 中，MP 为斜边，如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird CP为直角边，可设 MP kCP，PN k DP，MPN
25、CPD，MPN CPD，其相似比为 k，MN kCD，当点 M与点 C 重合，点 N和点 D重合时，MN CD，当点 M与点 C不重合，点 N与点 D不重合时，MN CD，MN 的长度在发生变化，故(4)错误 4.(1)解：在 ABC 中，ACB 90，AC BC，BAC ABC 45，AC BC AB sin45 4，在 Rt BCE 中，CE BE2 BC2 3，AE AC CE 4 3 1；(2)证明：如解图，过 C点作 CM CF交 BD于点 M，第 4 题解图 FCM 90，FCA MCB，AF BD，AFB 90，AFE ACB，AEF BEC，CAF CBM，在 ACF 和 BC
26、M 中，FCAMCBAC BCCAFCBM，ACF BCM(ASA)，FC MC，如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 又 FCM 90，CFM CMF 45，AFC AFB CFM 9045135，DFC 180CFM18045135，AFC DFC，在 ACF 和 DCF 中，AF DFAFCD
27、FCCF CF，ACF DCF(SAS)，AC DC，AC BC，DC BC.5.解：(1)证明：AB AD，AE AC，BAD CAE 90，BAD CAD CAE CAD，即 BAC DAE，又 AB AD，AC AE，ABC ADE(SAS)；由知 ABC ADE，AE AC，ACB AED，AH CD，AED ACD 45，CH HE，ACB AED 45，BCD ACB ACD 90，AH BC，点 F 是 BE的中点，即 BF EF；如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的
28、长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird 第 5 题解图(2)成立证明如下：如解图，过点 B 作 BGAE，交 AH 于点 G，AEBG，AGBGAE，ACHCAH90，GAE CAH 90，ACHGAE，AGBACD，BAGDAH90，ADCDAH90，BAGADC，又AB AD，ABGDAC(AAS)，BG AC，AC AE，BG AE，BGAE，AEFGBF，BFGEFA(AAS)，BF EF.拓展培优训练 1.70【解析】如解图，在 BC上取
29、 CD AC，连接 BI、DI，CI 平分ACB，ACIBCI，在ACI 与DCI 中，AC CDACIDCICI CI，ACIDCI(SAS)，AI DI，CAI如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别北京市 Earlybird CDI，BC AI AC，BD AI，BD DI，IBDBID，CDIIBDBID2IBD，又AI
30、、CI 分别是BAC、ACB 的平分线，BI 是ABC 的平分线，ABC2IBD，BAC2CAI，CDIABC，BAC2CAI2CDI2ABC，B35，BAC35270.【一题多解】如解图，延长 CA到 D，使 AD AI，DAID，BC AI AC，BC CD，在BCI 与DCI 中，BC CDBCIDCICI CI，BCIDCI(SAS)，DCBI，AI、CI 分别是BAC、ACB 的平分线，BI 是ABC 的平分线，ABC2CBI，又CAIDAID2D，BAC2CAI2ABC，B35，BAC23570.如图在和中补充下列哪一条件后能应用判定第题图如图则对于结论其中正确结论的个数是北京市第题图第题图眉山如 条件使得第题图第题图如图两斜边交于点如果那么的长为达州中是的中线设长为则的取值范围是第题图新疆建设兵团 有正确结论的序号分云南如图点在线段上北京市求证第题图分南充如图垂足分别是点求证第题图分郴州已知中点分别