《2023年2020-2021学年北师大版数学选修1-2习题：第三章 推理与证明 单元质量评估1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年2020-2021学年北师大版数学选修1-2习题：第三章 推理与证明 单元质量评估1.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、晨鸟教育 第三章单元质量评估 本试卷分第 卷(选择题)和第 卷(非选择题)两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 第 卷(选择题 共 60 分)答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1 归纳推理与类比推理的相似之处是()A 都是从一般到一般 B 都是从一般到特殊函数 C 都是从特殊到特殊 D 都不一定正确 1 1 1 2 用数学归纳法证明 1 1)时，2 3 2 n 1 第一步应验证不等式()1 1 1 A 1 2 B 1 2 2 2 3
2、 1 1 1 1 1 C 1 3 D 1 3 2 3 2 3 4 3 用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x 2 ax b 0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A 方程 x 2 ax b 0 至多有一个实根 B 方程 x 2 ax b 0 没有实根 Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育
3、 C 方程 x 2 ax b 0 至多有两个实根 D 方程 x 2 ax b 0 恰好有两个实根 4 观察按下列顺序排列的等式：9 0 1 1,9 1 2 11,9 2 3 21,9 3 4 31，猜想第 n(n N)个等式应为()A 9(n 1)n 10 n 9 B 9(n 1)n 10 n 9 C 9 n(n 1)10 n 10 D 9(n 1)(n 1)10 n 10 5 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性 质，可得出空间内的下列结论()垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线 的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平
4、面互相平行 A B C D 6 观察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是()A B C D Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 7 如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的 三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()8.如图，圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,
5、4,5 五个点一只青蛙从 1 点 开始按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点该青 蛙从 5 这点跳起，经 2 015 次跳后它将停在的点是()A 1 B 2 C 3 D 4 答案 1 D 归纳推理和类比推理都是合情推理，但是不一定正确 1 2 B 由 n N，n 1 知 n 的第一个值为 2，此时不等式为 1 2 1 2，故选 B.2 2 1 3 B“方程 x 2 ax b 0 至少有一个实根”的反面是“方程 x2 Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法
6、证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 ax b 0 没有实根”，故选 B.4 B 由所给的等式可以根据规律猜想得 9(n 1)n 10(n 1)1 10 n 9.5 D 显然 正确 中空间内垂直于同一条直线的两直线 可能平行，可能相交，也可能异面；垂直于同一个平面的两个平面 可能平行，也可能相交，故 D 正确 6 B 每行每列元素不同，且白黑相间 7 A 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一
7、个呈现出来的图形是 A.8 B 记 an 表示青蛙第 n 次跳后所在的点数，则 a1 1，a2 2，a3 4，a4 1，a5 2，a6 4，显然 an是一个周期为 3 的数列，故 a2 015 a2 2.Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 9.设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足
8、：“当 f(k)k 2 成立 时，总可推出 f(k 1)(k 1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A 若 f(1)1 成立，则 f(10)100 成立 B 若 f(2)4 成立，则 f(1)1 成立 C 若 f(3)9 成立，则当 k 1 时，均有 f(k)k 2 成立 D 若 f(4)25 成立，则当 k 4 时，均有 f(k)k 2 成立 10 将正偶数按下表排成 5 列：第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列 第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 则 2 014 在()A 第 251 行，第 2 列 B
9、 第 251 行，第 3 列 C 第 252 行，第 2 列 D 第 252 行，第 3 列 11 如图甲，在平行四边形 ABCD 中，有 AC 2 BD2 2(AB2 AD 2)，那么在图乙所示的平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，AC2 1 BD 2 CA DB()Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平
10、行观察晨鸟教育 A 4(AB 2 AD2 AA2 1)B 3(AB 2 AD2 AA2 1)C 2(AB 2 AD2 AA2 1)D 4(AB 2 AD2)12(2016 北京卷)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单 项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为 10 名学生的预赛成绩，其 中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位：米)1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳(单位：次)63 a 75 60 63 72 70 a 1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛
