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1、1 圆章节知识点复习 一、圆的概念 集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线)；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离
2、都相等的一条直线.二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C在圆内；2、点在圆上 d r 点B在圆上;3、点在圆外 d r 点A在圆外;三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点；rddCBAO2 2、直线与圆相切 d r 有一个交点；3、直线与圆相交 d r 有两个交点；四、圆与圆的位置关系 外离(图 1）无交点 d R r;外切（图 2）有一个交点 d R r；相交(图 3）有两个交点 R r d R r；内切(图 4）有一个交点 d R r；内含（图 5）无交点 d R r;五、垂径定理 drd=rrd图 1rRd图 3r Rd图 2rRd图 4rRd图 5rRd3
3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1:（1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，ABCD 弧AC 弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆
4、心角所对的弦相等，所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOB DOE；AB DE；OC OF；弧BA 弧BD 七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.OED CBAOCDABFEDCBAOCBAO4 即：AOB 和ACB 是弧AB所对的圆心角和圆周角 2 AOB ACB 2、圆周角定理的推论：推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧;即：在O中,C、D 都是所对的圆周角 C D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周
5、角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.即：在O中，AB是直径 或90 C 90 C AB是直径 推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在ABC中,OC OA OB ABC是直角三角形或90 C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形 DCBAOCB AOCB AO5 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角.即:在O中，四边形ABCD是内接四边形 180 C BAD 180 B D DAE C 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径
6、的直线是切线；两个条件:过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即:MN OA 且MN过半径OA外端 MN是O的切线(2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 EDCBAN MAOPBAO6 PA PB PO平分BPA 十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分
7、得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P,PA PB PC PD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径AB CD，2CE AE BE（3）切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线 2PA PC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图)。即：在O中，PB、PE是割线 PODCBAOEDCBADECBPAO7 PC PB PD PE 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心
8、的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。如图：1 2O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点 1 2O O垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：1 2Rt O O C 中，2 2 2 21 1 2 2AB CO O O CO；（2）外公切线长：2CO是半径之差;内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行：:1:3:2 OD BD OB；（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行,:1:1:2 OE AE OA：(3）正六边形 BAO1O2CO2O1BADCBAOECBA DOBAO8 同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行,:1:3:2 AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1)弧长公式：180n Rl；(2）扇形面积公式：21360 2n RS lR n:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S:扇形面积 2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2 S S S 侧 表 底=22 2 rh r（2）圆柱的体积：2V r h(2）圆锥侧面展开图（1)S S S 侧 表 底=2Rr r（2）圆锥的体积:213V r h S lBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO