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1、学习必备 精品知识点 rddCBAOdrd=rrd图1rRd图2rRd图3rRd图4rRd图5rRd圆的总结 一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直
2、线距离都相等的一条直线 三 位置关系：1 点与圆的位置关系:点在圆内 dr 点 A在圆外 2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 dr 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切（图 2）有一个交点 d=R+r 相交（图 3）有两个交点 R-rdR+r 内切（图 4）有一个交点 d=R-r 内含（图 5）无交点 dR-r 学习必备 精品知识点 OCDABOEDCBAFEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经
3、过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：AB是直径 AB CD CE=DE 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O中，AB CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2 ACB 圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在O中，C、D都是所对
4、的圆周角 C=D 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径 推论 3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BCBDACAD圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论也即：AOB=DOE AB=DE OC=OF BAED 的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到
5、两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 PBAONMAO即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。七 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O中，四边形 ABCD 是内接四边形 C+BAD=180 B+D=180 DAE=C 八 切线的性质与判定定理（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MN OA且 MN过半径 OA外端
6、 MN是O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线 MN OA 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA 九 圆内正多边形的计算（1）正三角形 在O中 ABC是正三角形，有关计算在 RtBOD中进行，OD:BD:OB=（2）正四边形 同理，四边形的有关计算在 RtOAE中进行，OE:AE:O
7、A=1:3:21:1:2的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 DCBAOECBADOBAOSlBAO（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在 RtOAB中进行，AB:OB:OA=十、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心。用到：线段的垂直平分线及性质 2、三角形的内切圆、内心。用到：角的平分线及性质 3、圆的对称性。中心对称轴对称 十一、圆的有关线的长和面积。1、圆的周长、弧长 C=2r,l=R 2、圆的面积、扇形面积、圆锥的
8、侧面积和全面积 S圆=r2，S扇形=lr21 S圆锥=母线底面圆lr 2+r底面圆 3、求面积的方法 直接法由面积公式直接得到 间接法即：割补法（和差法）进行等量代换 十二、侧面展开图：圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ；圆锥侧面展开图是 形，它的半径是这个圆锥的 ，它的弧长是这个圆锥的底面的 。十三、正多边形计算的解题思路：正多边形连 OAB转 化等腰三角形OD 作垂线转 化直角三角形。可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。1:3:2的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条
9、平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 圆 一、精心选一选，相信自己的判断！(每小题 4 分，共 40 分)1.如图，把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆，则它们的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（）A50 B80 C90 D100 3.如图，AB 是O 的直径，ABC=30，则BAC=（）A90 B60 C45 D 30（）4.如图，O 的直径 CDAB，AOC=50，则CDB 大小为()A25 B30 C40 D50 5.已知O 的直径为 12cm，圆心到直
10、线 L 的距离为 6cm，则直线 L 与O 的公共点的个数为（）A2 B1 C0 D不确定 6.已知O1与O2的半径分别为 3cm 和 7cm，两圆的圆心距 O1O2=10cm，则两圆的位置关系是（）A外切 B内切 C相交 D相离 7.下列命题错误的是（）A经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 C平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 8.在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2 为半径的圆必定（）A与 x 轴相离、与 y 轴相切 B与 x 轴、y 轴都相离 C与 x 轴相切、与 y 轴相离 D与 x
11、轴、y 轴都相切 9 已知两圆的半径 R、r 分别为方程0652 xx的两根，两圆的圆心距为 1，两圆的位置关系是()A外离 B内切 C相交 D外切 10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为（）A 2 1 B21 C12 D1 2 11.在 RtABC 中，C=90，AC=12，BC=5，将ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）A25 B65 C90 D130 12.如图，RtABC 中，ACB=90，CAB=30，BC=2，O、H 分别为边 AB、AC 的中点，将ABC 绕点 B 顺时针旋转 120到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过部分