11、的有 8 人，同时进入立定 跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则()A 2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B 5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C 8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D 9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 第 卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上)13 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 2，则它们的 面积比为 1 4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1 2，则它们的体积比为 _ 14(2016 新课标全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 Earlybi
12、rd比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与 乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的 卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 _ 15 观察以下不等式：1 1 1 1 1 1 3 1
13、 1 1 1；1 1；1；1 2；1 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 5；由此猜测第 n 个不等式为 _ 2 3 31 2 16 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2xn(n N)，其中 xk(k 1,2，n)称为第 k 位码元二元码是通信中常用的码，但在 通信过程中有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0)已知某种二元码 x1x2x7 的码元满足如下校验方程组：Error!其 中运算 定义为：0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误 后变成了 1 101 101，那么
14、利用上述校验方程组可判定 k 等于 _ 答案 9 D 题设中“当 f(k)k 2 成立时，总可推出 f(k 1)(k 1)2 成 立”实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，因为 f(4)25 成立，所以 f(4)16 成立，即 k 的基础值为 4，所以选项 A、B、C 都错误，故选 D.10 D 由 2 014 为偶数中从 2 数第 1 007 个数，又数表中每行 4 个，4 251 1 004，则 2 014 为第 252 行第 3 个数故选 D.11 A 已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于从同一顶 点出发的两条边的平方和的 2 倍，利用类比推理可知，空间中，平行 比推理的相
15、似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一
16、条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 六面体的体对角线的平方和等于从同一顶点出发的三条棱的平方和 的 4 倍 12 B 由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 1 8 号，所 以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人从 1 8 号里产生数据排序后可知 3 号，6 号，7 号必定进入 30 秒跳绳决赛，则得分为 63，a,60,63，a 1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳 绳决赛，则 4 号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以 1 号，5 号学 生必进入 30 秒跳绳决赛故选 B.13 1 8 解析：由类比思想，面积比是边长比的平方，体积比是棱长比
17、的 立方 14 1 和 3 解析：为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3 的卡片 记为 A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5，则丙只 可能是卡片 A 或 B，无论是哪一张，均含有数字 1，再由乙与丙的卡 片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的卡片必然是 C，最后由甲与乙 的卡片上相同的数字不是 2，知甲所拿的卡片为 B，此时丙所拿的卡 片为 A.1 1 1 n 15 1 2 3 2 n 1 2 1 1 1 n 解析：由所给的不等式可以归纳得到 1.2 3 2 n 1 2 16 5 解 析：若 1 k 3，则 x4 1，x5 1，x6 0，x7 1，不满
18、足 x4 x5 x6 x7 0；若 k 4，则二元码为 1 100 101，不满足 x1 x3 x5 x7 0；比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按
19、下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 若 k 5，则二元码为 1 101 001，满足方程组，故 k 5.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1 1 1 17(10 分)证明：2.log 519 log 319 log 219 18(12 分)已知 a 0，证明：关于 x 的方程 ax b 有且只有一个 根 19(12 分)如图，已知平面 a，b，a b A，且 c，c a，求证：b，c 为异面直线 1 20(12 分)(20
