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1、 二次型 2005 精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 2005 年研究生入学考试题二次型 20050014：设A和B是n阶实方阵，B是正定阵，*B是B的伴随阵。证明：对于任一正数t，方阵*TtBA A是正定阵。20050026：222123123121323(,)444444f x xxxxxx xx xtx x （a）t 为何值时，二次型是负定的；（b）当1t 时，试用正交变换化此二次型为标准型（写出所用正交变换的矩阵形式）。20050033：已知实二次型2222123412233192()fxxxxa x xx xx x，问当 a取何值时，f 是正定
2、的、半正定的、以及不定的二次型？20050041：设A，B均为n阶(1)n 方阵，A中的所有元素均为1，B中除元素11b为 1 外，其余的元素均为零。问：A，B是否等价？是否合同？是否相似？为什么？2005001：若222ttAtttt 是正定矩阵，则t的取值范围是 。20050054：设A为n阶正定矩阵，m是任意正正数，证明：存在正定矩阵B，使得mBA。20050056：已知二次型222123123121323(,)55266f x xxxxCxx xx xx x的秩为 2，求参数 C，写出二次型f的标准型，并指出方程123(,)1f x xx表示何种二次曲面。200500616：求实二次型
3、2121223111(,)22()innnnnif x xxxx xx xxxx x 的正惯性指数、负惯性指数、符号差以及秩。20050061（20）：设111()nnnnfaaa 是实对称矩阵 A 的特征多项式，证明：A 是负定矩阵的充要条件是121,nna aaa均大于 0。型为标准型写出所用正交变换的矩阵形式已知实二次型问当取何值时是正定的半正定的以及不定的二次型设均为阶方范围是设为阶正定矩阵是任意正正数证明存在正定矩阵使已知二次型的秩为求参数写出二次型的标准型并指出方程表的充要条件是均大于精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢证明每个秩为的阶实对称精品好文档，推
4、荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 20050061（22）：证明：每个秩为 r的 n 阶(rn)实对称矩阵均可表为 n-r个秩为 n-1的实对称矩阵的乘积。2005-010-5：证明正定矩阵的最大元素位于对角线上.2005011-1(6)：设 a,b 均为实数,二次形：1,2,(,)nf x xx=212()axbx+223()axbx+21()nnaxbx+21()naxbx a,b 满足_条件时,f 为正定二次型.2005-011-4 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于 2 和符号差等于 0,或者秩等于 1.200
5、5-012-1(5)设 A 是 n 阶实可逆阵,则00AA的正惯性指数是_,符号差是_.20050134：已知二次型222(,)23321231232 3f x xxxxxax x(0)a，通过正交变换变成标准形22225123fyyy，求参数a及所用的正交变换矩阵。20050153：用非退化线性变化下列二次型为规范形，并写出所以的线性变换：22(,)22123131 22 3f x xxxxx xx x 20050175：()考虑如下形式的矩阵，211 2122 122212aa aa ana aaa anPa aa aannn其中，,1ai ni都为实数。证明：矩阵P非负定()证明：非零实
6、二次型(,)1f xxn可以写成(,)()()11 11 1f xxu xu xv xv xnn nn n 型为标准型写出所用正交变换的矩阵形式已知实二次型问当取何值时是正定的半正定的以及不定的二次型设均为阶方范围是设为阶正定矩阵是任意正正数证明存在正定矩阵使已知二次型的秩为求参数写出二次型的标准型并指出方程表的充要条件是均大于精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢证明每个秩为的阶实对称精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 的充分必要条件是：或者它的秩为 1，或者它的秩为 2 且符号差为0。20050188：设,A B均为n阶实对称阵
7、，A的特征值小于a，B的特征值小于b。证明：对任意的k a b，A B kE 是负定矩阵。20050194（2）：证明秩为 r 的半正定矩阵可以分解为 r 个秩为 1 的半正定矩阵之和。20050194（3）：设 A 为 n 阶半正定矩阵，B 为 n 阶正定矩阵，证明ABB。20050201（2）：判断题：设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则 AB 也是正定的。20050203：用正定线性变换将二次型222123123121323(,)255448f x xxxxxx xx xx x 化为标准型，并写出正交线性变换。20050211（4）：判断题：设 A 为 n 阶正定矩阵，则一定存在正定矩阵
8、 B，使A=2B。20050217：设 A，B 均为 n 阶实对称阵，且 B 为正定矩阵，AB 为半正定矩阵，证明：det(A)det(B)0（其中 det(A),det(B)分别表示 A，B 的行列式）。20050225：设 A 为 n 阶实对称矩阵，分别为其最大与最小特征根，证明对于 任意的 XnR，X XX AXX X。这里X是 X 的的转置矩阵。20050234：设12(,)nf x xxX AX和12(,)ng y yyY BY均为实数域上 n 元二次型，且存在实数域上 n 阶方阵 C 和 D 使得,AD BD BC AC。型为标准型写出所用正交变换的矩阵形式已知实二次型问当取何值时
9、是正定的半正定的以及不定的二次型设均为阶方范围是设为阶正定矩阵是任意正正数证明存在正定矩阵使已知二次型的秩为求参数写出二次型的标准型并指出方程表的充要条件是均大于精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢证明每个秩为的阶实对称精品好文档，推荐学习交流 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 证明：12(,)nf x xx和12(,)ng y yy具有相同的规范形。20050251（5）：若把 n 阶对称矩阵按合同分类，问共有几类？20050252（18）：用正交变换化下列二次型为标准型 12341423(,)22f x xx xx xx x 20050265：设 A
10、 和 B 是 n 阶半正定矩阵，min()A和max()A分别表示 A 的极小值和极大特征 值，Tr(A)表示 A 的迹。证明：minmaxminmaxmaxmax()()()()()()()()()ABA Tr BTr ABA Tr BnAB 20050271（3）：证明实二次型222123123121323(,)55484f x xxxxxx xx xx x为正定二次型。型为标准型写出所用正交变换的矩阵形式已知实二次型问当取何值时是正定的半正定的以及不定的二次型设均为阶方范围是设为阶正定矩阵是任意正正数证明存在正定矩阵使已知二次型的秩为求参数写出二次型的标准型并指出方程表的充要条件是均大于精品好文档推荐学习交流仅供学习与交流如有侵权请联系网站删除谢谢证明每个秩为的阶实对称