12、的面积（即阴影部分面积）为（）A73 78 3 B43 +78 3 C D43 +3 第 1 题图 A B O C 第 2 题图 第 3 题图 12A H B O C 1O 1H 1A 1C 第 4 题 A B O C D 的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 二、细心填一填，试自己的身手！（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）13.如图，PA、PB分别切O于点A、B，点E是O上一点，且60 AEB，则 P_ _
13、度 14.在O 中，弦 AB的长为 8 厘米，圆心 O 到 AB 的距离为 3 厘米，则O 的半径 为_.15.已知在O 中，半径 r=13，弦 ABCD，且 AB=24，CD=10，则 AB 与 CD 的距离为_.16.一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是 10cm，当重物上升 10cm 时，滑轮的一条半径 OA绕轴心 O 按逆时针方向旋转的角度为_(假设绳索与滑轮之间没有滑动)17.如图，在边长为 3cm 的正方形中，P 与Q 相外切，且P 分别与 DA、DC 边相切，Q 分别与 BA、BC 边相切，则圆心距 PQ 为_ 18.如图，O 的半径为 3cm，B 为O 外一点，OB 交O 于点 A
14、，AB=OA，动点 P 从点 A出发，以 cm/s的速度在O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止当点 P 运动的时间为_s 时，BP 与O 相切 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共 7 小题，满分 66 分）19.（本题满分 8 分）如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 CD=20cm，水深 GF=2cm.若水面上升 2cm（EG=2cm），则此时水面宽 AB为多少？EDCFOBAG 20.（本题满分 8 分）如图，PA，PB 是O 的切线，点 A，B 为切点，AC 是O 的直径，ACB=70 求P 的度数 21.（本题满分 8 分）如图，线段 AB经过圆心 O，交O 于点 A
15、、C，点 D 在O 上，连接BAOP第 13 题图17 题图 第 18 题图CBADQPOPCBA 的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 O A D B C H AD、BD，A=B=30，BD 是O 的切线吗？请说明理由 22.如图所示，AB是 O的一条弦，ODAB，垂足为C，交 O于点D，点E在 O上（1）若52AOD，求DEB的度数；（2）若3OC，5OA，求AB的长(10 分)23.如图，AB、CD是 O 的两条弦，延长
16、AB、CD交于点P，连结AD、BC交于点E30P，50ABC，求A的度数(8 分)24.(12 分)如图，在 ABC 中，AB=AC，D 是 BC 中点，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，点 O是 AB 上一点，O 过 A、E 两点,交 AD 于点 G，交 AB于点 F （1）求证：BC 与O 相切；（2）当BAC=120 时，求EFG 的度数 25.（本题满分 12 分）已知：如图ABC 内接于O，OHAC于 H，过 A 点的切线与 OC 的延长线交于点 D，B=30，OH=5 3 请求出：（1）AOC 的度数；（2）劣弧 AC 的长（结果保留 ）；（3）线段 AD 的长（结果保留根号）
17、.26.（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴交于 A、B 两点，AC 是M 的直径，过点 C 的直线交 x 轴于点 D，连接 BC，已知点 M 的坐标为（0，3），直线E B D C A O A B P D C O E B A C D E G O F 第 24 题图 的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 CD 的函数解析式为 y=3 x5 3 求点 D 的坐标和 BC 的长；求点 C 的坐标和M 的半
18、径；求证：CD 是M 的切线 初中数学圆知识点总结 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4、同圆或等圆的半径相等 5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推
19、论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角
20、所对的弧也相等 18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 AMOBCDyx的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 21、直线 L和O相交 d r 直线 L和O相切 d=r 直线 L和O相离 d r 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于
21、这条半径的直线是圆的切线 23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 24、推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 25、推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 27、圆的外切四边形的两组对边的和相等 28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 32、切割线定
22、理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 35、两圆外离 d R+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r dR+r(Rr)两圆内切 d=R-r(R r)两圆内含 d R-r(Rr)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 37、定理：把圆分成 n(n 3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 的点的轨迹是以定点为圆心
23、定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交学习必备 精品知识点 38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 39、正 n 边形的每个内角都等于（n-2）180n 40、定理：正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 41、正 n 边形的面积 Sn=pnrn2 p表示正 n 边形的周长 42、正三角形面积3a4 a表示边长 43、如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360，因此 k(n-2)180 n=360化为（n-2）(k-2)=4 44、弧长计算公式：L=n兀 R180 45、扇形面积公式：S 扇形=n 兀 R2360=LR 2 46、内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)的点的轨迹是以定点为圆心定长为半径的圆到线段两端点距离相等的点两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距线与圆相交无交点有一个交点有两个交点圆与圆的位置关系外离图无交