20、16 浙江卷)设函数 f(x)x 3，x 0,1 证 明：1 x(1)f(x)1 x x 2；3 3(2)f(x).4 2 答案 比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰
21、好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 1 1 1 17 证明：方法 1：(分析法)要证 2，只 log 519 log 319 log 219 需证 log1930log1919 2，即证 30192，又 30192 恒成立，原不等式成立 1 1 1 方法 2：(综合法)log195 log193 log192 log 519 log 319 log 219 log1930log1919 2 2.b 18 证明：由于 a 0，因此方程至少有一个根 x.a
22、如果方程不是只有一个根，不妨设 x1，x2 是它的两个不同根，即 ax1 b，ax2 b，a(x1 x2)0.x1 x2，x1 x2 0，应有 a 0，这与已知相矛盾，故假设不成立 当 a 0 时，方程 ax b 有且只有一个根 19 证明：假设 b、c 不是异面直线，即 b、c 为共面直线，则 b、c 为相交直线或平行直线(1)若 b c P，已知 b，c，又 a，则 P b(b)，且 P c(c)，从而，交点 P 一定在平面、的交线上，即 P a，于是 a c P，这与已知条件 a c 矛盾因此 b、c 相交不成立(2)若 b c，已知 a c，则 a b，这与已知条件 a b A 矛盾，
23、因此 b、c 平行也不能成立 综合(1)(2)可知 b、c 为异面直线 1 x4 1 x 4 20 证明：(1)因为 1 x x 2 x3，1 x 1 x 1 x 4 1 1 由于 x 0,1，有，即 1 x x2 x3，所以 1 x x 1 x 1 比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察f(x)1 x x 2.Earlybi
24、rd比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育(2)由 0 x 1 得 x 3 x，故 1 1 1 3 3 x 1 2 x 1 3 3 f(x)x 3 x x，x 1 x 1 x 1 2 2 2 x 1 2 2 3 所以 f(x).2 1 3 3 由(1)得 f(x)1 x x2(x)2，2 4 4 1 19 3 3 又因
25、为 f()，所以 f(x).2 24 4 4 3 3 综上，f(x).4 2 比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为
26、类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 21.(12 分)阅读下列材料：根据两角和与差的正弦公式，有 sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin，由，得 sin()sin()2sin cos，A B A B 令 A，B，有，2 2 A B A B 代入，得 sin A sin B 2sin cos.2 2(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A A B A B cos B 2sin sin；2 2(2)若 ABC 的三个内角 A，B，C 满足
27、cos2 A cos2 B 2sin 2C，试判断 ABC 的形状 22(12 分)(2016 新课标全国卷)设函数 f(x)ln x x 1.(1)讨论 f(x)的单调性；x 1(2)证明当 x(1，)时，1 1，证明当 x(0,1)时，1(c 1)x c x.比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的
28、相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 答案 21.解：(1)证明：cos()cos cos sin sin，cos()cos cos sin sin，得 cos()cos()2sin sin.A B A B 令 A，B，有，2 2 A B A B 代入，得 cos A cos B 2sin sin.2 2(2)解法 1：co
29、s2 A cos2 B 2sin 2C，可化为 1 2sin 2A 1 2sin 2B 2sin2C，即 sin2A sin 2C sin 2B.设 ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由正 弦定理可得 a2 c2 b2.根据勾股定理的逆定理知 ABC 为直角三角形 解法 2：利用(1)中的结论，cos2 A cos2 B 2sin2C 可化为 2sin(A B)sin(A B)2sin2C，因为 A，B，C 为 ABC 的内角，所以 A B C，所以 sin(A B)sin(A B)sin2(A B)又因为 0 A B，所以 sin(A B)0，所以 sin(A B)
30、sin(A B)0，从而 2sin A cos B 0，又因为 sin A 0，所以 cos B 0，即 B.2 所以 ABC 为直角三角形 1 22 解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，x 比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是
31、从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察晨鸟教育 令 f(x)0 解得 x 1.当 0 x 0，f(x)单调递增；当 x 1 时，f(x)0，f(x)单调递减(2)由(1)知 f(x)在 x 1 处取得最大值，最大值为 f(1)0.所以当 x 1 时，ln x x 1.1 1 x 1 故当 x(1，)时，ln x x 1，ln 1，即 1 1，设 g(x)1(c 1)x c x，则 g
32、(x)c 1 c x ln c，令 g(x)0，c 1 ln ln c 解得 x0.ln c 当 x 0，g(x)单调递增；当 x x0 时，g(x)0，g(x)单调递减 c 1 由(2)知 1 c，故 0 x01.又 g(0)g(1)0，故当 0 x 0.所以当 x(0,1)时，1(c 1)x cx.比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察Earlybird 比推理的相似之处是都是从一般到一般都是从一般到特殊函数都是从特殊到特殊都不一定正确用数学归纳法证明第一 有实根晨鸟教育方程至多有两个实根方程恰好有两个实根观察按下列顺序排列的等式猜想第个等式应为类比平面内垂 于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两个平面互相平行垂直于同一条直线的两个平面互相平行观察